Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

6.1.2. Одномерная задача						Неймана
Рассмотрим теперь задачу				Неймана:
			dx-		1'
	^	= а		при	х =	0,	(1.8)
		= Ъ		при	х =	1,
где а и Ь—-заданные		константы.
Уравнение из	задачи		(1.8)	проинтегрируем по всей обла
сти определения	решения		и используем граничные				условия.
Тогда приходим к соотношению
				і			(1.9)
		a - b =		\f{x)dx,			(1.9)
				о

которое является необходимым условием разрешимости зада чи (1.8). Это условие в случае а=Ь=0 означает, что сум марное количество источников субстанции равно нулю, т. е. если где-то имеются источники субстанции, то в другом месте субстанция должна поглощаться.

Для получения разностного аналога задачи второго по рядка аппроксимации решение задачи при достаточной его гладкости удобно продолжить вне области определения ре шения O ^ ^ ^ l еще на один интервал h слева и справа от границ. Это значит, что мы имеем дело с некоторой вспомо

гательной	сеточной областью		х~\ =—h,				х0=0, xk=kh,	xN=l,
xN+\=\-\-h.	На этой	сетке определим				аппроксимацию		задачи
в виде
		=	Л	(				(1.10)
	~ Ф-і	_ „		Ф я + і - Ф к - і				(1.10)
	Фі+				*	=	о,1, . . . , л о ,
	2k	~~а'		2Л			°-
Подготовительную		работу	к решению				задачи (1.8)	начнем

с исключения граничных условий. С этой целью из задачи

(1.10) исключим два новых		неизвестных		cp_i и ф я + і	следу
ющим образом. Разрешив граничные соотношения из					(1.10)
относительно ф_ь фічч-ь находим
Ф_і	= ф! — 2ha;	q>N+1 =	Ф і У _ і	+ 2/гЬ.	(1-11)
Полученные	значения подставим		в разностные уравнения
из (1.10). Тогда будем иметь
	<Ро — Фі _	fo	а_

h '

Ф й - l + 2 < P h - q > f t + i	(k=l,...,N-l),	(1.12)
= fk	(k=l,...,N-l),	(1.12)
/г2

-Фм_і + <P;v

Введем в рассмотрение			матрицу
			1	-	1	0 .. .	0			0
		-	1		2 -	1 .. .	0			0
			О	-	1	2 .. .	0			0
					о					(1.13)
			0			0 ..	2
			о			0 .. ..	- 1		- 1	1
и векторы			о		о
Фо	#0			1				=	0),
Чі	ft			1	/ o			=	0),
Чі	ft				2
ф = Фз .	g =	. gh = • /*					(k	=		l,2,...,N- 1),
					/JV		(k	=	N).
Флі					2		(k	=	N).
					2

Тогда приходим		к задаче
				Aq>=g.						(1.14)

Первый вопрос, который следует поставить при анализе матрицы Л,— это определенность. Известно, что матрица Л в разностной задаче Неймана сингулярна, поскольку ее наи меньшее собственное число обращается в нуль. В этом убе диться совсем просто, рассмотрев спектральную задачу

Аи=Ки,

которая имеет своим собственным вектором и0 с равными компонентами и соответствующее собственное число А,=0.

Естественно, что в такой ситуации, когда оператор Л вы рождается, необходимо наложить определенную связь на

источники{gh }к=о, которая, подобно						условию (1.9), гаранти
ровала бы разрешимость задачи. Сделаем это иначе,								чем
было	выше. Известно, что для разрешимости задачи (1.14) не
обходимо		обеспечить		ортогональность		g вектору и0 . Для это
го из компонентов gh нужно удалить						постоянную составляю
щую,	что	можно	сделать,		заменив в	(1.14) величины	gh	на
gh—g,	где g = 7		г Г Х Т	У) gh	• Решение задачи (1.14)		произ-

"" Г " 1 h=o

водится методом факторизации.

