Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

и линейная функция у =		—	преооразует отрезок		а ^ Я , ^
в отрезок — 1 ^ г / ^ 1		(с изменением направления). Лег
ко показать, что Tj(y)=	cos	(/ arccosу)		при
Известно, что на	интервале		— п	о л и н о м ы	Tj(X)

наилучшим образом (равномерно) приближаются к нуль-

функции	Q(K)^0.	При	этом	количество	нулей	полинома
зависит	от его порядка		/. Вне	интервала	[ — 1 , 1]	полином

Чебышева по модулю быстро растет, однако этот рост нахо дится вне области спектра. Отсюда следует, что метод опти мизации итерационного процесса с помощью полиномов Че бышева очень чувствителен к границам спектра собственных чисел оператора. Выясним, как найти последовательность ве

личин т. Для этой цели воспользуемся					следующим алгорит
мом. Найдем все нули полинома				Pj{X).	Как известно,	корпи
полиномов	Чебышева Tj(y)	при		фиксированном номере		/ оп
ределяются	по формуле
	У 1 = cos { 2 i	~ l )	n	( / = 1 , 2 , . . . , /) .		(1.27)
Теперь нетрудно установить формулу для выбора Я,,-. В са
мом деле, для этого требуется			решить уравнение '
	Р +	а —	2к{

Отсюда находим к( (при фиксированном / ) , которые обраща

ют В НУЛЬ Pj (X).

Итак, мы нашли полином Pj{X), который наилучшим обра зом аппроксимирует нуль-функцию. Теперь наша задача со стоит в том, чтобы соответствующим выбором параметров т, в выражении

П (1 — тД)

сделать этот полином тождественным полиному (1.26). Как известно, для этого достаточно потребовать, чтобы Pj(X) и

П (1 — гД) имели одни и те же нули и единую нормировку.

і =1

Поскольку нули функции Pj{X) нам уже известны и равны Хи

а	полином	п ^1—т, A,j разложен			на	линейные			множи
тели, то, если выбрать т,-=1Д;,				мы	приходим		к		полиному
П ^ 1 — j r j - j ,		нули которого	совпадают			с нулями			полинома
Pj(X)	из (1.26). Совпадают		также и значения этих					полиномов
при А = 0 . Это значит, что полином п					^	— X " ) я	в л я	е	т с я поли
номом Pj [X)		с нулями в точках		Х—Х{.
ПО

Но поскольку полином PjCk) разложен на линейные мно жители (см. (1.24)), то значения параметров тг- определяются из условия обращения в нуль сомножителей произведения (1.24). Таким образом п=\/Хи т. е.

* i

( 9 t -

_ h

(і =h2,...,

і).

(1.28)

(В + о ) - ( Р - а ) c o s ( - '

| ) л

2І

Переходим к оценке асимптотической скорости

сходимо

сти

итерационного процесса

(1.23). С

этой целью

нам

необ

ходимо

оценить

max \Р}

(1.29)

(к}\.

Поскольку

максимальное

значение

P J ( A )

достигает

на грани

це интервала

[а, р ] , учитывая свойство полиномов

Чебышева

Гл -(±1) =

( ± 1 ) і ,

при /—>-оо имеем

4 1 =

ЇЇЇЩ

(г + УТ^ТУ

+ (г-

YF=T)i

^ ( T V y ^ T ) ? '

г д е

Р — а '

Полагая р^>а, получим

асимптотическое

равенство

= 1 + *

и, следовательно,

s = — In q =

— ~ 1п2 + In (г +

j/TaZTi) .

ПрИ /

»"00

s =

In (г + j

7 ^

)

ИЛИ

s - i n ( i + i + / ( T T | F T ) - i n ( i + ^ ) + 0 ( i . ) -

Таким образом, при /—>-oo и p^l

асимптотическая скорость

сходимости

метода (1.23),

(1.28)

определяется формулой

(1.30)

= — •

УР

Отсюда видно, что рассматриваемый метод (1.23), (1.28) дает большой выигрыш в сходимости итерационных процес сов для плохо обусловленных систем с Поскольку этот

метод требует предварительного знания верхней и нижней границ спектра, он очень эффективен для решения многократ но повторяющихся задач с одним и тем же оператором и различными входными данными: в этом случае а и (3 нужно найти один раз.

