Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

где	= <pJ'+I—ф*.	(7.24)
r J + 1
Задача (7.23) решается с помощью быстрого преобразо
вания Фурье. Поскольку	границы спектра	операторов В'1 и

А'1 совпадают, то подавление гармоник в невязках будет происходить быстро и для всего спектра.

Мы не останавливаемся здесь на методах обоснования рассматриваемого алгоритма. Интересные выводы о сходимо сти такого рода алгоритмов для уравнении Гельмгольца сделаны в работе Ю. А. Кузнецова и А. М. Мацокина[ 1 3 ) .

3.8. ФАКТОРИЗАЦИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ

В математической литературе появилось большое число ра бот, посвященных методам решения конечно-разностных уравнений. Для решения одномерных разностных уравнений эффективным оказался метод факторизации. Достаточно полно этот метод изложен в работах В. С. Владимирова1 1 2 1 ,

И. М. Гельфанда, О. В. Локуциевского1 1 2 1 , С. К. Годунова1 1 2 1 ,

А.А. Абрамова, В. Б. Андреева1 1 2 1 , Э. Айнса1 1 2 1 , Рихтмайера1 3 1 и других. В сущности говоря, метод факторизации, при меняемый для сеточных уравнений, является своеобразной реализацией метода исключения Гаусса.

Дальнейшее развитие идей метода факторизации для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравне ний первого порядка с произвольными линейными ограниче ниями, содержащими как частный случай многоточечные и краевые условия, дано М. К. Фаге1 1 2 1 .

Суть метода факторизации состоит в следующем. Пусть имеется уравнение

		Л Ф = 1 ,			(8.1)
где	А — линейный	оператор.	Для	простоты будем	считать,
что	оператором уравнения (8.1) служит квадратная				матрица
и, таким образом,		мы имеем	дело	с системой линейных ал

гебраических уравнений. Матрицу А представим в виде про

изведения двух	матриц	А=А\А2.	В этом случае	решение
уравнения (8.1)	редуцируется к последовательному решению
следующих уравнений:
	Ахг =	\;	Л 2 ф = г .	(8.2)

Особенно эффективным метод факторизации становится в случае, когда Лі и А2 — соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы. Таким образом, если сложный опера тор А представим в виде произведения более простых, то исходная задача (8.1) сводится к последовательности более

простых (8.2), формальное решение которых имеет вид

<Р = Л Г М Г : Ї .

(8.3)

Разумеется, для разрешимости уравнений (8.2) требуется ог

раниченность обратных операторов А~1	и	А71.
На идее факторизации основаны многие прямые методы
линейной алгебры. Не останавливаясь	на	общей проблеме,

сосредоточим внимание на одном простейшем часто встреча ющемся в приложениях случае, когда матрица А трехдиаго-

нальная. В этом	случае система		линейных	уравнений			(8.1)
имеет вид
flWPft-i—6ft<p~+Cft(pft+-i=/fc			(k=\, 2,	...	,	п)	(8.4)
при условии	a i = 0 ,	с „ = 0 .					(8.5)
	a i = 0 ,	с „ = 0 .					(8.5)
Предположим, что коэффициенты ак, Ьк				и	ск	удовлетво
ряют условиям
ah>0,	bk>0,	c f t > 0 ,	ah+ch^bhl				(8.6)

причем в последнем соотношении строгое неравенство имеет место хотя бы для одного значения k.

Нетрудно проверить, что решение системы (8.4) с по мощью метода факторизации (8.2) сводится к последова тельному вычислению по формулам:

р\ =	0,	h+i	= b	\ в	(А = 1 , . . - , л - 1 ) ,		(8.7)
Z l	= 0,	zkM	=а/к_~ъ		(й =	1 , . . . , я ) .	(8.8)
				*	k' ft.
а затем
				< p „ = z B + b			(8.9)
Ф=Р+і Фм-i+Zfc+i				( A = n — I ,		1).	(8.10)

Известно (С. К. Годунов, В. С. Рябенький1 3 1 ), что для счет ной устойчивости уравнений (8.7) — (8.10) достаточно выпол нения условий (8.6). В этом случае ошибки округления при реализации алгоритма не будут возрастать.

