книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Естественно, что метод блочной релаксации может быть применим и для решения двумерных разностных уравнений

Весьма полно теория верхней релаксации рассмотрена в мо­ нографиях Базова, Форсайта1 3 1 , Варги1 3 1 и других.

3.1.5. Сопоставление асимптотической скорости сходимости различных итерационных методов

Асимптотическая скорость сходимости итерационных ме­ тодов может быть связана с обусловленностью матриц р==р/а. Большой интерес представляет оценка скорости схо­ димости итерационных про-

цессов для разностных урав­ нений в зависимости от ша­ га сетки h. Такую зависи­ мость от h для рассмотрен­ ных методов можно просле­ дить лишь на частных при­ мерах, тогда как установ­ ленная связь скорости схо­ димости с числом обуслов­ ленности не зависит от част­

ного характера задачи. Приведенная таблица характеризует скорость сходимости s от р.

Известны и другие итерационные методы, имеющие более быструю сходимость, чем указанные в таблице. Однако их эффективность установлена только для частного случая раз­ ностной задачи Пуассона и других простейших задач. Рас­ пространение этих результатов на более широкие классы за­ дач весьма затруднительно.

3.2.ГРАДИЕНТНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Современные вычислительные машины стимулировали дальнейшее развитие таких итерационных методов, оптими­ зация которых производится на основе апостериорной ин­ формации о самом решении в процессе счета. Такие алгорит­ мы можно назвать с а м о н а с т р а и в а ю щ и м и с я на оп­ тимальную скорость сходимости. В отличие от спектральных

методов оптимизации, которые используют только априорную информацию о спектре определенных операторов, связанных с решением задачи, самонастраивающиеся методы неявно используют информацию как о спектре операторов, так и об амплитудах невязок соответствующих гармоник ряда Фурье в самом итерационном процессе. Это существенно повышает эффективность алгоритма, поскольку отдельные гармоники невязки подавляются более целенаправленно и предпочтение

М. А. Красносельского, С. Г. Крейна1 1 1 1 , Ланцоша1 3 1 и про­ должено многими исследователями.

Среди самонастраивающихся алгоритмов прежде всего отметим градиентные методы, основанные на вариационной оптимизации.

3.2.1. Метод минимальных невязок

Сосредоточим наше внимание на одном из вариантов градиентных методов — методе минимальных невязок, сущ­ ность которого состоит в следующем.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Переходим к выбору параметров Xj. С этой целью в прост­ ранстве R л-мерных вещественных векторов определим ска­ лярное произведение

Параметр релаксации х;- найдем из условия минимума функ­ ции q_i{%). С этой целью соотношение (2.7) продифференци­ руем по параметру Tj и результат приравняем нулю. Тогда получим

Заметим, что р2. не может стремиться к нулю, а ограничен снизу. Это следует из того, что

и, следовательно,

тод минимальных невязок имеет асимптотическую скорость сходимости

На первый взгляд кажется, что сходимость этого метода весьма медленна и он существенно уступает методу чебышевской оптимизации и методу верхней релаксации. Асимптоти­

к точному существенно быстрее, чем для других методов. Поэтому асимптотическая оценка оказывается слишком гру­ бой для оценки числа арифметических действий для получе­ ния результата с заданной точностью. К сожалению, из-за не­ линейного характера метода более точные характеристики ме­ тода минимальных невязок получить не удается.

Структура подавления компонентов Фурье невязки в этом методе такова, что первоначально сильно подавляются гармо­ ники невязки внутри спектрального интервала. Подавление таких гармоник идет весьма быстро. Подавление же возмуще­ ний, соответствующих собственным числам а и р (и их окрест­ ностям), происходит более медленно. Поэтому на некотором этапе итерационный процесс выходит на асимптотический ре­ жим подавления этих двух гармоник. Для ускорения процесса, очевидно, необходимо рассмотренный одношаговый метод ми­ нимальных невязок комбинировать с двухшаговым.

3.2.2. Двухшаговый метод минимальных невязок

До сих пор во всех случаях предполагалось, что матрица ,4 в системе линейных алгебраических уравнений положи­ тельна. Однако зачастую при решении уравнений (2.1) при­ ходится иметь дело с матрицами А, спектр которых вещест­

методы последовательных приближений, вообще говоря, при­ водят к расходящимся процессам. Однако еще Гауссом был предложен метод, позволяющий от системы уравнений с про­ извольной матрицей перейти к другой системе (эквивалент­ ной первой), матрица которой уже будет симметричной и по­ ложительной. Такое преобразование получило название трансформации Гаусса.

Рассмотрим это преобразование. С этой целью уравнение (2.1) слева помножим на А* — матрицу, сопряженную мат­ рице А. Тогда получим новое уравнение

A*A<p=A*t. (2.13) Обозначив A*i = g, будем иметь

A*A<p=g. (2.14)

ции с помощью рассмотренных итерационных процессов, мы пришли к уравнению (2.14), которое уже можно решать с помощью различных итерационных методов. Известно, од­

ность новой матрицы резко ухудшается. А это значит, что итерационный процесс будет сходиться весьма медленно, да­ же при использовании эффективных методов оптимизации. Тем не менее во многих случаях оказывается целесообраз­ ным использовать для решения уравнения (2.14) итерацион­ ный метод типа минимальных невязок

Таким образом, мы пришли к выводу, что в случае А > О весьма эффективным методом будет метод минимальных не­

не является точкой спектра матрицы Л, итерационные про­ цессы сходятся к точному решению задачи (2.1).

Возникает мысль о введении двухшагового метода мини­ мальных невязок, содержащего лучшие стороны обоих

процессов. Рассмотрим метод последовательных приближе­ ний в виде

где Tj и yj — пока произвольные параметры. Для невязки %, процесс (2.20) перепишем в виде

Следовательно, для выбора оптимальных параметров необ­

скольку оба указанных одношаговых процесса являются частными случаями двухшагового, и поэтому минимум нормы невязки для двухшагового процесса с учетом оптимизации по двум параметрам т3- и yj, как говорят, «глубже», чем мини­ мум по каждому из одношаговых процессов.

Во-вторых, двухшаговый процесс (2.20) имеет универ­ сальный характер, поскольку он применим для решения ал­ гебраических систем с матрицами произвольного спектра.

в подпространстве М можно сформулировать как задачу оп­ ределения вектора ф Є М, для которого

Необходимым условием численной реализации такого про­ цесса является требование, чтобы вектор Dq>* был известен.

жет быть переформулирована следующим образом. Требует­ ся найти вектор и є Д чтобы

Как уже было указано выше, если в заданном подпростран­ стве М мы сможем найти некоторый Л-ортогональный ба­

странствах типа М является процесс Шмидта. Однако для матриц Л высокого порядка он требует большого числа арифметических действий и большой памяти ЭВМ при чис­ ленной реализации. Для случая симметричных, но не поло­ жительно определенных матриц эффективным способом по­

Ланцоша, детально описанный в монографии Д. К- Фаддеева и В. Н. Фаддеевой1 8 1 . Самым экономичным из известных

деленных матриц является метод сопряженных градиентов, формулы которого в постановке (2.31) имеют вид