Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Нетрудно проверить, что			Тп(х, у)—монотонная				функция при
я > 0 , у>Ь	достигает		своего	экстремального				значения
на границе области определения хну.					Подсчитаем Тп			при ми
нимальных значениях		параметров		Х , і п = а ь		A,2n=a2		и макси
мальных Я,і„=Рі, Х.2п =		Р2 'і обозначим			их qa	и q$. Тогда будем
иметь
			F		o F			(3.43)

	\	"	R	t •	(3.44)
	r	a		сф
Полагая p , - ^ a i ,	приходим	к	оценочным		соотношениям.
Для самых крупных	возмущений
	qa = 1 _ 2	] / ^ - .			(3.45)
Для самых мелких возмущений
	^ = 1 - 2	] /	^	- .	(3.46)

В формулах (3.45) и (3.46) отброшены малые члены более

высокого порядка относительно	у	J L
Как было показано раньше,	из	(3.45), (3.46) непосредст

венно следует асимптотическая скорость сходимости итера ционного процесса для самой длинной гармоники возмущения

S a = - J L		(3.47}
V	Р
и для самой короткой
Поскольку р = р , + р2 , а р2 ^=4РіР2 , то
S B > i = .		(3-49)
У	Р
Таким образом, при заданном	параметрет =	- Д = скорость
		\|/ ар

сходимости итерационного процесса для всех гармоник

асимптотически оказывается	не меньшей, чем
s	= ^ L .	(3.50)

Полезно заметить, что для частного случая коммутирую щих операторов и в предположении, что а, = а/2, р \ = р 7 2 ( t = l , 2 ) параметр т выгоднее выбирать в форме

9	?	4	(3.51)
т = ^ =	= ^ 4 = =	^ L = .	(3.51)
	/ а з р ,	/ а р	v

В этом случае аналогично предыдущему нетрудно устано вить, что для всех гармоник (см. 6.1.3)

(3.52)

К проблеме оптимизации итерационного процесса можно подойти и с несколько иной точки зрения. Вместо (3.26) рас смотрим более общий процесс

(Е + oAj (Е + оЛ2 ) + Л Ф / = /, (3.53)

где имеются уже два свободных параметра а и т. Разрешим уравнение (3.53) относительно ф^+1


ф^' =	ф^ _ тВ - 1(Л ф ^ _ /),					(3.54)
где	L( £ + С Л 2 ) .					(3.55)
B=(E+QAI)	L( £ + С Л 2 ) .		]	f = F ,	то	(3.55)
Если ввести обозначения B~ A=A,		B ~		f = F ,	то	приходим к
итерационному процессу в его обычной			форме
1 =	ф*_т (Aq>'—F).					(3.56)
Оптимизация итерационного		процесса (3.56)				рассмотрена

в настоящей главе. Следует заметить, что наша задача сос тоит в выборе параметра а. Численные эксперименты пока зывают, что обычно параметр а целесообразно выбирать из интервала

_ 1 = < а < - Д = .		(3.57)
/ а р ^	> / а р

Параметр т выбирается независимо от а, в связи с характе ром оптимизации итерационного процесса.

Писсман, Рэчфорд"5 1 и Вакспресс1 1 5 1 показали, что в не которых 'случаях при специальном выборе <jj и -г,- для поло жительных коммутативных матриц Л,- можно добиться ско-

роста сходимости s = j ^ - , где константа с « 1. Если выбрать

а =

/ к '

а х определить по методу чебышевского ускорения, то при ходим к итерационному процессу

	(Е + 7ША')(Е	+	їкА>)'^				+	А*'	= І-	<3-58>
Здесь Tj определяется		по		формуле		(1.28), в		которой		а и В
являются границами спектра оператора							В _ 1 Л .
В этом случае и при				условии коммутативности операто
ров Лі, Л2 можно достичь скорости						сходимости			итерационно
го процесса
Оценки скорости сходимости итерационных процессов
расщепления, полученные				в	предположении				коммутативно
сти	операторов, вселяют		веру		в успех		применимости			метода
и в	тех случаях, когда		операторы			Аи	Л2	некоммутативны.