В заключение отметим, что многие задачи математической физики приводятся к разностным уравнениям следующего вида:

аф-і—	&ЙФА+сА фл + 1=f А,		(8.11)
O i = 0	,	с „ = 0 ,

где ал, Ьк и ск— квадратные матрицы порядка г, а <рк и ft — векторы. В этом случае мы снова приходим к задаче (8.1), где матрица А является блочно-трехдиагональной. Поступая

11 Г. И, Марчук

161

аналогично предыдущему, можно прийти к следующим це почкам разностных векторно-матричных уравнений с фактбризованным оператором:

		P A + I = {Ьк—аА.Рй)-1^,
z+i==(6k —arp*)_ l K z s - f f t ) ,								(8.12)
	4>k =	Pft+i ф/(+і +			z h + i
при условии
Zi = Pi =	0,	ai =	0,	c„ =	0,	ф „ = г п + і .		(8.13)
Метод факторизации			разностного			матричного		уравнения
(8.11) получил	название		матричного			метода	факторизации.
Он эффективно	используется			при решении			краевых задач

для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и

некоторых уравнений	в частных производных. Следует осо
бо отметить, что для	многоточечных разностных уравнений

метод факторизации также легко формулируется с помощью матричного подхода, изложенного выше. В качестве примера рассмотрим систему уравнений с пятидиагональной матрицей

	о»ф).-2+Ьк ц>К -1+ck q>k			-\-dhq>h+1+елфл+2=/»
			2,	л) ,
	ai = 6 i = a 2 = e n _ i = e n _ 2 = c f n - 2 = 0 .
Представим решение в виде
		фА = ССйфй+1 +		PftCPfc+2+Z>i.
Тогда коэффициенты			ось, Рь, zk	находятся		по следующим фор
мулам:
	=		dk + a b a f t - 2 P f t - i +			bh?h-i
	a h	ch	+ a j a f t _ 2 a h _ , + o f t P f t _ 2			+ b h a k _ {
	a =			ffc
	P h	ch + a f t a f t - 2 a f t - i + a A - 2 +					bhak-i'
	=	^ ~ a f a a f t - 2 Z h - l ~ akzk-2			—		bhzh-\
	Z h	ch + a f e a h _ 2 a f t _ , + a k $ k _ 2			+ b h a h _ x '
Метод матричной факторизации нашел широкое приме
нение	в газовой		динамике,	теории	переноса			излучения
(К. И- Бабенко,		В. В. Русанов		Н. Н. Ченцов,				Г. И. Мар
ч у к 1 1 7 1	и другие).

М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е Н И Я Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х З А Д А Ч

В качестве основного объекта исследования рассматрива ется эволюционная задача математической физики


- Ц -		+ Лф = f	в D X Dt,	Ф = g в D при t = О,
где Л ^ О ,		а решение	ф, как и функции f и g, обладает			необ
ходимой	гладкостью. Будем предполагать,				что на границе
области	3D решение		задачи	удовлетворяет	некоторым	гра
ничным	условиям.

4.1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ С ОПЕРАТОРАМИ,

ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ

Рассмотрим эволюционное уравнение

+	Лф = 0 в	D X Dt,	< p = g в	D при f = 0.	(1.1)
Разностное	уравнение,	соответствующее		уравнению	(1.1),
запишем в виде
	Ф ! 1 ^ + Л ^ 1 ± ^ = = 0 ,			ф о ^ .	(1.2)
Нетрудно проверить, что при достаточной				гладкости решения
задача (1.1)	аппроксимируется		приближенной задачей		(1.2)
со вторым порядком точности			по т. Разностная схема		(1.2)

обычно называется схемой с центральными разностями по

времени	или	с х е м о й	К р а н к а — Н и к о л с о н а.				Любо
пытно отметить, что схема				(1.2)	является результатом		попе
ременного	применения схем			первого порядка точности,			явной
и неявной, записанных для интервалов						^ ^ ^ ^ + 1 / 2 и	ti+i/2^
^ / ^ f j + i соответственно			(если		Л — линейный оператор, не
зависящий от		t):
		„ ж	я-ш		1 =	й	(1.3)
		•zjz

11*

163

Исключая из системы разностных уравнений неизвестные <pi+'!', приходим к схеме Кранка—Николсона.