Таким образом, для осуществления метода (1.23), (1.28) необходимо прежде всего определить границы спектра — ве личины а(Л), (3(Л)—и построить последовательность опти

мальных значений параметра
ТІ =	9 . _ ,	(і = 1.2	/„).
p ( i l ) +	a ( i 4 ) - [ P ( i 4 ) - a H ) ] c o s t i _ L
Здесь / = / о — число шагов в цикле.
При очень	больших числах р = р/а	рассматриваемый	ме

тод может оказаться неустойчивым. В сущности этот хорошо известный факт вызвал некоторый пессимизм в отношении эффективности метода применительно к широким классам задач. Другой особенностью метода является необходимость предварительного расчета не только верхней, но и нижней границы спектра. Этот вопрос изучен в 1Л.2. Проблема же устойчивости решена В. И. Лебедевым и С. А. Финогеновым1 9 1 , которые доказали, что метод оказывается устойчивым по отношению к погрешностям округления при упорядочении параметров т,- (см. также А. А. Самарский1 3 1 ).

Пусть

г — наименьшее

целое

число

такое, что / о < 2 г и

1 ^ й ^ 2 г . Представим

k— 1 в

двоичной

системе

записи

7172.

• • •> 7г, где уа является либо нулем, либо единицей. Об

разуем

число

x{k)

= у г

. . . 7271+1 -

Будем

считать, что т,- пред

шествует

т0 ,

если

х(/) < % ( о ) .

Когда / о = 2 г , это

значит,

что

т,- будет иметь новый номер, равный

Вторую

процедуру

упорядочения

удобно при jo—2r

определить

рекуррентным спо

собом.

Пусть

( а ь

аг, -., оу2)

( l ^ a ^ / ' o / 2 , щфан

при іфк,

і,

k—

1 , 2 , . . . , ]й\2) — порядок

номеров т,-, установленный

при /о/2

в соответствии с этой процедурой. Тогда для / о = 2 г

потребуем,

чтобы порядок номеров Ті был следующим:

(ku k2,...,kjB)

(оь /о+1 — 0ь

о2 , /о+1—о"2,...,/о+ 1—о/о/г)-

При описанных двух способах выборки операторы пере

хода (Е — ТгЛ) с

большой

нормой как

бы

«равномерно

раз

мешиваются» среди операторов, уменьшающих норму ошиб ки. Следует, однако, подчеркнуть, что если «длина цикла» / 0 невелика ( / о ^ Ю ) , то вычислительный процесс, как правило, оказывается устойчивым и не требует специальной организа ции выборки параметров т*.

В заключение отметим, что если / о = 1	и мы имеем дело
с одношаговым чебышевским ускорением	метода последова-

тельных приолижении, то для получения оптимального пара метра т воспользуемся формулой (1.28), из которой при г = 1 , j — l следует

_ 2

Асимптотическая скорость сходимости итерационного процес са в этом случае определяется непосредственно с помощью формулы для q

,	і	і	р — а
	Р\ (')		Р + а

и имеет вид

Легко видеть, что полученные формулы для т и s совпа дают с аналогичными формулами метода смещений, рассмо тренного выше. Таким образом, метод смещений является частным случаем более общего многошагового метода чебышевского итерационного процесса.

3.1.4. Метод верхней релаксации

Во многих приложениях большую популярность приобрел итерационный метод, разработанный Янгом и Франкелом и названный методом верхней релаксации. Идея метода состо ит в следующем.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

	Л<р=г				(1.31)
с блочно-трехдпагональной матрицей				О
Е	—Тг	0	0 .	О
„ -S2	Е —Т-г 0 .			О
О	О	О	О .	- 5	Ь Е

Следует отметить, что рассматриваемая структура матри цы А возникает во многих эллиптических задачах математи

ческой физики при редукции их к конечно-разностным.
Матрицу А запишем в виде
			A=E	— S — T,
где	О 7, О		. О	0 0 0 .		. 0 0

Т =	О 0	Тг	. о	S = S.	0 0	. 0	0

	0 0	о . . .	о о	О О О .		Sk	0

и Е- единичная матрица.

