книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

5.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов

Если свойства среды, с которой взаимодействует поле, из­ меняются, т. е. если оператор уравнения (4.1) переходит в

записаны применительно к вариации функционала, погреш­ ность в которой обычно допустима в пределах нескольких процентов, то для вычисления указанных вариаций нет необ­ ходимости знать точное решение основной и сопряженной за­ дач, достаточно воспользоваться их приближенными реше­ ниями.

С помощью выражений (4.29) и (4.30) получим

Подставим (4.31) в (4.28). Тогда при соответствующих усло­ виях приходим к системе уравнений

Дальнейшая задача состоит в параметризации вариаций бссй и бВй. Сначала рассмотрим простейший случай, когда S6ft=0, а бад — постоянные. В этих условиях система урав­ нений (4.32) переходит в задачу линейной алгебры

Ф, ф*. и Л ft могут быть рассчитаны.

Пусть у — вектор с компонентами ба/*, F — вектор с ком­ п о н е н т а м и — и aid = (ф* , ЛА Ф)—элементы матрицы Л. Тог­ да приходим к уравнению

Если число функционалов я равно числу определяемых вари­ аций коэффициентов ал, то система (4.34) в принципе позво­ ляет найти бал. Если число п больше т, то система (4.34) оказывается переопределенной и ее решение (если оно суще­ ствует) обычно находится с помощью метода наименьших квадратов в предположении, что у доставляет минимум квадратическому функционалу:

Вектор у, минимизирующий этот функционал, иногда назы­ вают квазирешением уравнения (4.34). Если п=т, то для решения системы (4.34) можно использовать методы, которые были нами обсуждены в главе 3 в связи с анализом итераци­ онных процессов при неточных входных данных.

Если 8ак(х) и 6Bf t (x) —функции, то решение обратной за­ дачи можно находить с помощью тех или иных методов пара­ метризации, сущность которых состоит в следующем. Предпо­ лагается, что на основании априорного анализа поведения физических параметров (обычно в результате статистического

Введем в рассмотрение невозмущенную (модельную) за­ дачу, соответствующую задаче (4.40):

Наряду с задачей (4.44) сформулируем п сопряженных за­ дач, соответствующих избранной модели:

( i = l , 2 , . . . , n ) . Согласно общей теории будем иметь

где J' — измерение прибора с характеристикой ри соответ­ ствующее (4.43) (в котором ф' нам не известно); ^РІ~функ­ ционал, теоретически рассчитываемый на основе любого со­ отношения в (4.46). Здесь требуется такая точность в измере­ нии, которая бы гарантировала расчет вариаций^рг

Рассмотрим теперь формулы теории малых возмущений

пользуя метод последовательных приближений, рассмотрен­ ный выше. Так же могут быть поставлены и решены более сложные обратные задачи и в том числе задача по опреде­ лению возмущений 6f в источниках.

Здесь мы подходим к планированию сложного экспери­ мента. Эту проблему можно сформулировать следующим об­ разом. Среди всевозмоленого (практически реализуемого) набора измерений необходимо выбрать тот, который оказы­ вается наиболее информативным с точки зрения решения кон­ кретной обратной задачи по восстановлению требуемых ха­ рактеристик среды (коэффициентов уравнений). В общем пла­ не оптимизации эта задача оказывается очень слолшой. Од­ нако молено рассмотреть некоторые частные подходы к ее решению.

В самом деле, допустим, что перед осуществлением экспе­ римента строится модель невозмущенной задачи, с ее по­ мощью описываются линейные функционалы от решения и с учетом априорной информации о точности измерений дела­ ется вывод о необходимой точности измерения функционалов. Предпололош, что необходимые требования к точности изме­ рения функционалов 8JPi обеспечены. Далее рассматривают­ ся различные совокупности измерений и выбираются те кз них, которые приводят к наилучшей обусловленности матри­ цы Л. Полученная система линейных уравнений в этом слу­ чае обращается наилучшим образом, и такой план эксперимен­ та является в известном смысле оптимальным из данной совокупности (конечно, здесь не рассматриваются экономиче­ ские вопросы, оказывающиеся иногда решающими при пла­ нировании эксперимента). Если же при заданном наборе ин­ формативных функционалов, обеспечивающих наилучшую обусловленность матрицы В, не удается реализовать высоких требований к точности измерений функционалов J P i , то воз­ никает более сложная задача о планировании эксперимента при заданных ограничениях на точность измерений, допуска­ емых разрешением приборной техники. Это уже своеобразная задача на оптимизацию с ограничениями.

Мы не останавливаемся здесь на вопросах статистической обработки экспериментальных материалов. Эти вопросы, ос­ вещенные достаточно подробно в литературе, не вносят в тео­ рию постановки и решения обратных задач каких-либо прин­ ципиальных трудностей (см. Г. И. Марчук, Ю. П. Дробы- ш е в П 6 ] ) .

В результате приходим к системе JV—1 уравнений с неизвест­ ными фі, ф 2 , . . . , флг-ь Эту систему уравнений можем запи­ сать в матричной форме

Нетрудно установить, ЧТО При ф=?"^0

(і4ф, Ф) > 0.

Задачу (1.3) будем решать с помощью метода факториза­ ции (см. 3.8). В результате будем иметь

и потребуем, чтобы специальным выбором 62 и г 2 это урав­ нение было тождественным первому из уравнений системы (1.3). Нетрудно видеть, что для этой цели необходимо по­ ложить