книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики
.pdfАКАДЕМИЯ НАУК СССР • СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Й Ц Е Н Т Р
Г. И . М А Р Ч У К
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» • СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ НОВОСИБИРСК • 1973
УДК 518.61
Книга посвящена описанию современных методов решение больших задач, возникающих при рассмотрении многочислен ных практических проблем, с помощью высокопроизводитель ных ЭВМ. В ней отражены общие вопросы вычислительной ма тематики: аппроксимация уравнений, устойчивость разностны:
схем, |
сходимость приближенного решения |
и др. Рассмотрень |
|||||
новые |
средства вычислительной математики, |
такие как вариа |
|||||
ционные методы построения разностных схем, |
методы расщё |
||||||
пления и их применение к решению эволюционных |
задач, ме |
||||||
тоды интерполяции функций с |
помощью |
сплайнов, |
быстро' |
||||
преобразование Фурье |
и многие |
другие. Хотя в книге |
не рас |
||||
сматриваїотся |
газовой |
вычислительной и прикладно^ |
|||||
математике задачи |
динамики, |
теории |
упругості |
и т. д., основные приемы решения таких задач укладываютс: в изложенные вычислительные схемы.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и специа листов по вычислительной и прикладной математике.
Гурий Иванович Марчук
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор |
Н. П. |
Г о р б а ч е в а |
|
||||||
Художественный редактор |
В. И. |
Ш у м а к о в |
|
||||||
Обложка |
художника |
Е. |
Ф. |
Н о в и к о в а |
|
||||
Технический |
редактор Е. М. |
Е л и с т р а т о в а |
|
||||||
Корректоры |
Н. |
Н. |
Т я с т о, |
Е. |
Ф. |
Б у р о в а |
|
||
Сдано в набор 6 октября 1972 |
г. |
Подписано |
к |
печати |
4 апреля 1973 |
г. МН 00528. |
|||
бумага тип. Nt 2, формат 60 X 90Vu. |
22 |
печ. л., |
22 уч.-изд. л. Заказ W« 907. |
Тираж 8900. |
|||||
|
|
Цена 2 |
р. 44 к. |
|
|
|
Издательство «Наука>. Сибирское отделение. Новосибирск, 99. Советская, 18. 4-я типография изд-ва «Наука». Новосибирск, 77, ул. Станиславского. 25,
0224-1429 '042(02) -73•382-78
О Г Л А В Л Е Н ИЕ
Предисловие |
|
|
|
|
; |
; - |
5 3 |
|
г |
7 |
|
Г л а в а |
I . Общие сведения из |
теории |
разностных |
схем . . |
8 |
||||||
1.1. Основные и сопряженные уравнения |
|
|
|
|
8 |
||||||
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц |
|
|
|
|
12 |
||||||
1.1.2. Вычисление |
границ |
спектра |
положительной |
мат |
|
||||||
|
рицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа |
17 |
||||||||||
1.1.4. Собственные |
числа |
и |
векторы |
конечно-разностно |
|
||||||
|
го |
аналога |
оператора |
Лапласа |
|
|
|
|
19 |
||
1.2. Аппроксимация |
|
|
|
|
' . . . . |
|
і |
23 |
|||
1.3. Счетная |
устойчивость |
|
|
|
|
! |
! |
! |
31 |
||
1.4. Теория |
сходимости |
|
|
|
: |
; |
і |
ч |
40 |
||
Г л а в а |
2. Методы построения |
разностных схем для диффе |
|
||||||||
|
ренциальных |
уравнений |
|
|
|
|
|
44 |
2.1.Метод построения разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального
тождества |
|
|
|
|
s |
i |
45 |
2.2. Вариационные методы в |
математической физике . . |
53 |
|||||
2.2.1. Метод |
Ритца |
|
|
|
|
|
54 |
2.2.2. Метод |
Галёркина |
|
|
|
|
56 |
|
2.2.3. Метод |
наименьших |
квадратов |
|
|
57 |
||
2.3. Разностные |
схемы для уравнений с разрывными коэф |
|
|||||
фициентами, основанные на вариационных принципах |
59 |
||||||
2.3.1. Построение |
простейших |
разностных |
уравнений |
|
|||
диффузии с помощью метода Ритца . . . . |
60 |
||||||
2.3.2. Построение |
простейших |
разностных |
схем на |
ос |
|
||
нове |
метода |
Галёркина |
(конечных |
элементов) |
63 |
2.4. Общин |
подход к |
построению |
вариационно-разностных |
|
|||||||||||||
схем для одномерных уравнении и конструирование под |
|
||||||||||||||||
пространств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
||
2.6. Вариационно-разностные схемы для двумерного урав |
|
||||||||||||||||
нения |
эллиптического |
типа |
|
: |
|
|
|
|
|
|
71 |
||||||
2.5.1. Метод |
Ритца |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|||
2.5.2. Метод |