16 г. И. Марчук

241

6.1.3. Двумерное уравнение Пуассона
Рассмотрим двумерное уравнение								Пуассона
			[дх-	' ду-		/		в D,
			[дх-	' ду-
			Ф = £		на dD,					(1.15)
			Ф = £		на dD,
где областью	определения				решения			D является		квадрат
{ О ^ х - ^ 1 , O s ^ t / ^ l } ,		a g(x,		у)	—заданная на				границе квадра
та функция, обладающая определенной гладкостью.
В области D выберем сеть узловых точек									(xh, уг)	на пере
сечении координатных			линий		x=xh		и у—Уь		Тогда	приходим
к разностному	уравнению
				р - :					/ М	,
		Фо,/ =		а , ,		4>N,i =		b,,		(1.16)
	• ф;і,о =			С/, , ф/е ,;у			=	di,
	(k,		1=1,	2,				N-\),
где
: £ о , / >		bl=gN,l,				Ck=gk,a,			di,—gl,,N.

Вразностном уравнении (1.16) исключим граничные

условия	и результат запишем				в	векторно-матричной				форме.
С этой	целью	сначала		введем	в	рассмотрение			матрицу А и
векторы		Ш1 - 1	•
векторы	{ Ф і ; gi}?-		•
	2	-4=1				.	0	0
	2	- 1	0	- 0 . .		.	0	0		фіг
А = 1	— 1	2	— 1	- 0 . .		.	0	0	ф, =	Ф2І
А = 1	0	- 1	2	- 1 . .		.	0	0	ф, =	ФЗ!
	0	0	0	0 . .		.	- 1	2		ФЛ-1,1
				hi
				h
				і		і	1
				/ iV —1,1		Т д З

Определив матрицу

B=h*A+2E,

запишем	систему уравнений			(1.16)		в виде
^ ( - ф	/ _ 1 + Вф,	_ ф 1	+ 1 )	= б 1	(1=1,2,...,N-1)		(1.17)
при условии, что
			Фо=с,		q>N =	d,	(1.18)
где
	с	=	сг	,	d	= d,
			C j V - 1			dx—i

Из уравнения (1.17) исключим граничные условия (1.18). Тог да будем иметь

^ ( - Ф і - і		+ Вфі-q>«+i) = g' (1 = 2,3,...,	N-2),	(1-19)
^		(— фл_2 + 5 ф и - і ) = g w _ i
A	2

Систему уравнений (1.19) запишем с помощью блочных матриц и векторов

	В	-Е	0	0 . . .	О О
	I — Е	В —Е		0 . . .	О О
Л = р	О —Е		В - Е . . .		О О
	О	0	0	о .	-Е В
	Фі
	Ф2
ф	=	,	F =

Флг-1

где Е—-единичная матрица. Тогда система уравнений (1.19) примет вид

Лф—F. (1.20)

16*

243

Матрицу Л представим теперь в виде суммы						Л = Л і + Л 2		двух
матриц:
А О 0 . . . О				2Е —Е О			О . . . О
О А О . . . О				- Е 2Е —Е			О . . . О
О О А . . . О				О —Е 2Е- Е . .. о •
О О О . . . А				О	О 0 • О . . . 2Е
Нетрудно установить,	что
				2фі — Ф2
Лф2
ЛіФ =	Л2 ф =		р	Фі_і +	2ф,		Фі+і	(1.21)
Aq>N.
				— фл--2 +		2 Ф л - _ 1
Введем новые обозначения			векторов:
(Л,ф), =	Л ф 1	( / = 1 , 2		Л / - 1 ) ;
р> (2фі — ф2)ь (J-		=	1).

(Л2 ф)л	= ^ ( - Ф , _ , + 2 ф « - Ф і + О л (/ = 2 , 3 , . . . . y V - 2 ) , ( 1 . 2 2 )
	р ( — Ф і У - 2	+ 2 Ф л , _ і Ь (l = N— 1).
При	такой записи	отчетливо видно, что выражения (Ліф)г

и (Л2 ф)й являются компонентами векторов Ліф и Лгф, и при этом имеют место весьма удобные покомпонентные их пред ставления:

2фі,г — ф 2 , .
(Ліф)« = Т 5 — Фл_і,/ +	2фЛ ,( — Фл+і,
— ф і У - 2 , 1 +	2флі_і,і