Хотя пока еще нет возможности получить строгую и доста точно точную оценку скорости сходимости, но математиче ские эксперименты показывают, что во многих случаях и при некоммутативных операторах применение методов расщеп

ления	также приводит	к	весьма эффективным результатам.
В	заключение отметим, что в случае, когда
	Л =	п	Лу, Ау у- О,
	Л =	2	Лу, Ау у- О,

V = l

можно воспользоваться итерационным процессом в виде

в J E _ _ J L + Л Ф г = /,

(3.60)

где

В = П (Е + ~L= Ay).

Здесь, как обычно, а и В суть вещественные и положитель ные границы спектра оператора Л. Если же в (3.60) т вы брать на основе метода чебышевского ускорения по формуле (1.28), где а и 6 теперь являются границами спектра опе ратора 5~'Л, то можно достичь весьма высокой скорости сходимости. Однако чтобы использовать этот комбинирован ный метод, необходимо, чтобы оператор В*1 А имел вещест венный положительный спектр. Таким образом, для осуще ствления итерационного алгоритма расщепления (3.60) с чебышевской оптимизацией нужно сначала найти границы спектра оператора Л, т. е. а ( Л ) , В(Л), затем найти границы спектра а ( В _ 1 Л ) и В ( В - 1 Л ) , после этого определить набор па-

раметров %j. В результате	приходим				к схеме	реализации
			і
{E+^Al]			...			(3.61)
1+1	і	f	/+		—
1+1	і	f		n+l

Следует подчеркнуть, что для нахождения необходимых ап риорных констант а (Л), В (Л), а ( В - 1 Л ) , р ( Б _ 1 Л ) можно вос пользоваться методами, изложенными в 1.1.

Ряд интересных алгоритмов оптимизации метода рас щепления для решения стационарных задач рассмотрен в работах Дугласа1 1 5 1 , ВакспрессаП 5 1 , Варги'1 5 ], А. А. Самарско го 1 3 ' 1 5 1 , Е. Г. Дьяконова1 1 5 1 и других.

	3.4. МЕТОД	РАСЩЕПЛЕНИЯ
С	ВАРИАЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ
Рассматриваем	задачу
	Л Ф = /,		(4.1)
где Л > 0 , предполагая, как		обычно, что редукция	задачи

математической физики к системе алгебраических уравнений уже осуществлена и, следовательно, (4.1) является алгеб раической системой уравнений.

Решение уравнения (4.1)			обычно	ищется с	помощью ите
рационного	процесса. Метод		последовательных		приближений
определим	в следующем	виде:
	в c p ^ H - V	+ Л ф 7 = Л		ф о = о,	(4.2)
	і

где В— матрица, вид которой будет установлен ниже, а т3- —

параметр	нестационарного итерационного процесса.
В предположении
	^ = 2		4 , Аа>0,	(4.3)
м а т р и ц у	с ж а т и я	В - 1	выберем в следующем	виде:
	В=	П	(Е + аАа)"\	(4.4)
		<х=1

где т~^.\. Выбор В в виде (4.4) диктуется прежде всего со ображениями экономичности алгоритма. Заметим, что в (4.4):

введен в рассмотрение еще один параметр а, который может быть выбран на основе апостериорной информации о реше нии с учетом оптимизации вычислительного алгоритма.

