книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Предположим, что шаг т выбран из условия, чтобы знаме­ натель в (3.11) не обращался в нуль ни для одного значе­ ния п. Тогда имеем

начиная с n—m-\-l, то на первый взгляд кажется, что этого

Такое положение было бы в действительности, если бы на­ ши ЭВМ позволяли вести расчет с бесконечным числом зна­ чащих цифр. Однако из-за ограниченности слова в процессе вычисления вследствие ошибок округления сразу же появятся компоненты g„ для п>ш. И хотя они малы, но имеют боль­ шой «вес» в решении, пропорциональный Tjn^> 1. Эти ошибки в конце концов могут существенно исказить искомое решение задачи. Чтобы избежать катастрофического роста ошибок высокочастотных компонентов ряда Фурье, необходимо найти такую конструкцию, которая автоматически любой элемент векторного пространства F переводила бы в элемент некото­ рого подпространства Ф.

Определим Ф следующим образом: будем считать, что элемент принадлежит подпространству Ф, если амплитуды последних {N—пг) гармоник суммы Фурье этого элемента по системе функции ип в процессе численного решения задачи возрастают от шага к шагу не быстрее, чем несколько ампли­ туд последней информативной гармоники с номером пг. При конструкции такого подпространства ошибки округления на его элементах будут возрастать не быстрее амплитуды пг-й гармоники. Это обеспечит корректность вычислительной схемы.

М. М. Лаврентьеве2 -2 6 !, Лионе и Латтес1 1 6 1 предложили вместо оператора А в модельной задаче (3.2) рассматривать

оператор Аг — А — єЛ2 . В этом случае вместо задачи (3.2) будем иметь

Решение задачи (3.15) будем находить_с помощью ряда Фурье по собственным функциям оператора Л. Тогда получим

ф £ = > • -T2S«Un. (3.16)

Параметр є выберем из условия, чтобы относительная ошибка в гармонике с номером m за счет введения оператора

между полезной информацией и неучитываемыми погрешно­ стями («шумом»)) . Из этого условия приходим к соотношению

Таким образом, мы приходим к определению одной из важнейших априорных величин, необходимых для дальней­ шего численного расчета. Легко видеть, что при заданном параметре е из (3.18) амплитуды всех гармоник п>т будут возрастать со временем не быстрее, чем Т т .

Наконец, нам понадобится еще одна априорная величина. Для ее нахождения рассмотрим

т

n = l

где мы ограничились только первыми т членами ряда. Реше­ ние в виде (3.21) находится конструктивно с помощью уже полученной системы функций ип и ип ( « = 1 , 2, . . . , т). С по­ мощью выражений (3.19) и (3.21) найдем величины ф-> и Ф£ при / = 1 , 2, . . . , /о. После этого введем в рассмотрение век­ торы

Ф— ФЕ

Ф, фе =

ФУО

и подсчитаем норму

Это и будет последняя из искомых априорных величин. Две другие — т и є — определены формулами (3.12) и (3.18).

Сформулируем численный алгоритм решения исходной задачи (3.1). С учетом изложенного выше анализа построим следующую аппроксимацию задачи:

где т и е выбираются на основе анализа априори изученной простой модели:

Введем в рассмотрение векторы и матрицу

описание алгоритма не исчерпывается. Необходимо еще определить оптимальное число итераций ko, которые при­ водят к максимально достижимой точности при заданных априорных условиях. Поскольку такое число может быть найдено не с очень большой точностью, будем полагать, что

решение разностной задачи с регуляризирующим оператором. Тогда итерационный процесс (3.23) естественно продолжать

цесс следует закончить при равенстве этих ошибок. Алгорит­

Тогда имеет место оценка

|1ПК11л*л||||ф*-ф||. (3.29)

Очевидно, ошибка аппроксимации ||ф—фе|| = б эквивалентна невязке

НПКб||д*л||. (3.30)

А это значит, что вычислительный процесс следует про­ должать до тех пор, пока норма невязки |||*|| не будет сравнима с величиной в правой части (3.30). Таким образом, приходим к параметрической оценке для к0:

Как видно, решение обратных эволюционных задач тре­ бует большой подготовительной работы по изучению различ­ ных простых моделей, которые позволяют получать необхо­ димую априорную информацию для конструкции качествен­ ного вычислительного алгоритма. В отдельных случаях возникают и более сложные ситуации. Однако прове­ денное рассмотрение дает представление о некоторых прин­ ципах формирования численных методов на основе изучения возникающих погрешностей и анализа алгоритма с помощью простых моделей. Нами обсуждена только одна точка зрения

задачи Коши для уравнений эллиптического типа. Эти задачи в классическом смысле поставлены некорректно и для своего решения требуют привлечения методов, разработанных в тео­ рии условно корректных задач. Большой цикл исследований в этом направлении проведен А. Н. Тихоновым1 1 6 ] , М. М. Лав­ рентьевым1 1 6 ', В. К. Ивановым1 1 6 1 и другими.

