Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

С помощью этого рекуррентного неравенства будем иметь

А это значит, что при сделанных предположениях счет по схе ме расщепления (4.38) будет абсолютно устойчивым.

Нетрудно убедиться, что система (4.38) аппроксимирует исходную задачу с первым порядком точности по т.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу

^ - + /ІФ = / в	DXD,,
Ф = £ в D при	f = 0 .	(4.41)

Схему расщепления для этой задачи рассмотрим в виде

" - ф ' W ^ - o ,

(4.42)

ф / + ' - ф ' " + А. Ф'--н = V

Такая схема расщепления аппроксимирует исходное неодно

родное	уравнение с			точностью		до	величин первого			порядка
по т.
Устойчивость схемы докажем следующим образом. Умно
жим	скалярно		каждое		из	уравнений		соответственно по
ф - , ' + 1 / ", ... ,		ф і + 1 .	Тогда	аналогично			предыдущему		будем иметь
		• і	а	Ф
		Ф	<	Ф		( а =	1, 2,	н — 1) .		(4.43)
						( а =	1, 2,	н — 1) .		(4.43)
Последнее уравнение из (4.42) рассмотрим более										подроб
но. В самом деле, имеем
( ф Ж ,		ф № ) = ( ф ' +			» , ф ' + 1 ) - т ; ( Л ф / + 1 ,				ф / + ' )	+
				+ т ( Л ' , Ф / + 1 ) .
Учитывая, что АП^0,				получим
		( ф / + 1, Ф' + , ) < ( Ф			" , ф >+1) + Т ( / / ,				ф / + > ) .

Используя известное неравенство Коши—Буняковского, полу чаем

\|(ф'' + П ~ ^ , ф'-+')\| < \| \| ф У + ^	\| \| \ [ Ф Ж \| \| ,
\| ( Р , Ф ' + , ) 1 < ! 1 Р 1 1	bj+]W-

Следовательно,

II Ф', + 1	IP < І ф ' + ""ЛІ 1 Ф'*1 1 + т 1 //11 фЖ	\|\|.
Сокращая на	\|\|ф^+1\|\|, приходим к следующему	неравенству!

ІІФ^+І<ІІФ + ^ І І + т|/'1

Исключая решения с дробными индексами, будем иметь 11ф*+111<1И1+т||р||. (4.44)

Учитывая, что

ІІФ°ІІ = ІІ£ІІ

и исключая промежуточные значения решения, получим

ІІФ^ЧКІІ^ІІ+т/ІІЛІ,		•	(4.45)
г д е
\\n-nmx\\fi\\.
Отсюда следует абсолютная	устойчивость		разностной схемы
для любого момента времени	из интервала		0 ^ ^ ^ 7 " .

Данный алгоритм расщепления обобщается на случай вре менной зависимости оператора А. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует принять подходящую разностную аппроксимацию этого оператора на

каждом интервале	tj^.t^.tj+\.
4.4.4. Расщепление квазилинейных задач
Рассмотрим эволюционную задачу с оператором А, зави
сящим от времени и решения задачи:
%	+ A(tf	ф ) Ф	= 0 в D X D, ,	( 4 4 6 )
	Ф = £	в D	при t=0.

Относительно оператора A (t, ф) предположим, что он не отрицателен, аддитивен

A(t, Ф ) = V A a ( t , ф),

(4.47)

Aa(t, ф ) ^ 0 и обладает достаточной гладкостью. Предполо жим далее, что решение ф также является достаточно глад кой функцией времени. Рассмотрим на интервале

^tj+i схему расщепления

ф	> - /	"	+АІ	t ' + l		"	= 0 ,
	ф	~ ф	+ л ^ ф		+ Ф = 0 ,
							(4.48)
	. ,	п—1					п—1
Ф > + 1	- Ф*	" + Л ; Ф ; + 1 - ) У					" = 0 (

где

Ф1' = фУ-і + тЛ'-і (*>_,, ф»-1) Ф ; - і ,

(4.49)

X — tj—tj-\.

Методами, изложенными выше для линейных операторов, зависящих только от времени, несложно доказывается, что схема расщепления (4.48) при условии (4.49) имеет второй порядок аппроксимации по т и абсолютно устойчива. Анало гичным образом определяется метод расщепления для неод нородных квазилинейных уравнений. Это открывает широкие возможности применения схем покомпонентного расщепления к решению нестационарных квазилинейных задач гидродина мики, метеорологии, океанологии и других важных областей.