Будем предполагать, что спектральные свойства матриц А и В нам заранее ие известны. Задача состоит в выборе оптимальных параметров Xj и ст на основе апостериорной информации о приближенном решении с помощью метода минимальных невязок. С этой целью левую часть уравнения

(4.2) умножим на оператор В - 1 . Тогда, используя			соотноше
ния для невязки
	li=A<pi—f,
получим
V + ' - f y +	fi-i\|y=0>	£ 0 = _ А	( 4 5 )

Обе части уравнения (4.5) умножим слева на оператор А, вычтем и добавим f/xj. В результате получим уравнение для невязки итерационного процесса

	* т	* +	АВ~^	= 0,	\|° = — t		(4.6)
или	l^={E-XiAB-l)V,				%°=—f.		(4.7)
	l^={E-XiAB-l)V,				%°=—f.		(4.7)
Рассмотрим	скалярное		произведение (\|3"+I, £ 3 + 1 ) .				Используя
(4.7), получим
			\ М ) = Я І ( \ \ V),				(4-8)
где	2т	( Л Д - 1 ^ )
а - 1	2т	( Л Д - 1 ^ )			1(АВ-Ч,АВ~Щ
ъ ~ 1	2 Т ;			+ х >	(М	•	( 4 - У )

Предположим, что матрица В зафиксирована, т. е. а извест на. Тогда параметр Х) выберем из условия минимума функ ционала <7j. Рассмотрим уравнения

		4 = 0	'	4 >	0	"	( 4 Л 0 )
Второе	из соотношений (4.10)			в предположении, что			АВ~Х>
> 0 , удовлетворяется.		Из	первого		же	соотношения	найдем,
что
	Ъ	(AB-4J\AB-W					( 4 Л и
Введем	обозначения
	г/з+і =	5 - 1 ^ ,	zl+l—Ayi+l				(4.12)

и рассмотрим	схему		реализации				метода		расщепления.		Бу
дем считать, что & задано. Тогда							найдем		функции	y1+i	с по
мощью уравнения
			Вуі+1 = $.							(4.13)
Это уравнение сводится к системе
	(Е	+	аАо)тУі+2Іп				=	УШ1п,		(4.14)
										(4.14)
	(Е	+ ААп)ту>+*				=	у 1	+
После того, как yj+l		найдена, определим
а затем				z!+i=Ayi+l,						(4.15)
а затем
Новое приближение		для		невязки			определится формулой
		g j + l =		g ; _ T . z j + l _							( 4 1 7 )
В результате для решения ф : + 1						получим
		ф і+і = ф ; — т^і+і .								(4.18)
Остается выбрать параметр					а.
В общем	виде	проблема			оптимального выбора					парамет

ра а до сих пор не решена. Поэтому будем говорит о не которых эффективных методах выбора параметра а, кото рые носят эвристический характер и являются результатом систематического анализа вычислительных экспериментов. Так, если мы не располагаем априорной информацией о спектре положительного оператора А, то параметр сг будем рассматривать изменяющимся от итерации к итерации и вы бирать в виде

или

		1		3	- 1	Т
		Oj = -,	г	2			І,
где j =	2, 3,	'	1	і=1
При	специальной	организации			алгоритма величина в\ не

будет участвовать в вычислительной схеме. Схема вычисле

ний определяется	выбором	вида оператора В, который бу
дем считать зависящим от индекса /. Пусть
в 1 =	п л а !	в 3 - = п (Е	+ \ А Л

W Г. И. Марчук

145

где	1—2, 3, . . . Заметим, что				для первой			итерации также
можно принять			аі = 0. Тогда мы			приходим		к	обычному ме
тоду минимальных невязок для первого шага расчета.
Известный		интерес		представляет случай,				когда		оператор
В выбирается		в виде
где	а=а{А),	6 = 8 (Л). Тогда			метод		расщепления			оказыва
ется	близким	к	рассмотренному методу (3.61)						с выбором Tj
по Чебышеву,		но он уже не требует предварительного зна
ния априорных констант а{В-]А)						и В ( £ _ 1 Л ) .
			3.5. РЕШЕНИЕ		УРАВНЕНИЙ
	С В Ы Р О Ж Д Е Н Н Ы М И ОПЕРАТОРАМИ
			ИТЕРАЦИОННЫМИ			МЕТОДАМИ
В 3.1—3.4		рассмотрены различные					итерационные методы
в предположении, что				разностный		оператор А в уравнении
				Л Ф = /						(5.1)
положителен		и	имеет	вещественный			спектр		собственных
чисел.