Предположим, что оператор А зависит от времени и в за даче (1.1) аппроксимирован разностным. В этом случае под решением задачи ср будем понимать вектор-функцию, компо нентами которой являются приближенные решения в узловых точках пространства, а А — матрица, аппроксимирующая оператор А. Итак, имеем дело с задачей линейной алгебры:

		(Мр, Ф ) > 0					(1.5)
для любых функций из подпространства					Ф.
Уравнение (1.4)	разрешим относительно Ф * + 1 . Тогда будем
иметь
ф У+1 =	( £ +	*	Д Л - ' ( £ *			Л ' У	(1.6)
ИЛИ		2 - ;		г	2	.
ИЛИ		фЖ =		р у ,			(1.7)
		фЖ =		р у ,			(1.7)
где Т* — оператор	шага:
Р =	( £ +	^ - i V ' j " 1 (Е			Ь_л^.		(1.8)
Для доказательства счетной устойчивости можно и не оце
нивать норму оператора шага ТК Воспользуемся							уравнением
(1.4) и, умножив его скалярно на - у - ( ф ; +					1	+ фО,	получим
(Ф '+1 ,ф'+ 1 )-(д>/ ,ф') +			/ А д » ' + ' + ф /			ф ' + 1 + ф Л = 0 _ ( 1
Поскольку по предположению				оператор		— положительно
полуопределенный	(см. (1.5)),			имеем
		[ Ф У + , К І Ф І					(1-Ю)
т. е. устойчивость схемы		обеспечена.

Тем не менее для анализа разностных схем важное значе ние имеет оценка нормы оператора шага. Чтобы получить эту

оценку,	воспользуемся	соотношением (1.10)	и	определением
нормы	оператора (см.	1.1). Тогда приходим	к	неравенству
		l l ^ ' I K l .		(1.11)

Отметим, что неравенство (1.11) можно непосредственно получить с помощью леммы Келлога (см. 1.1), воспользовав шись (1.8) и тем, что Л ^ О и т > 0 . Если оператор Л-> косоеимметрический, т. е. имеет место равенство

(Л* ф, ф ) = 0 ,

то вместо (1.10) имеем строгое равенство
ІФ/ + ІІ = И -		(1-12)
Аналогично предыдущему можно показать, что		в этом
случае
1 1 ^ 1 1 =	1 .
Рассмотрим теперь вопрос	об аппроксимации	схемы

Кранка — Николсона при зависимости							оператора А от време
ни. С этой целью оператор				Т' разложим по степеням						парамет
ра т. Тогда	будем	иметь
	Р~Е-хМ										(1.13)
Введем в рассмотрение оператор					Н равенством
		Я ф		Sep							(1.14)
			= - ^ - + Л Ф
и оператор
Н>( Ф У -		t ^ + ' - W			+	л /			,	(1.15)
где (ф)1 '—проекция точного решения							задачи		(1.1) на		сетку
Dx. Далее-введем		в рассмотрение				норму,		удобную		для оцен
ки аппроксимации		оператора Н:
І І ( Я Ф ) ' -		Я Н Ф ) І Т		= И ( Ф ) І т = т а х И ( ф У І ,							(1.16)
							і
где 11-11—.некоторая норма				на сеточных				(при t=tj)		элемен
тах. Для оценки		нормы (1.16) решение исходного уравнения
(1.1) разложим в ряд Тейлора. Тогда							будем иметь
	( Ф ) / + .	= ( ф у +		х ( ф , ) /+			( Ф л ) /	+ . . .			(1.17)
Принимая во внимание очевидные						соотношения
	Ф, = - - Л Ф , ф,( = Л2 ф—At q>,										(1.18)
дА				(1.17)	преобразуем				к виду		'
где Л, = -Qf* ряд Тейлора
( ф ) / + 1 = ( ф У - т Л ' ( ф ) / +			^ - № ' ) 8			( Ф ) / - Л / ( Ф у ]					(1.19)
Подставим	(1.19)	в (1.16). Тогда с					учетом		(1.15)	получим
\|\|(Яф)/-Я{ ( Ф ) \| Т = т а х \| л / ( Ф ) / -						А' (Ф)/ +			-	А\	-
		A M / j ( Ф У + с9(тг)1									(1.20)

Если в качестве аппроксимирующего оператора Л* выбрать

		A}=A}=A(t}),		(1.21)
то из	(1.20)	следует
	\Ш	- Н{ ( Ф ) І т = - f	max И (ФУ! +	О (т*),
			у- X
и мы	имеем	первый порядок	аппроксимации.	Заметим, что

в частном случае, когда А не зависит от t, аппроксимация в форме (1.21) обеспечивает второй порядок по т.