Галёркнна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|||||
2.6. Вариационные методы для многомерных задач |
. . |
81 |
|||||||||||||||
2.6.1. Способы |
построения |
подпространств |
. . . . |
81 |
|||||||||||||
2.6.2. Покоординатные |
методы |
построения |
вариацион |
|
|||||||||||||
|
но-разностных |
|
схем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
||||
2.7. Ынтерполяцня |
решений |
разностных |
уравнений |
с |
по |
|
|||||||||||
мощью |
сплайнов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
85 |
|||
2.7.1. Интерполяция функций одного переменного |
. . |
86 |
|||||||||||||||
2.7.2. Кусочно-кубическая |
интерполяция |
со |
сглажива |
|
|||||||||||||
|
нием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
2.7.3. Интерполяция |
|
функции |
двух |
переменных . . . |
99 |
||||||||||||
Г л а в а |
3. Методы |
решения стационарных |
задач |
математи |
|
||||||||||||
|
ческой |
физики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IQ2 |
|||
3.1. Некоторые итерационные |
методы |
и их |
оптимизация |
. |
103 |
||||||||||||
3.1.1. Простейший |
итерационный |
метод |
|
|
|
|
105 |
||||||||||
3.1.2. Метод |
смещений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
|||||
3.1.3. Метод |
чебышевского |
ускорения |
|
|
|
|
|
108 |
|||||||||
3.1.4. Метод |
верхней |
релаксации |
|
|
|
|
|
|
113 |
||||||||
3.1.5. Сопоставление |
асимптотической |
скорости |
сходи |
|
|||||||||||||
|
мости различных |
итерационных методов |
. . . |
120 |
|||||||||||||
3.2. Градиентные |
итерационные |
методы |
|
|
|
|
|
120 |
|||||||||
3.2.1. Метод |
минимальных |
невязок |
|
|
|
|
|
|
121 |
||||||||
3.2.2. Двухшаговый |
|
метод |
минимальных |
невязок |
. |
|
123 |
||||||||||
3.2.3. Метод |
сопряженных |
градиентов |
|
. . . . . |
126 |
||||||||||||
3.3. Метод |
расщепления . |
|
|
|
|
|
. . |
; . |
: |
132 |
|||||||
3.4. Метод расщепления с вариационной |
оптимизацией |
. |
'43 |
||||||||||||||
3.5. Решение уравнений с вырожденными операторами ите |
|
||||||||||||||||
|
рационными |
методами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
146 |
||||
3.6. Итерационные методы при неточных |
входных |
данных |
151 |
||||||||||||||
3.7. Быстрое преобразование |
Фурье |
|
|
|
|
|
|
153 |
|||||||||
3.8. Факторизация |
разностных уравнений |
|
|
|
|
|
160 |
||||||||||
Г л а в а |
4. Методы |
решения |
нестационарных |
задач . . . |
163 |
||||||||||||
4.1. Разностные |
схемы |
второго |
|
порядка |
|
аппроксимации |
|
||||||||||
|
с операторами, зависящими от времени |
|
|
|
|
163 |
|||||||||||
4.2. Неоднородные уравнения |
эволюционного |
типа . . . |
166 |
4.3. Методы расщепления нестационарных задач |
. |
. . |
167 |
|||
4.3.1. Метод |
стабилизации |
|
|
|
|
168 |
4.3.2. Метод |
предиктор-корректор |
|
|
|
173 |
|
4.3.3. Метод |
покомпонентного |
расщепления . |
. |
. . |
176 |
|
4.3.4. Некоторые общие замечания |
|
|
|
180 |
||
4.4. Многокомпонентное расщепление задач |
. |
. |
. . |
181 |
||
4.4.1. Метод |
стабилизации |
|
|
|
|
182 |
4.4.2. Метод |
предиктор-корректор |
|
|
|
183 |
|
4.4.3. Метод |
покомпонентного |
расщепления |
|
на |
основе |
|
|
|
элементарных |
схем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
185 |
||||
4.4.4. Расщепление квазилинейных |
задач |
. . . . |
191 |
||||||||||||||
4.5. Общин подход к покомпонентному |
расщеплению . . |
192 |
|||||||||||||||
4.6. Методы |
решения |
уравнений |
гиперболического |
типа |
197 |
||||||||||||
4.6.1. Метод |
стабилизации |
|
|
|
|
|
|
|
|
197 |
|||||||
4.6.2. Сведение |
уравнения |
колебаний |
к |
эволюционной |
|
||||||||||||
|
|
задаче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
Г л а в а |
5. |
Постановка |
и |
численные |
методы |
решения |
некото |
|
|||||||||
|
|
рых |
обратных |
задач |
|
|
|
|
|
|
|
207 |
|||||
5.1. Основные определения и примеры |
|
|
|
|
|
|
208 |
||||||||||
5.2. Решение обратных эволюционных задач |
методом |
ря |
|
||||||||||||||
дов |
Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213 |
||
5.3. Обратная |
эволюционная |
|
задача с |
оператором, |
завися |
|
|||||||||||
щим |
от |
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
218 |
