Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Используем теперь при оценке членов в равенстве для квад рата нормы со'' приведенные выше локальные оценки для («'')?!• Тогда получим

Отсюда приходим к оценке нормы

||(о"|ґ / ,<С/гЗ'2.

Таким образом, для норм векторов погрешностей аппрок симации %h, г)'1 и в'1 справедлива оценка

max(\|j\|*h, 1ч%,	\| № „ ) < С / г з /	2	( 1 л 4 )
с некоторой положительной и	не зависящей		от h констан

той С, если выполнено одно из условий: либо па каждом из

отрезков	[ 0 , г/і], [(/і,	г/о],	[Ут, 1 ] сетка	является	равно
мерной;	либо сетка	является	квазиравномерной, т.		е. при
/г->-0 неравенство- \| А Х Й + 1 / 2 —Ад;;,-і/2І ^ с / г 2 с				некоторой	поло

жительной константой с нарушается лишь ограниченное чис ло раз. Перечень таких условий может быть продолжен, но отмеченные наиболее часто встречаются на практике.

Заметим,	что	понижение			гладкости любой				из	функций р,
q и / на порядок		приводит к оценке
	max			W'\h>			!№,,)<
Рассмотренная			нами	разностная			схема	(1.11)		применяет
ся на практике весьма редко, так							как явное		интегрирование
функций р, q и / может оказаться							затруднительным. Поэто
му вместо	(1 . П),		как	правило, используют					се	упрощенный
вариант:
	^xh	{		axk+M2			а	к~ 1/2		]
(f*)k	= - д ^		(f&x)k =fh		(ft	=	1, 2, . . . .		л -	1),
				фО =	фп =	0.

Оказывается, что для этой простой схемы все сделанные вы воды о величине погрешности аппроксимации полностью со храняются, если, конечно, сохраняются соответствующие пред положения о гладкости данных задачи.

Перейдем к обсуждению вопроса сходимости разностного решения задачи (1.11) и (1.12) к точному решению исходной задачи (1.1), сохраняя при этом сделанные предположения о гладкости функций р, q и /. Подставим в систему разност ных уравнении (1.11) вместо компонентов (Ф' ! )Й значения функции ф в узлах сетки. Тогда можно ввести в рассмотрение

вектор (Ф)/І, компонентами которого будут величины									y{xh)
k—\,	2,	п—1. После несложных преобразований получим
		Л " [ ф " - ( ф Ь ] = -			( 1 " - л " + в " ) -				(1.15)
Если теперь ввести вектор ошибки						£ Л =ф/ ! —(ф),, и умножить
(1.15) скалярно на є'1, то				после применения неравенства Бу-
ияковского — Шварца			и	неравенства			треугольника		будем
иметь		(Л"8\ Е * ) < ( \| № , + \| M h , +\|\|вЛ \|К)1№й ,							(1.16)
		(Л"8\ Е * ) < ( \| № , + \| M h , +\|\|вЛ \|К)1№й ,							(1.16)
где скалярное произведение понимается в смысле
		л—1
		(ф, 'Ф) =	2	Л*лфи% (Ф. ty^Fi,)-
Исследуем подробнее				левую	часть	неравенства (1.16). Так
как	по предположению		р{х)^р0>0,				то для	любого	ty^Fi,
						-і	Г
	( л ч ,	ч>) = У ( ^ - ^ - i ) a			+	у	4>h j	qdx
			І	7 1 W
		c ft -		1
		> P o У ( г \| ) д Т % ~ і ) г			= Poо-ч.			> о ,	(i . i7)

fc=l

где гр — ненулевой вектор, на компоненты которого налагают ся условия ф о = Ф л = 0 , и L h — разностный оператор:

(L"op)h =	— — ——	—	(ft =	l ,	л — 1),
		4'0 — фп =	0.
Так как	оператор	самосопряжен и положительно			опреде
лен в введенном скалярном произведении				(самосопряжен
ность легко проверяется, а положительная				определенность
следует из (1.17)), то окончательно имеем
где %\—минимальное		собственное	число спектральной задачи
		Z A p ^ ^ y 1 .			(1.18)

Эта задача является разностным аналогом на неравномерной сетке простейшей задачи Штурма — Лиувилля

— 0 = * " @<*<1)' (ид)

I	ы ( 0 ) = м ( 1 ) = 0 ,

собственные числа	которой суть	величины ^/t=n2 /e2	(k=i,
2 , . . . ) . Из работы	А. Н. Тихонова, А. А. Самарского1 4 1		сле
дует, что длл любого k~^\
	' Л->-0
т. е. собственные	числа разностной задачи (1.18) сходятся
к соответствующим	собственным	числам задачи (1.19).

