книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Если этот процесс продолжать, то все пробные функции ф-* — приближенные решения задачи — будут принадлежать под­ пространству Ф, на котором норма оператора шага меньше единицы, и в силу предположения о существовании решения процесс будет сходиться к элементу пространства Ф.

Мы рассмотрели простейший пример организации алго­ ритма вычислений, который не выводит последовательность приближенных решений из заданного подпространства. Таких примеров можно было бы привести много.

Переходим теперь к условно корректным задачам мате­ матической физики. Снова рассмотрим уравнение ( 1 . 4 ) с сим­ метричным положительно определенным оператором А и

и оценим его по норме на элементах этого подпространства. Тогда получим

Обратим внимание на следующую важную деталь: если опера­ тор А симметричный, то

Легко видеть, что если 0<=^F, то

Таким образом, корректность задачи может быть опреде­ лена не только условием ( 1 . 9 ) , но и эквивалентным ему условием ( 1 . 1 3 ) . Более того, если константа М задана, то основной проблемой организации вычислительного процесса оказывается определение подпространства Ф, содержащего

не только само решение задачи ср, но и всей последователь­ ности его приближенных значений ср'.

Обратим внимание теперь на другую сторону проблемы решения условно корректных задач, а именно, на точность задания входных данных. Обычно при решении условно кор­ ректных задач приходится иметь дело по крайней мере с

Тогда решение задачи (1.4) сводится к организации такого итерационного процесса, который порождал бы новые приб­ лижения, принадлежащие подпространству Ф. Если операто­ ром А является положительная матрица, то, как было показано в главе 3, для задач с такими матрицами существу­ ет целый набор итерационных процессов, сходящихся к реше­ нию задачи (1.4). При этом подпространство приближенных решений Ф совпадает со всем гильбертовым (эвклидовым) пространством F. В этом, кстати сказать, состоит одна из при­ ятных особенностей задач с положительными матрицами. Ите­ рационный процесс

с учетом априорной информации (1.16), (1.17) выбором числа шагов итерационного процесса /о (см. 3.7).

Предположим теперь, что в задаче (1.4) оператор Л сим­ метричен и имеет как положительную часть спектра, так и отрицательную. Это типичный случай при рассмотрении ус­ ловно корректных задач.

Если исходная матрица Л рассматриваемой задачи не сим­ метрична, то с помощью преобразования Гаусса эту задачу можно привести к задаче с симметричным и положительно полуопределенным оператором.

Анализ показывает, что итерационный процесс (1.18) в

и {#п}—полная ортонормированная система собственных функций оператора Л. Подставляя (1Л9) в (1Л8) и скалярно умножая результат на ип, приходим к рекуррентным соотно­ шениям для коэффициентов Фурье

Если оператор Л своими собственными числами имел бы толь­ ко положительные числа из интервала

процесс (1.19) можно сделать сходящимся.

Однако в рассматриваемом случае по предположению сим­ метричная матрица А имеет как положительные, так и отри­ цательные собственные числа. Пусть х выбрано из интервала

ГІ = ( 1 - т А „ р ' > 1 ,

и такие компоненты невязки будут расти. Это и приводит к расходимости итерационного процесса.

в виде суммы Фурье, каждый член которой по времени экспо­ ненциально растет в зависимости от величины «-го собствен­ ного числа Хп.

Предположим, что нас интересует физически определенное решение этой задачи в интервале времени и рас­ смотрим задачу, аналогичную (2.1), но уже корректную:

Более того, малым ошибкам в /г (или h n ) будут соответ­ ствовать малые ошибки в функции g . Однако наша задача обратная к рассмотренной. Мы располагаем информацией о

функции g , а нам требуется восстановить функцию h по фор­ муле

N

(2'.11) не представляло бы труда. В данной ситуации, однако, функцию g мы знаем с определенной погрешностью, которая априори считается известной, и расчет проводится на ЭВМ с ограниченным числом знаков (словом), поэтому в процессе вычислений появляются ошибки округления. Эти два обсто­ ятельства делают задачу вычисления h по формуле (2.11) уже не такой простой.

Прежде всего предположим, что исследователю, пытающе­ муся произвести обработку экспериментальных данных на ос­ нове решения обратной эволюционной задачи (2.1), заранее известна система собственных функций ип и он имеет возмож­ ность в результате разложения исходных данных (функций g ) по этой системе выделить полезную информацию и с достаточ­ ной точностью оценить погрешность в каждом компоненте Фурье — g n .

Если задача носит статистический характер и допускает многократное повторение, то на основе хорошо разработанных методов корреляционного анализа в этом случае удается су­ щественно повысить точность данных в g „ , даже если в еди­ ничном измерении погрешность значительно превышает полез­ ную информацию. Во всяком случае предварительная обработка материалов наблюдения позволяет сделать заклю­ чения о величине систематической (или случайной, если речь идет о единичном измерении) погрешности в g n . Поэтому для любого п будем иметь

относительная погрешность, которую будем считать известной. Обычно погрешность б„ оказывается минимальной для наиболее длинных волн возмущений и быстро растет в на­ правлении высоких гармоник, как правило, описывающих

вес. Следовательно, если мы не позаботимся заранее о том, чтобы исключить из рассмотрения эти паразитические гармо-

а с\ — постоянная, обеспечивающая нормировку {щ, ы*) = 1.

После того, как собственная функция их или и\ найдена, собственное число a(A)=%i находится как предел отношения

Для последовательного вычисления других собственных функций, соответствующих возрастающим собственным чис« лам Кп, построим аналогичный процесс:

Заметам, что специальный выбор начальных приближений

для i|40> и i|)f t ( 0 > гарантирует отсутствие в них первых (k— 1) младших гармоник. Поэтому старшей ненулевой гармоникой в итерационных процессах являются гармоники с номером k. Но, к сожалению, это имеет место только в том случае, когда вычисления ведутся с бесконечным числом значащих цифр.

шагу. Для того чтобы погрешность не стала значительной на

этих процессов можно применить различные хорошо разрабо­ танные в линейной алгебре приемы (Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева [ в 1 , М. К. Гавурин 1 9 1 и другие).