8 Г. И. Марчук

113

Уравнение (1.31) можно теперь записать в виде

где

B	=	S + T.
Будем предполагать, что итерационный процесс
ф" + 1	=	В(рп+т	(1.32)

сходится. Это значит, что максимальное по модулю собствен ное число матрицы В по абсолютной величине меньше едини цы, т. е. (3(5) < 1 . Именно это условие и является основным ограничением применимости метода верхней релаксации, к описанию которого мы приступаем.

Систему уравнений (1.31) можно записать в виде трехчлен ного разностного уравнения


O P - S / P P _ 1		~ 7 ' P 0 P + I	= F P		( р = 1 , 2, . . . ,	к)	(1.33)
при условии		Si =		0,	TH = 0,

где Фр — вектор, являющийся				компонентом вектора ф, a F p —
вектора	f.	системы	(1.33) воспользуемся			методом по
Для	решения

следовательных приближений в виде релаксационного про цесса

Ф£+ 1 = Ф $ - т ( Ф ; , - s p	Фр±\ -тр	Ф>Р+) ~ FP )
(/7=1, 2,	k).	(1.34)

Если решение уравнений вида (1.34) проводить в порядке возрастания индекса р, начиная с р = 1 , то для каждого за данного р вектор Фрі.! в правой части (1.34) будет уже из вестен из только что проведенного цикла вычислений, соот ветствующего индексу (р—1). Заметим, что в некоторых случаях процесс (1.34) удобно записать в виде двухшагового

• алгоритма

a>j+1/2 = s„ Ф Р ± \ + Т Р Ф Р + 1			+	? Р ,
Ф І + ' = т Ф І І + , ' 2 + ( 1 - т ) Ф І ,						(1-35)
причем в правой части первой формулы			(1.35)		выражение
Фр-\ предполагается уже известным		для заданного				р.
Рассмотрим сначала однородное уравнение (1.34):
ф £ + 1 = ФР - т (Ф> -	SP ФР+\	-	Т Р	ФР+,	)•	(1 -36)
Решение этого уравнения будем искать в виде
Ф'Р = Х	(G)\PT					(1.37)

где V(G) есть /-я степень константы X(G), которая является собственным числом оператора

G = ( £ - T S ) - ! [ ( 1 — т ) £ + т Т ] .

Для нахождения X(G)			поступим	следующим	образом.
Подставив (1.37)		в (1.36)	и сокращая	на Xі(G), получим
X(G)Vp	=	Vp-x(Vp-SPX(G)Vp.l-Tp\p+i).			(1.38)
Рассмотрим	две спектральные задачи:
	Aw=X(A)w;		Bw = X(B)w.		(1.39)

Очевидно, что они имеют общий набор собственных векторов,

поскольку А — Е — В,
Предположим, что { w n } — полная система	собственных
векторов. Тогда решение однородного уравнения	(1.38) будем
искать в виде

Vp = X* (G) w p .

Подставив (1.40) в (1.38) и используя (1.39), получим

[(MG) + T - l ) l w p = T ] / T ( G ) 4 f i ) w „ . Отсюда приходим к уравнению, связывающему Х(В) с

X (G) — хХ (В)УХ (G) +х — 1 = 0 ,

(1.40)

X(G):

(1-41)

т. е. к квадратному уравнению относительно ) ^ ( G ) , имеющему

корни

УТЩ

У~Щ^-х

(1-42)

Для

получения вещественных

решений

необходимо и

доста

ти"

(В\

точно

потребовать выполнения

у с л о в и я — т

— 1.

Для

того,

чтобы при

| Ц В ) | < 1

величина

|MG)|

также

была

меньше единицы,

а это

достаточное

условие

сходимости ме

тода

последовательных

приближений

(1.34),

следует

потре

бовать

| т — 1 | < 1 .

Отсюда имеем условие

0 < т < 2 .

Рассмотрим

максимальное

значение

модуля

величины

/ Я

(G):

т а х | уТЩ

+ У\

х + 1|.