Для случая, когда сетка выбирается равномерной, этот факт устанавливается достаточно просто. В самом деле, опе

ратор L h тогда имеет вид	матрицы
2	- 1	0	о	о
- 1	2	- 1	о	о
О	О	О	. - 1	2

собственными числами которой являются величины

4	, о	nhk	(k =	1, 2,	.. ., п — 1).
-jp	sin-	—
Отсюда видно, что для любого k~^ \ при h-*-0
		А*	k2n*
и, в частности, Ті* =	-j^ sin2		л2	при	h-^- 0.
Таким образом, возвращаясь				к	неравенству (1.16) и
учитывая построенные оценки, получаем
и к <	- W	т»„+\\^п+тРк).			(1.20)

Рол і '

Дальнейшие оценки строятся достаточно просто, если нам известно поведение норм векторов погрешностей аппрокси мации %h, r\h и Qh. Так, например, если выполняется неравен ство (1.14), то

где М	•'	ЗС	положительная	константа"'.
		—некоторая

В заключение отметим, что хотя описанная здесь мето дика и'•имеет важное практическое значение, нам она нужна

*) Нужно заметить, что, для рассмотренного нами случая эта оценка

груба.	Используя более тонкий анализ, А. НІ Тихонов и А. А. Самар
ский ' 4 '	показали, что \|\|8й[\|я\ < Mfir.

лишь для того, чтобы сравнить ее с новыми подходами к построению разностных аналогов дифференциальных урав нений.

2.2.ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Вэтом параграфе мы приведем ряд сведений по вариа ционной постановке задач математической физики и опишем основные методы их решения. Большая часть результатов взята из известной монографии С. Г. Михлина1 1 1 , где можно также найти доказательство сформулированных теорем.

Иллюстрировать рассматриваемые вопросы будем на примере эллиптического дифференциального уравнения

2		2
-^гАіі(х)-^-	+	УіВі	(x)§-+q(x)u	= f,	(2.1)
заданного в ограниченной области D с краевым условием
(первая краевая задача)	вида
ц = 0 ,		xe=dD.			(2.2)
Основные предположения		о	сформулированной		задаче
следующие. Будем считать, что оператор
	2
	і,3= 1 1		1

самосопряжен по Лагранжу и невырождающийся, т. е. для

любого ненулевого	вектора	£ =	\|г)	выполняется	неравен
ство	2			2
	2			2
»'nf	2i Atj	(х) Ui	> Mo 2 б?		(2-4)
se D i , j ' = l		константой		i = l
с некоторой положительной		константой		цо. Далее будем счи

тать, что функция q(x) неотрицательна в области D и реше ние задачи (2.1), (2.2) существует и единственно. Последнее предположение может вызвать у читателя в дальнейшем вопросы о гладкости данных, является ли решение класси

ческим или обобщенным		и т. д.
Будем, во-первых,		предполагать,		что	решение задачи
классическое и	принадлежит		пространству				о
						Соболева W2,
которое состоит	из функций		пространства		L2(D),		имеющих
в D суммируемые с квадратом обобщенные производные и
обращающихся в нуль на границе 3D.				Норма		в	пространст-
о.
ве W2 определяется соотношением (см.				1.1)

щг11м+Ш'+^У°Уг- <2-5>

Будем считать, что входные данные задачи (2.1), (2.2), например гладкость коэффициентов и границы области, та ковы, что обеспечивают принадлежность решения данному пространству. Во-вторых, если это потребуется при рассмот рении конкретных вопросов, будем считать, что все нужные нам дополнительные требования о гладкости решений или

данных задачи	выполняются. Эти	два условия позволяют
нам легче достичь основную цель		главы — изучение принци
пов построения	сеточных аналогов дифференциальных урав
нений с частными производными.