Однако в приложениях весьма часто приходится иметь дело с разностными уравнениями или системами линейных алгебраических уравнений с вырожденными операторами,

когда
(ЛФ , Ф ) ^ 0 ,	(5.2)

причем равенство нулю этого функционала достигается на некотором элементе ф=фоС=Ф пространства допустимых

ФУНКЦИЙ, Т. Є. фо=т^О и

(Лф0 , ф о ) = 0 .

(5.3)

В этом случае, очевидно, спектр оператора А заключен в ин тервале

0 < ? і „ ^ В .

(5.4)

Такая ситуация возникает, например, при решении разност ного аналога задачи Неймана или задачи Пуанкаре для

уравнения Лапласа. В	этих случаях, как известно, элемен
тами, у Д О В Л е Т В О р Я Ю Щ И М И		УСЛОВИЮ	(5.3), Я В Л Я Ю Т С Я	ф = СОПБІ.
Предположим, что	мы	хотим	найти решение	уравнения

(5.1) с помощью одного из рассмотренных в данной главе

итерационных		методов. Поскольку	в нашем	случае
а ( Л ) = 0 ,	то	методы последовательных	приближений, как
правило,	не будут сходиться. Для того		чтобы понять	причи-

ну этого обстоятельства, проведем элементарный анализ. Рассмотрим простейший итерационный метод (1.11)

tf+* =

tf—x{Atf—f),

ср°=0,

(5.5)

предполагая, что спектральная задача (1.10) допускает су

ществование	базиса нормированных		собственных	элементов
{ип} и {ип}.	Пусть
	ф = Ц ф л " л ,	f'—ltfnUn,		(5.6)
	п	а
где	Фп = ( ф . < ) .	/« =	(/.<)•	(5.7)
	Фп = ( ф . < ) .	/« =	(/.<)•	(5.7)

Подставив (5.6) в (5.5) и скалярно умножив результат па ип, получим систему уравнений для коэффициентов Фурье:

ф ; + 1 = с р > - т ( Л п ф > - / п ) ,

Ф° = 0 (п = 0, 1, 2, . . . , /и).

Предположим теперь, что оператор А имеет вещественный неотрицательный спектр, причем XQ=0. 'Тогда, как хорошо известно, существование решения уравнения (5.1) требует выполнения условия

f o = 0 .

Если условие (5.9) выполнено, то из (5.8) следует

		Фо =	0;
	l - q l		( « = 1» 2, . .. , т ) ,
	% = т і - п	Ї"	( « = 1» 2, . .. , т ) ,
	"л
где	qn=\-—%%„.
В результате	получим
	m		с
	фУ= л2=1	[ 1 - ( 1 — ТЛО/]^ ИЛ .

Если предположить, что т выбрано из условия | 1 — т6(Л)|<1,

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

то при / — в ы р а ж е н и е (5.12) будет сходиться к решению задачи (5.1), и мы приходим к соотношению

т f
Фга = У> г	(5-14)
л=1 кп	процесса
Заметим, что при реализации итерационного	процесса

(5.5) алгоритмически мы не представляем приближенное ре шение в форме ряда (5.12), поскольку для этой цели потре бовалось бы предварительное решение полной проблемы на

Ю*

147

собственные числа и собственные элементы		как	основной,
так и сопряженной задач
Аи=%и, Аи =	Хи*.		(5.15)
Между.-тем только такой способ	реализации	гарантирует,
что в процессе вычислении с помощью формулы			(5.12) не
появится член ряда с собственной	функцией	ы0,	поскольку

он из рассмотрения исключен. На самом деле нам приходит ся реализовывать рекуррентный процесс (5.5), где разло жение решения па отдельные гармоники, соответствующие

различным

собственным

элементам,

не

производится. Все

эти

элементы

(в том

числе

и «о) содержатся в приближен

ном решении

неявно в форме суперпозиции.