Нетрудно показать,

что

минимальное

значение

величина

max (|]/\(G) |) будет принимать при таком выборе

параметра

И5

т, который обеспечивает обращение в нуль подкоренного вы ражения

Отсюда получаем оптимальный				параметр
	т0	=	г	"				(1.43)
			1 + Y\	-
который	приводит		к	минимальному			выражению
max{\|A,(G) \|} = (3(G)		для	всех	собственных		чисел Х{В).			При
таком выборе т имеем
	р ( 0 ) =	(	Р <g )		V =	т0 -	1.	(1.44)
Найдем теперь асимптотическую скорость сходимости ите-1»
рационного	процесса	верхней		релаксации.			Вспомним,		что
\| р ( В ) \| < 1 . Более того, обычно				для	плохо	обусловленных			си
стем алгебраических		уравнений			\| р ( В ) \| » 1 .		Именно	этим

объясняется крайне медленная сходимость итерационного процесса (1.32).

Оценим асимптотическую скорость сходимости метода верхней релаксации для плохо обусловленных матриц. Сна

чала покажем, что для сходящихся итерационных					процессов
(1.32) (а	именно такие случаи уравнений (1.31) мы рассма
триваем)	всегда выполняется	условие
	0 < С І ) = = Ї		) < 2 .
Действительно, это условие( Л		соблюдено,М Л Х Р ( Л		так как с учетом
структуры	матрицы А=Е—	В и естественной линейной свя
зи между собственными числами %(А) =				1 — Я ( 5 )	имеем
	\|Р(5)\| = т а х { \| 1 - р ( Л ) \| , \| 1		- а ( Л ) \| } < 1 .

Предположим теперь, что матрица А, возникающая в ре зультате решения некоторой задачи математической физики,

плохо

обусловлена. Обычно

в этом случае а

) « 0 ,

)«=2

и а

) / р

) < 1 . Это

значит,

что спектр

оператора

А,

кото

рый( Л

( Л

отнесем

интервалу

0 < Я ( Л ) < 2 ,

для

мы

приближенно

оператора В трансформируется

в интервал — 1 < Я ( Б ) < 1 .

Более того, исходя

из связи

спектров

ЦА)

= \

—%{В)

и вида матрицы В,

получаем

а ( Л ) « 1 - р ( В ) ,

р ( Л ) « 1 + р ( Я ) .

(1.45)

С учетом

(1.45) имеем

Р(Л) - а(Л )

Р(Б):

ЩА) + а{А)

или для плохо обусловленных систем
где	P ( f i ) ^ l - ^ T T			(1-46)
где	р =	$(А)/а(А).
	р =	$(А)/а(А).
Ограничиваясь	главными	членами,	соотношение	(1.44)
представим в форме
	_	1
где <7=rnax\|A.(G) \| = ( 3 ( G ) .		Поскольку	s=—In q, то	имеем
	s =	r ^ = .		(1.47)
		VP
Сопоставление формул (1.47) с (1.30) показывает, что в
рассматриваемом	случае метод верхней		релаксации сходится

в два раза быстрее, чем метод чебышевского ускорения. Это важный результат, свидетельствующий о том, что существует стационарный итерационный метод, для реализации которого

необходимо найти	только	максимальное			собственное		число
оператора B—S-\-T.	Так	же,	как и	метод		чебышевского
ускорения, метод	верхней	релаксации		удобно		использовать
в тех случаях, когда при		одном	и том	же	операторе		задачи
А необходимо найти решения при				различных входных
данных.

Выше мы рассмотрели формальный алгоритм. Теперь на примере простейших уравнений проиллюстрируем схему реа лизации метода верхней релаксации. Сначала рассмотрим некоторое разностное уравнение

Ф = £ ф + т ,

гдеЙ. —матрица такая, что в покомпонентной форме это уравнение запишется в виде

4>k,i = dh,i ф« - і,/+ h,i Ф м - і + Ch,i фл-н.' + dhti фя>/+1 + /h,o (1-48)

Предположим, что все коэффициенты aka, б ы ,	и dh,i
положительны и
flh,z+bft./+Cft.j+dft.z^l.

причем строгое неравенство должно иметь место хотя бы для одного набора (k, I ) . Это условие свойственно разностным аналогам уравнений эллиптического типа. Заметим, что в (1.48) граничные условия задачи уже удовлетворены за счет специального выбора коэффициентов уравнения. Метод верх-

ней релаксации для разностного уравнения (1.48) запишем следующим образом:

фЯ-і/2

= ак, ф£И>;

bhii ФІ+І., + ck<i

ф*+

1 і І

-1- 4 , i

Ф£,г + 1

k,r,

чу

= мііт + и-^%.г

( L 4 9 )

Порядок перебора k, l таков: в узле

{ku

ly)

значение

ц>$1

из (1.49) находится раньше, чем в узле (k2,

t2),

если

ki<.k2;

если же k] = k2,

то — если

1\<.12. При таком

переборе матри

ца (Е— В) может быть

приведена

к блочно-трехдиагональ-

ному виду (Вазов, Форсайт1 3 1 , Варга1 3 1 ).