2.2.1. Метод Ритца

Сделаем дополнительные предположения, что 5 , ( t = l , 2) тождественно равно нулто в D. Тогда нетрудно показать, что для всех функций ф и ч|з из области определения операто ра L выполняется интегральное тождество

(1ф, !>) = f yLydD		=	f 2	Atti	(x) - 0 - - Ц -	+	q (x) ерJ		dD.
	D		D U,] = \		'	I			I
									(2.6)
Поставим теперь в соответствие исходной							задаче		(2.1),
(2.2)	вариационную задачу на			нахождение элемента				н є Ф ( і ) ,
где	Ф(Ь)—область	определения оператора					L , на	которой
квадратичный функционал
	./ (и) =		{ uLudD		— 2 f fudD
			Ь		b

достигает своего минимального значения. Ответ на вопрос, чем является такой элемент, дает следующая теорема о ми


нимуме квадратичного				функционала.
Т е о р е м а		1.	Если		функция		и є Ф ( І )	— суть	решение
задачи	(2.1),	(2.2),		то	она	минимизирует квадратичный
функционал J {и).			С другой стороны, если
				/ (и) =		inf J (v),			(2.7)
где Ф ( 7 ) — о б л а с т ь				определения			функционала		/(«)*> и
u e O ( L ) ,	то и является				решением		задачи	(2.1), (2.2).

Сформулированная теорема имеет многочисленные при менения и легко обобщается на случай уравнений с самосо пряженными и положительно определенными операторами.

Так как мы везде предполагаем однозначную разреши мость задачи (2.1), (2.2), то вполне естественно вместо этой

*) Очевидно, что Ф ( 1 ) е Ф ( / ) .

задачи рассматривать вариационную задачу (2.7) и, соответ ственно, исследовать методы ее решения.

Наиболее известным методом решения задачи (2.7) яв ляется метод Ритца. Опишем его применительно к решению операторного уравнения

Lu = f

(2.8)

в некотором гильбертовом пространстве F со скалярным произведением (и, и), когда оператор L самосопряжен и положительно определен в F. Следуя теореме 1, делаем вы вод, что задача нахождения решения задачи (2.8) равно сильна нахождению элемента гильбертова пространства F, реализующего минимум функционала

	J(u)	= (Lu,		и ) - 2 ( ы , f ) .				(2.9)
Введем	последовательность				конечномерных			подпрост
ранств Fh^F,	которые	определячотся				бесконечной		последова
тельностью параметров hv			h2,	...	с hk	— 0.	Будем говорить,
что последовательность Fh			полна		в F,	если	для любых w & F
н є > 0 существует h =		h (и,	є) >	0 такое, что
		inf	\|\|u — «Л < в					(2.10)
для всех h <	h. Иначе	говоря,		полнота означает,				что любой
элемент и є ґ	может	быть	с	любой		степенью точности ап

проксимирован элементами пространств Fh, начиная с неко торого h > 0.


	В предложенной постановке метод Ритца формулируется
следующим образом: требуется найти элемент uh^Fh,							мини
мизирующий 1{и)		в пространстве	Fh.	положительно		определен
в	Т е о р е м а 2.	Если оператор	L
	Fh и последовательность подпространств				{Fh)	полна в F,
то	последовательность приближений			{и'1} по	Ритцу		сходится

вF к решению и уравнения (2.8).

Вслучае, когда базис пространства Fh. предполагается

известным и	состоящим из функций {фі'У^і,	задача нахож
дения uh^Fk	эквивалентна нахождению	коэффициентов
{ a ^ ^ ' j разложения
	и л = 2 « і Ф і	(2-Й)

из условия минимума функционала J {и). Как обычно, под ставляя (2.11) в функционал J (и) и приравнивая нулю про-

изводные —г—-(i = l

/vf t ), приходим к системе линейных

алгебраических		уравнений							(2.12)
				Aa=g,					(2.12)
где а и g	суть JVh-мерные векторы, причем
				gi	= ( / . T i ) .				(2-13)
a A = ( a { j ) — м а т р и ц а				Грама системы			векторов		{ф,} в ска
лярном произведении с оператором L , т. е.
		а « = (Z-ф,, фл-)							(2.14)
Так как	а ц = а ^ ,		то	матрица А симметрична				и в силу не
равенства
	(At	1)	= [L	[2	ІІФІ ).	І	ІІФІ ) >	0	(2.15)
при 1=7^0 положительно				определена.