Предположим теперь,	что	аппроксимирующий		оператор
выбран в виде
А1 =	Аі +	^-АІ.		(1.22)
В этом случае будем иметь
\| ( Я Ф ) / - ^ ( Ф У Ь Х = 0 ( Т 2 ) .
Отметим, что аппроксимация		схемой	Кранка—Николсона
также будет второго порядка по т, если			оператор А1	выбрать
в виде				(1.23)
A)=Ai+yz,				(1.23)
или
Л/ = - і - ( Л / + і 4-Л^).				(1.24)

В различных приложениях, особенно при численном реше нии квазилинейных уравнений, применяется одна из трех описанных форм аппроксимации оператора А (1.22), (1.23) или (1.24), обеспечивающих второй порядок точности.

4.2. Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е УРАВНЕНИЯ Э В О Л Ю Ц И О Н Н О Г О ТИПА

В предыдущем параграфе были рассмотрены однородные уравнения. Рассмотрим теперь неоднородные уравнения

+ Л Ф =	/ в D X	( 2 Л )
<p=g в D	при / =	0.

Разностная аппроксимация задачи (2.1) на основе схемы Кранка—Николсона в предположениях, сформулированных в 4.1, имеет вид

Ф / + 1 - Ф ; + д / Ф / + ' + Ф; = pt

(2.2)

где

f W ( W ) .

Нетрудно убедиться, что разностная задача ( 2 . 2 ) аппрок симирует ( 2 . 1 ) со вторым порядком по т. Запишем формаль ное решение задачи ( 2 . 2 ) на каждом интервале

<рЯ-1 = Г У + *	+ - І - Л') ' fJ.	( 2 . 3 )
В 4.1 в случае однородного уравнения было показано, что
при Л ^ О имеет место оценка
«		( 2 . 4 )

Естественно, что эта оценка нормы оператора не зависит от правой части f. Из уравнения ( 2 . 3 ) следует, что

| Ф ' + 1 К И М + * | ( £ + ~ А ^ _ 1 | И -

( 2 - 5 )

Для		установления		устойчивости		воспользуемся оценкой
(1 . 25)	из главы 1. Поскольку т > 0 и
				(ЛУ,	ф » ) > 0 ,		( 2 . 6 )
будем	иметь
					<	1 .	( 2 . 7 )
					<	1 .
и, следовательно, с			учетом		( 2 . 4 ) и	( 2 . 7 ) неравенство ( 2 . 5 )
преобразуется к виду
				І ! Ф 7 ' + 1 К ! Ф І + * И -			( 2 . 8 )
Полагая		\|ф°1 = Цё1	и	\|/[\| =	max \|\|/^,	с помощью	рекуррентно
		му	и	\|1/\|\| =	тза х Г
ного соотношения ( 2 . 8 ) получаем
		М К І И + М І Я І , /т<const.					( 2 . 9 )

Таким образом, соотношение ( 2 . 9 ) устанавливает устойчи вость разностной схемы. Кроме того, это соотношение являет ся априорной оценкой нормы решения.

4.3. МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным све сти ее к последовательному решению задач более простых, эффективно решаемых с помощью ЭВМ. Редукция сложных задач к более простым возможна в тех случаях, когда исход ный положительно полуопределенный оператор задачи пред ставим в виде суммы положительно полуопределенных про

стейших операторов. Такие методы будем		называть м е т о
д а м и р а с щ е п л е н и я .	Начало развитию	методов	расщеп
ления нестационарных	задач положено работами		Дугласа,

Писсмана, Рэчфорда1 1 5 1 и продолжено исследованиями со ветских математиков К. А. Багриновского и С. К. Годунова1 1 5 1 ,

Н. Н.	Яненко1 3 ' 1 5 1 , А. А.	Самарского1 3	- 1 E 1 , Е. Г. Дьяконо
ва 1 3 , ш ,	В. К. Саульева1 3 1 , Г.	I I . Марчука1	1 5 1 и других.