4.5. ОБЩИЙ ПОДХОД

КПОКОМПОНЕНТНОМУ Р А С Щ Е П Л Е Н И Ю

При решении многих задач математической физики воз никает необходимость расщепления исходных дифферен циальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений на более простые с последующей редукцией их к разностной форме на основе изложенных в настоящей главе алгоритмов. Этот вопрос тесно связан с проблемой слабой аппроксимации исходных уравнений уравнениями более про

стой структуры, рассмотренной в работах	А. А.	Самарско-
г о [ 3 - 1 5 J , Н. Н. ЯненкоГ З ] , Г. В. Демидова"5 1 ,	Е. Г.	Дьяконова,

В. И. Лебедева1 1 5 ' и развитой в исследованиях многих авто ров. Он и будет предметом нашего рассмотрения.

Пусть имеется некоторая	задача	математической физики
+ Лф =	0 в D X	Dt ,
^		(5.1)

Ф = £ в D при t=0.

Предположим, что
		А =	2	Аа,			(5.2)
причем Л а ^ 0 . Решение ср и функция / предполагаются							доста
точно гладкими.	Тогда	задачу		(5.1)	на	каждом интервале
® І = { 0 ^ ^ ^ + І }	представим		в следующем			виде:
	+ Л а Ф а == 0			в	DX®},
	Фа =	ФІІ'і	в	D	при	Г=гГ;-	(5.3)
	( а = 1 , 2 , . . . , д) .
При этом обозначено
	Ф $ + , = Ф \		Ф£+ 1 =		Ф Ж .		(5.4)

Ранее было доказано, что если к каждому из уравнений применить схему Кранка—Николсона, то приходим к системе разностных уравнений

где				( а = 1 , 2		/г),
где
	ф ,		+ ~	= ФІ+1 ;	фУ+1 = ф » + » .		(5.6)
	Предположим,		что	каждый	из	операторов Л а в свою оче
редь представим		в виде
				та
				8 = 1
где	Л а р ^ 0 . Возникает вопрос,					і	предвари
где	Л а р ^ 0 . Возникает вопрос,				целесообразно ли		предвари
тельно оператор		А	«расщеплять»			на Аа, а затем	операторы
Л а	в свою очередь расщеплять				на Лаз? Не проще ли сразу Л

представить через набор операторов Ла р? По этому поводу следует заметить, что, несмотря на внешнюю эквивалентность этих подходов, во многих случаях оказывается целесообраз ным сначала разложить сложную задачу математической физики на более простые, которые в дальнейшем удобно не

зависимо друг от друга	сводить	к простейшим		задачам.
Рассмотрим систему	(5.3) и	с учетом	(5.7)	расщепим ее
на еще. более элементарные
( а = 1 , 2, . . . , п; р = 1 , 2, . . . ,			та),

13 г. И. Марчук

193

где			• •
Ф7, =	ф'; ФІ	= Ф Й 1 , (а >	1); Ф ; г м = ф ж .
Нетрудно	видеть,	что система	расщепленных уравнений

(5.8) аппроксимирует исходную задачу (5.1) с точностью до величин второго порядка по т, если операторы Ла р коммута тивны. Доказательство такого утверждения основано на том,

что с учетом (5.2) и			(5.7)	можно		изменить			упорядочение ком
понентов расщепления, записав
			ті	та			р
		4 = 2		2 ^ t f = 2				АУ
			<Х=1 \|1=1				Y = I
В этом случае мы приходим к задаче
/+—	з + —		1+ —		/•+ ——-
* V	Р	+ А , *		" + »		Р	Д 0	( Т	= 1 , 2 , . . . , р ) ,
									(5.9)
которая,	как	было	показано		в	4.4,	аппроксимирует задачу

(5.1) со вторым порядком точности по т. Этот результат оста

ется	в	силе и тогда,		когда	Л а р	зависят от времени. В этом
случае		необходимо	на	каждом интервале			t j ^ t ^ . t j + l	произве
сти	аппроксимации		операторов			Ла р = Лір	со вторым поряд
ком	по т. Если операторы				Л£р	некоммутативны, то		методом

двуциклической процедуры, описанной в 4.4, приходим к раз

ностной схеме второго порядка точности						на каждом интерва
ле	tj-i^.t^tj+i.
Резюмируя изложенное, можно утверждать, что если эво
люционную		задачу		вида	(5.1) при условии		Л а ^ 0	свести
к частным		задачам		эволюционного типа (5.3) и затем					рас
сматривать		их	как	набор	новых эволюционных задач,				то,
если	хотя	бы	одна	из элементарных		эволюционных		задач
редуцируется к разностным схемам первого порядка								точно
сти,	тогда	и	аппроксимация исходной			задачи	(5.1)	будет

первого порядка точности по т. Если же каждая из таких задач имеет аппроксимацию второго порядка, то в рамках двуцинлической процедуры по а и р приходим к аппроксима ции второго порядка по т. Заметим, что если операторы Л«р некоммутативны, то без двуциклической процедуры мы при

ходим к аппроксимации	задачи	(5.1)	с первым	порядком
точности. В самом деле, в случае		некоммутирующнх		операто
ров исходной задачей б>дет следующая:
% + У	Л а Ф =	0 в	DxBj,	(5-Ю)
д І				(5-Ю)

ф = Ф 3 в D при t = t } .

