книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Из (6.20) и (6.21) следует, что уравнение (6.20) аппрок­ симирует исходное уравнение из (6.1) с точностью до величин второго порядка по т. Поскольку уравнение (6.20) можно привести к виду

(6.22)

то из анализа Фурье будет следовать устойчивость схемы (6.20), (6.21) при условии

Таким образом, задача выбора параметра т, удовлетворя­ ющего условию устойчивости, свелась к вычислению макси­ мального собственного числа задачи

тельны. Эта задача решается с помощью итерациенного про­ цесса Люстерника.

Запишем схему реализации разностной схемы, соответст­

условие (6.32). Это замечание, конечно, справедливо для об­

Очевидно, имеет место соотношение

А=А,+А2. (6.35)

Кроме того, аналогично предыдущему можно показать, что

нентного расщепления. Заметим здесь, что если вместо дву­

понентого расщепления, который приводит к абсолютно ус­

получить и{У и v i y во всех узловых граничных точках. Уравнения (6.42) и (6.43) с помощью исключения неизве­

стных UhJX И vlj1 Сведем К р.аЗНОСТНЫМ ДЛЯ ВеЛИЧИН (p!„i. Для этого введем в рассмотрение вспомогательные величины

- Ф * Г 4 = - / # 1 / 4 .

Таким образом, приходим к следующему алгоритму чис­ ленного решения задачи (6.30).

Сначала определим начальные поля функций u\,i, v°,i и ц>к,и причем Uk,i и должны удовлетворять разностному анало­ гу условия (6.29). Затем с помощью первой из формул (6.48) находим flj11'' и решаем первое из разностных уравнений

(6.47) при условии на границе Dh (6.45). По найденным зна­ чениям Ф ^ 1 ' 4 с помощью первой из формул (6.46) нахо­ дим

Далее решаем второе из уравнений (6.47) с условием (6.45). После этого с помощью соотношений (6.46) находим

(6.43). Таким образом, алгоритм решения задачи определен полностью.

В заключение следует отметить, что этот метод решения весьма просто обобщается на более сложные уравнения ги­ перболического типа, и обычно он приводит к абсолютно устойчивым схемам второго порядка аппроксимации при минимальном требовании к операторам АА-

Г Л А В А 5

П О С Т А Н О В К А И Ч И С Л Е Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е Н И Я Н Е К О Т О Р Ы Х О Б Р А Т Н Ы Х З А Д А Ч

В современной литературе термин «обратные задачи» используется для ряда различных типов задач математиче­ ской физики. Широкие классы обратных задач изучены в работах Б. М. Левитана1 1 6 1 , М. М. Лаврентьева, В. Г. Рома­ нова, В. Г. Васильева1 1 6 1 и других.

Мы рассмотрим два типа обратных задач. Первый тип — это задачи определения состояния некот орого процесса в предыдущие моменты времени. Примером может служить задача об определении начального распределения темпера­ туры в теле, если известно поле тепла к данному моменту времени. Второй тип — это задачи, в которых требуется восстановить оператор с известной структурой, но с неизве­ стными коэффициентами, подлежащими определению на ос­ нове информации о функционалах от решений. Примером может служить обратная задача для уравнения Штурма — Лиувилля, в которой требуется определить коэффициент в дифференциальном уравнении второго порядка по свойствам спектральной функции некоторой краевой задачи.

Обратные задачи математической физики часто оказы­ ваются в классическом смысле поставленными некорректно. Малым изменениям в регистрируемых функционалах могут соответствовать большие изменения в решениях задач. Поня­ тие корректности и пример некорректной задачи математи­ ческой физики — задачи Коши для уравнения Лапласа — были приведены в начале нашего века Адамаром.

Долгое время так называемые некорректные задачи мате­

геофизических данных. Большой вклад в развитие теории и

В. К. Иванов1 1 6 1 , В. Ф. Турчии1 1 6 1 и другие.

Как было показано, решение некорректных в классическом смысле задач становится устойчивым по отношению к изме­ нениям данных, если наложить иа множество допустимых

решений условно корректных задач по приближенным данным было введено понятие регуляризирующего семейства, суть которого состоит в следующем. Условно корректной задаче сопоставляется семейство классически корректных задач (регуляризирующее семейство), зависящее от параметра, при­ чем при стремлении параметра к некоторому пределу после­

ректной задачи. Было показано, что при соответствующем выборе параметра (параметра регуляризации), зависящего от точности данных, решение задачи из регуляризирующего семейства по приближенным данным будет являться прибли­ женным решением нашей условно корректной задачи.

В работах отмеченных выше авторов исследован широкий круг условно корректных задач. Мы рассмотрим только один класс условно корректных обратных задач, связанных с эволюционными уравнениями, п один метод их регуляриза­ ции на основе техники рядов Фурье.

5.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

Рассмотрим гильбертово пространство функций F, каждый элемент которого представим в виде ряда Фурье по некоторой полной биортогональной системе функций {ип} и {«„) . Та­ ким образом, имеем

со

что в него включаются только такие элементы гильбертова

Разумеется, что подпространство таких функций вкладывает­ ся в пространство функций, разложимых в ряд Фурье.