книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Таким образом, оказывается, что построенная вариацион­ но-разностная схема при f(x, < / ) = / = c o n s t эквивалентна не­ сколько необычной разностной схеме

Эту разностную схему легко построить с помощью обычных трехточечных аппроксимаций вторых производных, если пред­ варительно в узлах Dh заменить дифференциальную часть уравнения (5.26) на приближенную следующим образом:

+

где

P-i = Pi = l . Р о = 4 и (xk, yi)<=D\

2.6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Д Л Я МНОГОМЕРНЫ Х ЗАДАЧ

Кратко остановимся на возможных путях конструирования вариационно-разностных схем для многомерных задач, когда число независимых переменных больше двух.

2.6.1. Способы построения подпространств

Предположим, что в пространстве трех переменных х, у и z задана ограниченная область D с кусочно-линейной гра­ ницей 3D. Для этого случая наиболее известный способ по-

о .

строения подпространств/7 /, с : W2 (D) заключается в следую­ щем. Сначала осуществляется пространственная триангуля­ ция области, т. е. D покрывается конечным числом непересе-

N

кающихся трехгранных пирамид Д„ так, чтобы D = U Ая .Если максимальную длину ребер пирамиды Af e обозначить Ля , то

область D покроем одинаковыми элементарными кубами со стороной Д£, для чего нужно найти пересечения D с плоско­ стями

осуществить различными способами. Один из них показан на рис. 10, где кубик предварительно разбит на две призмы.

Рис. 10.

Таким образом, каждый элементарный кубик можно пред­ ставить как объединение шести пирамид, причем длина мак-

«шального ребра пирамиды равна // = ] / З А ё = ^ _|_t - Про­ делав такую триангуляцию, для всех кубиков получим, что область D будет полностью покрыта Л ? = 6 - ( / ? + 1 ) 3 пирами­ дами. Пространство Fh строится следующим образом. В каж­ дой пирамиде АЛ строится полином вида

с квадратом первые производные и обращалась в нуль па границе. Чтобы обеспечить выполнение этого условия, доста­ точно потребовать непрерывность кусочно-полиномиальной функции g и ее обращение в нуль на дЬ.

делить коэффициенты функций gh через значения g в верши­ нах соответствующей пирамиды Af t . Иначе говоря, нам доста­ точно потребовать, чтобы в вершинах пирамиды Af t функция gh принимала строго заданные значения.

Описанный подход является достаточно универсальным и может быть применен для областей с более общими граница­ ми. Однако алгоритмически даже для простейших областей он весьма сложен. Ниже мы остановимся еще на одном спо­ собе конструирования подпространств Fh, который для мно­ гомерных областей специального вида представляется нам предпочтительней первого.

Пусть D — область р-мерного эвклидова пространства, ко­ торую можно представить в виде объединения конечного чис­

роны А>параллельны координатным гиперплоскостям). Тогда

кой подход достаточно полно рассмотрен в предыдущем па­ раграфе.

2.6.2.Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем

Описанные выше приемы построения подпространств F h и самих вариационно-разностных схем для многомерных за­ дач очень сложны в реализации. Сюда относятся выбор ба­ зисных функций (первый способ предыдущего пункта), рас­ чет ненулевых элементов матрицы системы и т. д. Эти труд­ ности могут быть преодолены, если совместить в одном мето­ де и вариационный и обычный разностный подходы. Конечно, в этом случае система сеточных уравнений уже не будет стро­ го разностной или вариационно-разностной, но их совмещение в ряде случаев позволяет ослабить требования одного подхо­ да за счет использования элементов другого подхода. Про­ иллюстрируем сказанное на примере р-мерного уравнения эл­ липтического типа.

р

где 2 A = /• Затем для каждого из членов суммы (6.8) строит-

ся вариационно-разностная схема вдоль соответствующей пря­ мой Xi (l^Li^Zp), после чего одномерные схемы складывают­ ся. Иначе говоря, если аппроксимация производится в точке ХЙ, то сеточный аналог (6.8) имеет вид

вдоль отрезков оси переменной xi. Способы построения вариа- Ционно-разностных схем для одномерных операторов детально разобраны в 2.3, 2.4.