Задачу

(5.10) редуцируем

системе

^ +

Ф А

= 0,

Ф ^ Ф І І 1

( а =

1,2,

...,п).

(5.11).

ш а

Пусть Л А

2 ^ар . Тогда каждую из задач

(5.11)

будем

|І=І

решать с помощью двухциклического метода:

,+ J L

,+ _ ! L

, - + Ы

2m„

n 2m„

+ л«»

2m„

—

' T

2m„

<5Л2>

фа

7/2*

—

( P = l , 2 , . . . , / в в ) ,

2m„

, д

2 m a

' T 2 m a

фа

- фа

+ Ф

t " _ n

1ф

Г л а , 2 m a + l _ p

( P = = " V + 1 , « a + 2 , - • -, 2 m a ) .

Начальные условия для решения каждой из

систем

(5.12)

берутся соответственно в виде

ФЇ = ф3',

Фа =

фа-, (а =

п).

(5.13)

Нетрудно

проверить,

что

задача

(5.12)

аппроксимирует

на

интервале

любую

из

задач

(5.11)

точностью

до т2 .

весь

алгоритм

приводил

решению

задачи

(5.1)

Чтобы

с точностью

до т2 ,

необходимо, кроме

того, чередовать

ос

новные

циклы. Так, вместо

(5.11)

следует

иметь на интерва

ле

tj-i^.t^.tj

^ г

Л А

Ф А

(а =

1. 2,

п),

(5.14)

ф'Г1

Ф ' - 1 . Фа"1

Фа-1

(« >

ф' =

Фп

и на интервале

tj^t^tj+i

' Фа

Л „ _ а + 1

ф а

( а =

п),

(5.15)

Ф і = ф ' \

Фа^ФІІ 1 !

( а > 1 ) ,

ф* + 1

ф І + 1 .

При этом

предполагается,

что каждая

из

задач

(5.14)

(5.15) решается с помощью двуциклического метода вида

(5.12). Заметим, что при условии					Л а р ^ 0 метод покомпонент
ного	расщепления	является		абсолютно устойчивым.
В	заключение	приведем		общую		схему	расщепления для
неоднородного уравнения						Л •
		£ +	a = l		=	Л •
		£ +	1	> Ф	=
		ф =	£	при	/ =	0	(5.16)
13*							195

на интервале ^ - I ^ ^ ^ J + I на основе двуциклического метода. Рассмотрим схемы слабой аппроксимации в дифференциаль ной форме.

На интервале

tj^l^.t^,tj

примем

^ р . + Ла фа = 0 (а = 1, 2, . . . , п - 1 ) ,

Оф.,

(5.17)

а на интервале

tj^.t^.tj+\

Ап ф п + 1 =

/ — -!•

A,J,

(5.18)

—%f^

An-a+l

Фп+а =

(a =

при условии,

что

ф і ( ^ - і ) = ф ( ^ ' - і ) ,

фа+і(^-і)=фа(^)

( а = 1 ,

2, . . . .

/і)

(5.19)

Фа+і (tІ) =

Фа (* /+і)

(а =

п + 1,

« +

..... 2/і).

(5.20)

Если теперь для решения уравнений

(5.17) — (5.19)

на

интервале tj-\i^t^tj+l

воспользуемся

схемами

Крайка —

Николсона,

положив f=fK

приходим

системе

(4.36)

для

(5.18),,.

Наряду

системой

уравнений

(5.17),

(5.18) рассмотрим

следующую. На интервале

t j - i ^ t

(5.21)

+ Л п ф „

на интервале

^ - - i ^ ^ O + i

и на интервале

tj^Lt^.tj+\

% t 2 + л„ ф, 1 + 2

= 0,

(5.23)

% t l + Л 1 ф 2 п + 1

= 0.

а/

Начальными условиями для системы (5.21) будут

фі(^ - і)=ф(** - і) . фа(^ - і)=фа - і(^)

( а = 2 ,

л),

(5.24)

для уравнения (5.22)

Фл+і(^ - і)=фл ( 0 )	(5.25)

и для системы уравнений (5.23)

Ф а ( ^ ) = Ф а - і ( ^ + ! )

( а = « + 2 , ' п + 3 ,

2 л + 1 ) . (5.26)

Аппроксимация и устойчивость полученных схем гаранти рует сходимость (см. 1.4).