В случае, если решение вариационной задачи является пределом последовательности элементов, каждый из которых не удовлетворяет граничным условиям дифференциальной за

дачи, то такие граничные условия называются	естественными
(например, условия Неймана). Если каждый	элемент этой
последовательности удовлетворяет граничным	условиям, то

они называются главными (например, условие Дирихле).

Лионс Г 1 ' 2 1 и	Бабушка'5 1	ввели в рассмотрение так называе
мый «метод	штрафов»,	с помощью которого можно задачу
с главными	граничными	условиями приближенно свести к ва

риационной задаче с естественными условиями. Например, для задачи Дирихле в этом случае ставится задача на ми

нимум следующего	функционала:
уЕ (иЕ) = j ( U e L U e ) dD — 2 J fiizdD		+ -	\ ulds,
D	D	E	dD

где є — достаточно малый параметр.

Вслучае разностной задачи Дирихле для уравнения

Пуассона (см. Бабушка1 5 1 ) можно выбрать г=№, где а~>0,

тогда для	f^W\	имеется оценка				\\и — ME \|lw^cft4lflhv£» при
чем
H = m i n	(k +	1, /г 4 -\| —	~,	у ,	'	k — 1, k — \- —		^\.
		2	2 '	2	'	'	2	2

Отсюда при заданном k можно определить о.

2.2.2. Метод Галёркина

Основным недостатком метода Ритца является то, что он применим только для уравнений с самосопряженными и по ложительно определенными операторами. От этого недостат ка свободен другой вариационный метод, называемый мето-

дом Галёркина (иногда его называют методом Бубнова — Галёркина). Опишем этот метод применительно к решению операторного уравнения

Lu=f

в гильбертовом пространстве F (Ф(^) плотно в F ) . Как и в предыдущем пункте, введем последовательность конечномер

ных подпространств Fh	(Іі =	Ііи	h2,...)	с базисами	{фі
Тогда приближение по Галёркнну ищется в виде
		Nil
	uh =	V	аіЦ>і		(2.16)
так, чтобы невязка Luh—f	была		ортогональна всем		векторам
из Fh. Следуя такому требованию, приходим к системе
где	Aa=g,				(2.17)
где
ai} = ( і Ф ? , ц>1), g l	= {f,	ф?) (і,		j = 1, . . . , Nh).	(2.18)

После вычисления коэффициентов {а,} приближенное реше ние легко находим по формуле (2.16). Нетрудно видеть, что для положительного и самосопряженного оператора L систе ма (2.17) совпадает с системой (2.12), полученной по методу Ритца.

Перейдем к изучению сходимости приближенных решений (2.16). В отличие от метода Ритца здесь эта проблема зна чительно сложней, в силу чего мы рассмотрим лишь частный

случай, когда L — L0-\-K,

L 0 — симметричный и положительно

определенный оператор и Ф(К)^Ф(Ь0).

Имеет

место

Т е о р е м а

Если

решение и задачи

Lu =

f существует

и единственно

F, последовательность

{Fh}

полна

(в

смысле определения 2.2.1) и оператор Ь^К

вполне

непре

рывен

в F, то

последовательные приближения uh, получае

мые

методом

Галёркина,

сходятся

в F

точному

реше

нию и.

С. Г. Михлинымш показано, что для тестовой

задачи

(2.1),

(2.2)

выполняются требования теоремы

если

в качестве

о.

выбрать пространство W2.

Заметим,

что

для

метода

Галёр

кина

функции

{Bi (x)}i= i

уже не предполагаются

тождест

венно равными

нулю.

2.2.3. Метод наименьших

квадратов

Метод наименьших квадратов получил широкое распро странение при решении краевых задач математической фи зики. Для случая операторного уравнения

Lu=f

(2.19)

в гильбертовом пространстве F этот метод имеет следующую схему.