Проиллюстрируем предлагаемый подход на примере ку­ сочно-линейных приближений, когда область D является

р-мерным единичным кубом с равномерной сеткой Dh{h-= ^ ^_t j . Из 2.4 и (6.9) следует, что система сеточных уравнений для

2.7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ РЕШЕНИИ(a = ± 1/2)РАЗНОСТНЫХ. УРАВНЕНИЙ

СП О М О Щ Ь Ю СПЛАЙНОВ

Проблема интерполяции данных, заданных на дискретном множестве точек, на всю область определения функции не­ прерывного аргумента тесно связана с построением вариаци­ онно-разностных схем и непрерывного представления решений разностных задач. В самом деле, при построении разностных уравнений, как правило, осуществляется процесс дискретизации оператора и решения задачи с помощью подходящих методов проектирования. При этом решение разностной задачи обычно представляет собой приближенное решение исходной задачи на дискретном множестве точек. Предположим, что разност­ ная задача решена и мы располагаем информацией о прибли­ женном решении задачи. Дальнейшая задача связана с ин­ терполяцией полученных данных на всю область определения решения исходной задачи. Естественно, что при такой интер­ поляции должны быть соблюдены некоторые условия, а имен­ но: если решение разностного уравнения получено с опреде­ ленной степенью точности, то порядок интерполяции данных должен быть согласован с порядком аппроксимации разност­ ного уравнения и быть не ниже последнего. Если мы распо­ лагаем дополнительной информацией о погрешностях прибли­ женного решения, то интерполирование приближенного реше­ ния можно осуществить не по точным данным, а с учетом

возможных погрешностей в узлах. Тогда априорная инфор­ мация о гладкости решения в некоторых случаях позволит далее уточнить приближенное решение задачи, полученной с помощью тех или иных разностных методов. Конечно, проб­ лема интерполяции данных имеет и самостоятельное значение.

Алгоритмы интерполяции функций по точным данным, оп­ ределенным на дискретном множестве точек, как правило, ос­ нованы на использовании интерполяционных полиномов Лаграижа. При этом относительно интерполируемой функции Ф(А') вводится априорное предположение о том, что она обла­ дает производными до некоторого порядка.

Другая близкая к проблеме интерполяции задача возни­ кает в том случае, когда значения заданной функции Ф(А) известны в узловых точках xh не точно, а с некоторой по­ грешностью, максимальная величина которой для каждой точки задается в качестве априорной информации. В этом случае задача состоит в построении такой кривой, которая бы в известном смысле наилучшим образом аппроксимировала функцию, заданную со случайными погрешностями в узловых точках. Такая задача обычно решается на основе метода наи­ меньших квадратов.

В последние годы теория интерполяции обогатилась новы­ ми методами, получившими название сплайновых интерполя­ ций. Следует отметить, что сплайном обычно оказывается оп­ ределенная в области D функция, которая в окрестности лю­ бой внутренней точки области представляет собой полином некоторой степени т. Кроме того, эта функция, как правило, непрерывна в области D вместе с производными до т— I по­ рядка и имеет интегрируемую с квадратом производную по­ рядка т. Наиболее употребительными в технике явились сплайны — полиномы третьей степени.

Методы интерполирования функций с помощью сплайнов подробно освещены в исследованиях Холидея1 1 4 1 , Уолша, Аль­ берта и Нилсона[ 1 4 ] , Шенберга1 1 4 1 , Анселона, Лорана 1 1 4 1 , 10. С. Завьялова1 1 4 1 . Обобщение теории сплайновой интерпо­ ляции дано в работах Биркгофа, Шульца, Варги1 5 1 , Варги1 1 1 и других.

2.7.1. Интерполяция функций одного переменного

1) g(x) принадлежит классу С<2) (а, Ь), т. е. непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включи­ тельно;

2) на каждом из отрезков [xh-i, xk] является кубическим полиномом вида

Подставляя теперь (7.8) и (7.9) в условия непрерывности пер­

откуда и следует ее положительность. Отсюда вытекает, что

нозначно. Таким образом, сформулированная задача нахож­ дения интерполирующей кусочно-кубической функции всегда имеет решение и притом единственное.