(1=2, . . . ,

N-2),

					2фя,і — Фм
(Л2ф)й =		р	— Ф;,,і_і +					2фк і і — фь.і+і
				фй,Л/-2 +				2ф;г > ^ _ ]
( / = 1 , 2,			y V - І ; £ = 1 , 2,						tf-l).
Аналогичным	образом			вектор			F	представляется в форме
						F ,
						F 2
			F	=
					F j v - i
/ ї ї +	1,2		/г2						Л2
	/21	+	/г2
F I =	/зі "Ь "рГ								/зі
F I =
f	4-	C N - ! _ L/ ; l							/ЛГ-І,І + -р
									/ЛГ-І,І + -р
			( / = 2 , . . . . i V - 2 ) ,
								' N - l
						/г2	1	ft2
		/г,л'—і			+	А2
F f V - l	=	/з,лг—і			+	Л2

/ IV —1.ЛГ —1 І

да 1

В результате приходим к покомпонентной записи задачи

при фиксированном индексе /:
( Л 1 ф ) г + ( Л 2 ф ) г = Рг .		(1.23)
Если теперь потребовать, чтобы индекс / в (1.23)		прини
мал все значения 1=1, 2, . . . , Л/—I, то приходим	к	оконча
тельной векторно-матрнчной форме записи задачи	(1.16):
(Ai+A 2 )q> = F.		(1.24)

В этом случае, как нетрудно убедиться, каждый из компо нентов уравнения (1.24) будет соответствовать разностному уравнению из (1.16), в котором уже учтены заданные гранич ные значения решения.

Для формирования алгоритма найдем верхнюю и нижнюю границы спектра оператора Л.

Поскольку ненормированные собственные функции матри

цы Л имеют вид (см. 1.1.7)
limp = smmnkhs'mpnlh	(к,I = 1 , 2 , . . . , N — 1), (1.25)

то находим

ЯшР = - д г s i n - — + s i n - ( 1 . 2 6 )

Отсюда следует, что

а = - г<	т - s i r r - K - ,		B = - r r C O S - — ,	(1.27)
А	2	2

где

а = а ( Л ) , |3 = В(Л).

Для решения уравнения (1.28) воспользуемся одним из итерационных методов, рассмотренных в главе 3:

ф л + 1 = ^ - т л ( Л ф ^ - / = " ) .		(1.28)
Итерационному процессу можно придать форму
ф' + 1 =	ф'—XjV,
\|і=Лф*—F.
Итерационный процесс (1.28)	необходимо продолжать		до
тех пор, пока не будет выполнено неравенство
\|\| фі—фЦ^Є,
где е — априорная константа. Эта оценка имеет		место,	если
\|\|£'\|\|<а(Л)е.		(1.29)

Скорость .сходимости итерационного процесса, вообще говоря, может быть повышена, если вместо итерационного

процесса (1.28) рассматривается метод	последовательных
приближений с чебышевским ускорением
ф і + і = , ф і _ Т ; . / 3 - і ( Л ф ; ' - £ ) ,	(1.30)
где

В = (Е + аЛО (Е + сЛ2 ); о = - ^ = ; а = а(Л); 6 = 6 (Л).

Найдем границы спектра оператора В~'Л. Поскольку матрицы Лі и Л2 имеют общий базис, то собственные числа Хі матрицы Лі и Яг матрицы Лг будут связаны с собственны ми числами задачи

Я - 1 Л и = Л ( 5 - ' Л ) и

следующим соотношением:
b(B-lV=-,		Л У "		2 х — .	0-31)
		1 / а З Д '	'	/ а ?
-77- Л і ^	'	~2~ ^	2	~2~'
Выражение (1.31) приведем к виду
K{B-iA)	=	¥^-f(x,y),			(1.32)
где

/ с ф

У^З

(! + * ) ( ! + «/)

Таким образом, для того чтобы определить границы спектра матрицы В~1А, нам достаточно определить наи меньшее и наибольшее значения функции f(x, у) в квадрате

у . ^ j / " J L . Анализируя производные этой функции

dt	_ 1 — у		'	df __	1 — л-	1		п о4\
дх	l + y '	(l+xf	'	_	1 +х	' (1 Л-у?	'	;

нетрудно показать, что максимальное значение f(x, у) при нимает в двух угловых точках:

/ ( . , , )

(1.35)

а минимальное в двух других:

(1.35а)

Отсюда и из (1.32) следует, что

а (В-.Л) _

, f, (В-.Л) - 4- ] / |

"*+ ">

А)

(1.36) Это значит, что асимптотически при Р(Л)^>а(Л) имеем

« ( В - ' Л )	2	Усф	2 Р а	2 ^ /1
				(1.37)
		= 23	(А).	(1.38)

У Р О В - ' Л )

Рассмотрим теперь схему реализации итерационного процесса (1.30):

# = Л Ф J — F,	(Е+аЛ,)	^ + , / ' =	&J,
			(1.39)
{Е + аЛ2 ) & j + 1 =	ф j + 1 = ф3 - т ^ ' + 1 ,
где Tj вычисляется на основе	избранного метода оптимизации.
В покомпонентном представлении		второе	и третье уравне

ния системы (1.39) расписываются следующим образом: сна

чала	решается	задача		при	фиксированных		1=1,	2,	N— 1
		( l + 2 a ) S f t ^ - a E ^ =				E{.„
	- o f e i t 1 , ! , + ( 1 +2оПьУ2-о1№2						=		(1.40)
	-	а&+ _£« +		(1 +	2a)	=
затем	решается	задача		при	фиксированных k = 1, 2 , А ? — 1
		( І + г а Н ^ - а І Й 1 ^ 1 ' 2 ,
	-	+	(2а + 1) UV - oUti-i			=	£ # " 2	,	(1.41)
	—	o"£ft,'jv_2	+	(1 +	2а) Eftjv1—і =	%L,'N-I-

Уравнения (1.40) и (1.41) решаются с помощью метода фак торизации.

В заключение отметим, что если мы имеем дело с двумер

ной задачей Неймана, то аналогично				предыдущему приходим
к задаче	(1.24), которая отличается от рассматриваемой
только тем, что число		компонентов		решения, подлежащих
определению, будет не		(N—I)2,	как это имело место в задаче
Дирихле, а	( y V + l ) 2 .

Существенное отличие схемы реализации разностного ана лога задачи Неймана от задачи Дирихле в том, что в задаче Неймана а ( Л ) = 0 . Поэтому правая часть F и приближенное

решение ф;	должны быть	на каждом шаге	ортогональными
к вектору	с одинаковыми	компонентами.	Это значит, что

перед осуществлением нового шага итераций необходимо из вектора вычесть постоянную составляющую i j .

При такой процедуре ортогонализации, когда векторы с одинаковыми компонентами исключаются из элементов ис ходного гильбертова пространства, переводя его в подпрост ранство Ф, и пробные векторы выбираются из этого подпро странства, в качестве нижней границы спектра можно взять наименьшее ненулевое собственное число. Как известно, спектр задачи Неймана для разностного аналога оператора Лапласа находится по формуле

b ^ = ^ ( s i n « ^ +		s i n » ^ ) ,	(1.42)
и в качестве границ спектров	имеем
« * ( A ) = - \| - s i n * - ^ ,		р(Л) = -\|г.	(1-43)
В этом случае параметр а следует		выбрать по	формуле
a =	/ J .		(1.44)

а вместо оценки для окончания итерационного процесса (1.29) необходимо принять

|||і||<а*(Л)Е. (1-45)

В остальном алгоритм численного решения задачи Неймана для уравнения Пуассона не отличается от рассмотренного алгоритма решения задачи Дирихле.

Аналогичным образом может быть рассмотрен более об щий итерационный процесс для задачи Неймана в форме (1.30).

6.1.4. Проблема граничных условий

На основе рассмотренных выше подходов к решению урав нения Пуассона молено сделать важное и довольно общее заключение по поводу формирования эффективных алгорит мов решения краевых задач математической физики. Это прежде всего относится к проблеме граничных условий. Выше была последовательно проведена идея исключения граничных условий, налагаемых в качестве дополнительных связей на решение задачи, и модификации их с учетом разностных аналогов исследуемых задач. В таком подходе заложен глу бокий смысл: если при решении задач математической физики разностными методами граничные условия из рассмотрения

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