Первоначально методы расщепления формулировались и теоретически обосновывались для простейших задач с комму тирующими положительно определенными операторами. Как теперь стало ясным, для таких задач методы расщепления, введенные в рассмотрение различными авторами, по сущест ву оказались либо эквивалентными и отличающимися только схемами реализации, либо близкими. Поэтому не будем пер сонализировать эти методы, ставшие почти классическими.

В дальнейшем круг нетривиальных задач, решаемых с по мощью методов расщепления, существенно расширился, и к настоящему времени методы расщепления стали мощным аппаратом решения весьма сложных задач математической физики. Поскольку теория методов расщепления особенно пол но разработана в случае, когда исходный оператор задачи представим в виде суммы двух более простых, то именно с рассмотрения этого случая и начнем изложение вопроса. Наиболее универсальным для приложения является, по на шему мнению, метод покомпонентного расщепления. Это об стоятельство, надеемся, будет учтено читателем при изучении материала данной главы.

Итак, рассмотрим эволюционное уравнение

^ + %	= / B D X D ( 1		(3.1)
c p = g в D при / =		0,
где оператор Лг^О не зависит от времени			и представим в
виде
Л = = Л , + Л 2			(3.2)
при УСЛОВИИ, что
А^О,	Л 2 ^ 0 .	задачи	(3.3)
Предположим далее, что	решение	задачи	(3.1) обладает

необходимой гладкостью. Там, где это необходимо для до казательства, будем предполагать, что задача (3.1) уже ре дуцирована к разностному виду и, следовательно, операто

рами А, А\	и А2	являются	матрицы.
		4.3.1. Метод		стабилизации
Сначала	рассмотрим		приближенное			решение	задачи
(3.1) — (3.3)	в предположении,			что	/ = 0 , с	помощью	следую
щей разностной		схемы:
ІЕ + - f	Аг)	(Е + - f А2)	ф ; +	' - ф ;	+ Л ф у = 0, ф о =		g. (3.4)

Нетрудно показать, что при достаточной гладкости

решения

задача

(3.4)

аппроксимирует

исходную

задачу

(3.1) — (3.3)

точностью

до

величины

второго

порядка

малости

по т.

В самом деле, уравнение (3.4) с

помощью

алгебраических

преобразований

приведем

к виду

( £ + 4

)

^ + >

^ = о,

Ф°

3 . 5 )

Отсюда видно, что разностное уравнение (3.5)

достаточ

при =

. М

ной гладкости решения совпадает по

порядку

аппроксимации

со схемой

Кранка—Николсона

3 £ ^ + A

< £ l p L =

Ф о =

£.

ад

Этот вывод следует из того, что сама

схема

(3.6)

имеет

вто

рой порядок аппроксимации по т, и схемы

(3.5)

и (3.6)

ока

зываются

эквивалентными

друг

другу.

Переходим теперь к анализу устойчивости

разностного

уравнения

(3.4). С этой

целью

уравнение

(3.4) преобразуем

к виду

( £ + - f Л ^ Е + ~ Л 2 ) ф Я - * =

^ £ - - 1 . Л 1 ) ( £ - 4 -

Л 2 ) Ф ' ,

Ф °

£.

(3.7)

Разностное уравнение

(3.7)

разрешим

относительно Ф 3 ' + 1 . Тог

да

получим

Х ^ Е - ^ А ^ Е - ^ А ^ у .

(3.8)

От

неизвестной ф^' перейдем к

по

формуле

^Е +~А^ц>'.

(3.9)

Тогда для

новой неизвестной tyi

приходим к соотношению

^+1 =

7 ^ ,

(3.10)

где Т — оператор

шага:

Т =

[Е

Л , ) " 1 fE

f Лх ) ( я

- f Л2 ) (/f

J L

Л 2 ) " \

(3.11)

С помощью

(3.10)

получим оценку в энергетической норме

№ ; + 1 < І Л і І М -

(3.12)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