Схема реализации алгоритма такова. Сначала решается

частная

спектральная

проблема на

отыскание

максимально

го собственного числа оператора В:

Ф ^ "

= аьл Ф £> u

bKl

ф(») _ 1

+ с м

ф«»| 1 > г

4 Ч / 1 > $ - И ,

(1.50)

'"Де gh,h—вообще

говоря, произвольный

вектор. При

этом,

по методу Люстерника,

имеем

р ( В )

1 і т т ^ г -

( Ш )

п~со

|| ф

П,

После того, как Р(б)

найдено, определим

т по

формуле

(1.52)

При найденном оптимальном значении т далее решается

задача

(1.49).

Алгоритм

верхней

поточечной

релаксации

оказывается очень простым в приложениях.

Сделаем одно важное

замечание

алгоритмического

харак

тера. При реализации алгоритма верхней релаксации необ ходимо предварительное знание максимального собственного числа оператора В. В этом случае используется метод по следовательных приближений (1.50), (1.51).

В самом деле, для отыскания верхней границы спектра

оператора	В	можно	использовать	итерационный процесс
(1.49) при т = 1 . С помощью формулы				(1.41) получаем		связь
р(<?) и р ( 5 ) в		виде
			p * ( B ) = P ( G ) .
Следовательно,		теперь	задача состоит в		нахождении	P(G)
с помощью	итерационного процесса (1.49)				при т = 1 . В	отли
чие от однородного уравнения (1.50)				мы	теперь имеем	дело

с неоднородной задачей. Для этого случая метод Люстерника обобщается тривиально, и мы будем иметь

	HG) =	l i m ! ^ +	1	- « " П .
		ІІФ"	-	Ф п - ' 1
где ф" — решение задачи		(1.49)	при т = 1 . После		нахождения
P(G)	оптимальное значение для		т	находится в виде
		- Р ( 0 )			(1.52а)
	0	- Р ( 0 )
	0
В	некоторых случаях	весьма		эффективным	является ме

тод блочной релаксации, который проиллюстрируем на трех

мерной		задаче
	Фй,/,т	= u.k,l,m ф / t - l , l,m + Ьк,1,т ф к , / - 1 , т + CkJ.m <fk,l,m- 1 +
+	d/i,;,m ф ь + І . / . т + ^ , , ; , т		ф й , г +1,т - Г " / м , т фл ,/,т + І + ^ f t , i ,m,	(1.53)
где	все	коэффициенты	разностного уравнения (1.53)	счита
ются неотрицательными и выполняются условия
	Qfc,/,m + ЬкЛчП1 +Ctl,l,m + dhi[<m + &k,l,m + fh.i.m 1			(1 -54)

и хотя бы для одного набора {к, I, т) в (1.54) будет иметь место строгое неравенство. Метод блочной релаксации оп ределим следующим образом:

(fe =

l , 2 , . . . , l

= l , 2 , . . . , m

l , 2 , . . . ) ;

ф з + і = Т Ф І + 1 ' 2 + (1 — x) ф» . .

Для

решения задачи

(1.55) необходимо найти т. С этой

целью предварительно

решается

задача

№

- С М . т

ф Щ _ ,

- / * . l . m Ф Ю + І

flft.'.-

Ф*"ІІ.І.«

+ &к.«.« Ф $ - , , Т

+rfk,«,mФ ) ^ 1 Л Т

Єк.1,1» Ф # + 1 , Т

(1-56)

Фк,и = &.«..»•

В результате решения задачи (1.56)

находится

р (В) -

l i m

" Q

и т по формуле (1.52).

При

использовании

формулы

(1.52а)

необходимо

найти

P(G)

методом

(1.55)

т = 1 . Заметим,

что

всякий раз при

заданных k, I и m требуется

решение одномерного разностно-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