Пусть Fh — конечномерные подпространства Fc базисами

Тогда приближенные решения (2.16) строятся с помощью метода наименьших квадратов, исходя из равенств

-±-\\Lu-j\\ = 0 = . . . . Nh). (2.20)

При этом возникает система линейных уравнений (2.17) с

матрицей А={ац)	и вектором g—(gi),	где
оц = ( L T ? ,	'Lcp? ), g i = [f, Ly'l)	( 1 < і , j < Nh).	(2.21)

Очевидно, что матрица А симметрична и положительно оп

ределена, если оператор L неособенный в								Ф{Ь).
Сформулируем достаточные условия сходимости метода
наименьших	квадратов.						і			метода
Т е о р е м а		4.	Последовательные				приближения uh
наименьших квадратов сходятся в F к точному решению и
уравнения (2.19),			если	оно		однозначно разрешимо,				последо
вательность	LFh полна			в O ( L ) , а оператор					существует и
ограничен.
Поясним		смысл второго				требования		теоремы.		Полнота
пространств		LFh,	как	и в 2.2.1, означает*',					что для	любых
и є Ф ( І ) и е > 0 найдется					h = к (и,в)		> 0	такое, что
				inf \\Lu— Lw\\ < s						(2.22)
для всехРк	с	h <	h. Далее		очевидно,		что	при	единственности
решения и задачи			(2.19)		требования теоремы будут					обеспе
чивать как		Lu'1	Lu, так			и ыЛ	и.

Более сложным, чем для двух предыдущих методов, яв ляется вопрос об удовлетворении предельного решения гра ничным условиям, когда метод наименьших квадратов при меняется для решения краевых задач математической физики. Кратко опишем два возможных подхода к решению этого вопроса.

Первый, наиболее очевидный, путь — это требовать от функций пространств Fh точного удовлетворения граничным условиям. Этот подход уже в случае смешанной краевой за-

*>	Заметим, что выражение LF ^шеет смысл, так как по предположе
нию	F c < D ( L ) .

дачи для эллиптического уравнения (2.1) оказался весьма сложным в практической реализации.

Второй возможный путь — использовать «весовой метод» для постановки дополнительной вариационной задачи, как это предлагается в работах Брембела, Шатца'5 1 и других. Кратко идея подхода заключается в следующем. Дифференциальному

уравнению с частными		производными порядка 2т
	Lu=f		в	D,			(2.23)
с краевыми	условиями
	h4==fi	н а	dD (' =		1. • • •, tn)		(2.24)
ставится в соответствие		функционал
	J h {и) = \\Au-f\l2 +			m	с, (A)	Whu-ff,	(2.25)
	J h {и) = \\Au-f\l2 +			2	с, (A)	Whu-ff,	(2.25)
				і—і
где [ci(h)}T=i	— положительные			функции		параметра	/г, харак

теризующего последовательность подпространств Fh. Для раз

ностного	аналога	самосопряженной	задачи		(2.23),	(2.24)	на
		— 2(2т—т		.—1/2)
гладких	решениях	имеем с,-(Л)=Л	v	'	где	т1 — по
рядок старшей производной в операторе				/,-. Приближения			uk

методом наименьших квадратов ищутся теперь как решения вариационных задач

inf J k (и) = J (и*).

Функции и1' сходятся к и при Л-»-0, причем асимптотически удовлетворяется как само уравнение (2.23), так и краевые условия (2.24). При этом функции подпространств Fh не обя зательно удовлетворяют краевым условиям.

2.3.РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

ДЛ Я УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ОСНОВАННЫЕ НА ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ

В последние годы с работ Лионса1 1 -2 1 , Л. А. Оганесяна, Л. А. Руховца1 5 ', Обэна1 5 1 , Биркгофа, Варги, Шульца'5 1 , Бабушки1 5 1 и других начался широкий научный поиск новых ме тодов построения разностных уравнений на основе вариа ционных принципов. В настоящее время это направление обогатилось рядом интересных идей, центральной из которых, по-видимому, является использование в качестве пробных функций — функций с конечным носителем, т. е. таких функ ций, которые только в сравнительно небольшой (порядка

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