Если

учесть, что условие

(5.9)

выполняется с

точностью

до

ошибок

округления

(аналогичным

образом

Х0

отличается

от нудя на ошибки округления), то в реальном

алгоритме

расчета

вместо формулы

(5.12) мы имеем

дело с

формулой

ф ; =

v [ l ^ i i _ x l

n y ]

l J L U

n j

( 5 1 6 )

f 11=0

ГДЄ

уже

Присутствует

ЧЛЄН

С СОбСТВеНИЫМ

ЭЛеМеПТОМ UQ,

амплитуда которого /Ул„ порождается только ошибками ок ругления и является, таким образом, практически случайной.

Эта	ошибка обычно портит приближенное решение настоль
ко,	что оно перестает быть интересным для использования.

И, что наиболее неприятно, вклад нулевого компонента носит случайный характер, не позволяя добиться требуемой точности решения задачи (5.1).

Чтобы итерационный процесс (5.5) сходился, необходимо ввести такую модификацию в алгоритм, которая бы в прин ципе исключала возможность появления компонента решения, соответствующего UQ. Такую модификацию алгоритма мы произведем с помощью метода ортогонализации, сущность которого состоит -в следующем.

Если все подпространство допустимых элементов обозна

чить через Ф, а подпространство, за вычетом			подпространст
ва, натянутого на элемент	и0, через Ф0 , то		на элементах
этого подпространства, как	нетрудно	видеть,	имеет место
условие
(Лф,ф)>0,	если среФ	0 .	(5.17)

Следовательно, на элементах Фо спектр оператора А уже бу дет положительным и располагаться на интервале

0 < а * И ) < й . п < р ( Л ) ,

(5.18)

где а* (А) совпадает с первым собственным числом Кх (Л) •оператора Л. Это значит, что на элементах данного подпро-

странства любой из		итерационных процессов, рассмотренных,
в настоящей главе,		будет сходиться. При этом оптимизация
методов	производится обычным путем с учетом новых границ
спектра	[а *, В].
Процесс ортогоиализацин конструктивно определим-- сле
дующим	образом. Предположим, что собственные		элементы
и0 и и0 известны нам заранее, причем
		[ий, и0) = 1.	(5.19)

Вместо одношагового итерационного процесса (5.5) построим следующий:

фУ-н/2 = ф У _	т ( Л ф / _ / ) ;
ф ; + 1 = ф Я - т _	(фУ+і/2, и*) иа.	- ( 5 - 2 0 )

При этом будем полагать, что смысл имеют приближения с целыми индексами. Покажем, что процесс (5.20) для при ближенных решений с целыми индексами на каждом шаге аннулирует (с точностью до ошибок округления) компонент решения, соответствующий «о- С этой целью достаточно вто рое из соотношений (5.20) скалярно умножить на щ и вос пользоваться условием нормировки (5.19). Тогда будем иметь-

		(ф/+>,	« ; ) =	0.	(5.21)
Выражение	в левой части		(5.21)	является	коэффициентом-
Ф.урье ф о + І при		«о- Таким образом, утверждение доказано.
Переходим	к	описанию схемы реализации			итерационного

процесса с ортогонализацией. Для того чтобы реализоватьэтот алгоритм, следует предварительно определить два соб

ственных элемента и0	и и"0 операторов Л и Л* соответствен
но и границы спектра	а* {А), В (Л), необходимые для опти

мизации итерационного процесса. Построение схемы реали зации удобно начать с определения максимального собствен

ного числа		В(Л) =	В(Л*) = В.		С	этой	целью		воспользуемся
итерационным процессом Люстерника							(см.	1.1).		Пусть	име
ется итерационный			процесс
				w ' " = A m -							( 5 - 2 2 ) ;
Тогда	максимальное			собственное		число В		найдется в			виде
				р е l i m l ^ i .							(5.23)
После	того,	как 6		П->ео					с	алгоритмом
			найдено,		в соответствии
из 1.1 построим новые операторы
		£ =		б £ - Л ,	Б* =	В £ - Л *					(5.24)

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