4.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ	к
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Широкий класс задач математической физики связан с уравнениями гиперболического типа, численные методы ре шения которых начали свое развите с фундаментального ис следования Куранта, Фридрихса, Леви1 7 1 . Большой комплекс исследований в дальнейшем был проведен О. А. Ладыжен ской1 2 1 , С. К. Годуновым1 2 1 , А. А. Самарским1 3 1 , А. Н. Коно валовым1 1 5 1 и другими. В настоящее время предложен 'ряд эффективных алгоритмов решения задач, связанных с урав нениями гиперболического типа в применении к теории коле баний, теории упругости и т. д. в случае многомерных облас тей. Эти методы для гладких операторов задач, решений и входных данных основаны на специальных алгоритмах рас щепления, которые и будут нами рассмотрены.

4.6.1. Метод стабилизации

Рассмотрим задачу

5	+ ^ = / B D X D ( ,	; ( 6 1 )
Ф = р,	— q ь D при t =	0.

Будем считать, что оператор А не зависит от времени, функ

ции р и q	обладают	такими свойствами, что			допускают до
статочную	гладкость	решения. Предположим,			что оператор
А — положительно определенный, т. е.
		(А<р,	Ф ) ^ Т 2 ( Ф .	Ф ) -	(6-2)
Напомним,	что для	положительно		определенных операторов
А имеем			(А* +	А
		2	(А* +	А

А 4 - А*

где а—минимальное собственное число оператора — ^ —

Рассмотрим разностную аппроксимацию уравнения	(6.1)
в форме
ф У - н - у + ф ' - ' + A ¥ = f K	{ 6 3 )

Нетрудно показать, что на гладких решениях разностная схема (6.3) аппроксимирует исходное уравнение из (6.1) со вторым порядком по т. К уравнению (6.3) присоединим на чальные данные. Чтобы не нарушить второго порядка аппрок симации, наряду с уравнением (6.3) рассмотрим начальные данные в следующей форме:

cp° = p, ф * = A j p + т<7 + у / ° - (6.4)

Последнее соотношение (6.4) получено разложением решения

задачи (6.1) в ряд Тейлора			в	окрестности		точки		/ = 0	с по
следующим исключением производных с помощью								уравнения
и заданных	начальных условий			в задаче (6.1).
Задача	(6.3), (6.4)	поставлена			полностью.		Теперь нам
необходимо	исследовать схему			(6.3)	на счетную		устойчивость.
С этой целью используем спектральный метод.
Пустьи„ и «„—собственные				функции, а		А . п > 0 — собствен
ные числа спектральных		задач							(6.5)
	Аи=Ы,		Аи=\и*.
Предположим далее, что {ип}				образуют базис. Тогда					реше
ние уравнения будем искать в виде
		ф / = 2 ф ' . " п >							(6.6)
где			ті
		Ф* =	(ф/ , щ).

Подставив ряд Фурье (6.6) в				(6.3)	и умножив		результат на
tin, для коэффициентов Фурье				получим уравнение
	^			г л„ ф„ =		[„.			(0 . 7)
Общее решение однородного уравнения, соответствующего
(6.7), будем искать в виде степенной функции
		ФІ =		Лп.					(6.8)
Подчеркнем еще раз, что в левой части равенства								(6.8)	/ яв
ляется индексом, а в правой — показателем						степени.

Подставляя (6.8) в (6.7) и полагая fi = 0,приходим к ха рактеристическому уравнению для г)„:

ці-2

(\ - ^ ) т ) „ + 1 = 0 .

(6.9)

Легко видеть, что при условии
1	Т2Х	5	< 1	(6.10)
1	Х	5	< 1	(6.10)
	Х
	2

корпи уравнения (6.9) будут комплексно-сопряженными и по модулю равными единице, т. е.

= 1.

(елі)

Из условия

(6.10)

получаем

* 2

< ^ -

(я = 1 , 2

) .

(6.12)

Очевидно,

что

(6.12)

будет

выполняться

для

всех %щ если

брать т такие,

что

T < - J = ,

(6.13)

где

р(Л) —верхняя граница

спектра оператора

Л. Для слу

чая

симметричных

операторов

р (Л) =

||Л|[ и,

следовательно,

имеем

Переходим

теперь

рассмотрению

неявных

разностных

схем

ф т - 2 ф / +

Ф ' - '

ф я - . + у ; - .

= /

( б 1 5 )

Схема (6.15) имеет второй порядок точности по т и вместе с (6.4) со вторым порядком аппроксимирует задачу (6.1). Для уравнения (6.15) характеристическое уравнение имеет вид

' Л»

^ЙГ11П + 1 = 0

(6.16)

1 + — а

и, следовательно,

Отсюда видно, что при любом	т и п	имеем
Ы	= 1-	(6.18)

Схема (6.15) является абсолютно устойчивой (см. Рихтмайер, Мортон1 3 1 ).

Рассмотрим теперь случай, когда

7}
Л = 2 Аа,	(6.19)

а = 1

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