5.4. ПОСТАНОВКА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ НА О С Н О В Е МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ

Постановки некоторых обратных задач на основе теории сопряженных функций и методов теории возмущений начи­ нают играть все большую роль в формировании вычисли­ тельных алгоритмов, особенно при решении сложных задач математической физики, в которых априори трудно оценить влияние _тех или иных факторов на решение задачи. Особое значение эти проблемы приобретают в планировании экспе-

изучаем сложный физический процесс с помощью прибора, имеющего определенные физические характеристики. Пока­ зания такого прибора связаны с исследуемым полем физиче­ ской величины и являются функционалами поля. В большин­ стве случаев, однако, экспериментатора интересует не само поле физической величины, а отклонения от него под влия­ нием обычно малых возмущений. Это значит, что измерения должны быть проведены с достаточной точностью, чтобы зарегистрировать указанные отклонения поля от некоторого «стандартного» состояния. Предположим, что это первое необходимое требование к прибору выполнено и мы распо­ лагаем измерениями отклонений показания прибора от нормы с требуемой точностью. Спрашивается, достаточно ли этой информации для удовлетворительной интерпретации экспе­ римента и можем ли мы с достаточной точностью восстано­ вить информацию о возмущенном состоянии системы. К со­ жалению, на этот вопрос обычно дать ответ очень трудно. Объясняется это тем, что задачи восстановления информа­ ции о поле физической величины с помощью измерительных приборов являются, как правило, некорректно поставленными задачами математической физики.

Для того чтобы обойти эту принципиальную трудность обработки экспериментальных данных, необходимо с самого начала связать отклонения показания прибора непосредст­ венно с отклонениями изучаемых физических параметров про­ цесса. В этом случае ошибка в исследуемой характеристике будет пропорциональна ошибке в отклонении показания при­ б о р а — вариации функционала—и, следовательно, при интер­ претации мы используем максимальную информацию измери­

ранственные координаты, энергия, направление скорости), считая, что оператор L и функции ф являются действитель­ ными и ф ^ Ф .

Ради определенности будем полагать, например, что ис­ следуемый процесс связан с диффузией или переносом суб­ станции, хотя выводы теории далеко выходят за рамки такого рода задач.

Введем гильбертово пространство функций со скалярным произведением

где интегрирование ведется по всей области D определения функций g и h. -

величины, являющейся функционалом от потока ср(х). Любая величина, линейно связанная с потоком Ф(Д:), может быть выражена в виде такого скалярного произведения. Напри­

Таким образом, будем рассматривать физические вели­ чины, которые могут быть выражены в виде линейного функ­ ционала от ф(х):

Л»[ф] = (ф> Р)>

где величина р характеризует интересующий нас физический процесс. Введем вместе с оператором L сопряженный к нему оператор L * , определяющийся из условия

для любых функций g и h. Наряду с уравнением (4.1), кото­ рое будем называть основным, введем сначала формально неоднородное сопряженное уравнение

функции ценности в системе, изменяя известным образом чис­ ло частиц в разных точках х системы и измеряя при этом соответствующее изменение величины J p . Введенное понятие ценности может быть полезным в теории различных измери­ тельных приборов. Действительно, прибор обычно предназ­ начен для измерения какой-либо одной величины J p . Поэтому для каждого прибора может быть введена вполне определен­ ная функция ценности фр (х), которая может быть однажды измерена или сосчитана. Если распределение субстанции и ее ценности известны, то соотношение (4.14) может быть ис­ пользовано для измерений двояким образом.

Во-первых, измеряя величины б/р при различных измене­ ниях параметров среды 8L, мы можем при помощи соотноше­ ния (4.14) определять величины 5L, т. е. различные характе­ ристики взаимодействия частиц с веществом. Например, та­ ким образом можно измерить (по существу, так и делается) сечения взаимодействия нейтронов с веществом для различ­

уравнение для потока нейтронов получается из закона сох­ ранения числа нейтронов.

Приведенные выше формулы позволяют также получить теорему взаимности для функций Грина основного и сопря­

что и является формулировкой теоремы взаимности.