||||
5.4. Постановка обратных задач на основе методов теории |
|
||||||||||||||||
возмущений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224 |
||||
5.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений |
225 |
||||||||||||||||
5.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности |
. . |
226 |
|||||||||||||||
5.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов |
230 |
||||||||||||||||
6.4.4. Численные |
|
методы |
|
решения |
обратных |
задач и |
|
||||||||||
|
|
планирование |
эксперимента |
|
|
|
|
|
|
232 |
|||||||
Г л а в а |
6. 'Простейшие |
задачи |
математической |
физики . . |
238 |
||||||||||||
6.1. Уравнение |
|
Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
238 |
|||||
6.1.1. Задача |
Дирихле |
для |
одномерного |
уравнения |
|
||||||||||||
|
|
Пуассона |
|
. |
. |
|
.' |
|
|
|
|
|
|
|
238 |
||
6.1.2. Одномерная |
задача |
|
Неймана |
|
|
|
|
|
|
240 |
|||||||
6.1.3. Двумерное |
|
уравнение Пуассона |
|
|
|
|
|
242 |
|||||||||
6.1.4. Проблема |
граничных |
условий |
|
|
|
|
|
|
249 |
||||||||
6.2. Уравнение |
|
теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
252 |
|||||||
6.2.1. Одномерная |
задача |
|
теплопроводности |
|
. . . |
252 |
|||||||||||
6.2.2. Двумерная |
задача теплопроводности |
. . . . |
257 |
||||||||||||||
6.3. Уравнение |
|
колебаний |
|
. . . . . . . . |
|
258 |
6.4. Уравнение |
«движения» |
|
|
|
|
261 |
||||
6.4.1. Простейшие |
уравнения движения |
|
|
262 |
||||||
6.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными |
|
|||||||||
|
коэффициентами |
|
|
|
|
|
269 |
|||
6.4.3. Многомерное |
уравнение движения |
|
|
275 |
||||||
6.5. О повышении порядка аппроксимации |
разностных |
схем |
280 |
|||||||
Г л а в а |
7. Численные |
методы |
в теории |
переноса излучения |
289 |
|||||
7.1. Постановка |
задачи |
|
|
|
|
|
290 |
|||
7.2. Уравнение |
переноса для |
различных |
геометрии |
. . |
293 |
|||||
7.3. Численное |
решение уравнения переноса в плоскопа- |
|
||||||||
|
раллелышй |
геометрии |
|
|
|
|
. |
295 |
||
7.4. Стационарная |
задача |
переноса |
|
|
|
304 |
||||
7.5. Неизотропное |
рассеяние |
частиц |
|
|
|
308 |
||||
Г л а в а |
8. Обзор |
методов |
вычислительной |
математики . . |
311 |
|||||
Литература |
|
|
|
|
|
|
|
|
330 |
|
Алфавитный указатель . |
. |
|
|
|
350 |
П Р Е Д И С Л О В И Е
Предлагаемая книга является результатом обработки курса лекций по вычислительной математике, который в течение ряда лет читался автором для студентов математического факультета Новосибирского государствен ного университета. Автор, занимаясь вопросами прикладной и вычислитель ной математики, стремился акцентировать внимание на сложных задачах математической физики, которые в процессе решения, как правило, реду цируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных ма шинах.
Именно с такими сложными задачами зачастую сталкивается молодой иссследователь в своей практической работе после окончания высшего учеб ного заведения. Поэтому'данная книга прежде всего рассчитана на исследо вателей, которые впервые встречаются с необходимостью решения больших задач математической физики и хотят получить рекомендации о рациональ ных подходах к решению. При написании книги автор стремился также учесть потребности научных работников и инженеров, уже имеющих солид ный опыт решения практических задач, в систематизации знаний в области вычислительной математики и теоретическом их обобщении.
Автором избрана такая форма изложения, которая, по его мнению, спо собствует привлечению внимания к проблемам вычислительной математики более или менее широкого круга исследователей. Эта форма потребовала известных уступок в изложении, позволив сосредоточить внимание лишь на основных идеях и подходах к решению задач. Что касается деталей, иног да существенных, и возможных обобщений, например таких, как мини мальные требования к гладкости функций, ограничения на входные дан ные задач и т. п., то для специалистов они в большинстве случаев оче видны, а для начинающего исследователя предоставляют хорошие возмож ности для полезных упражнений.
Глава 8 основана на материалах доклада автора на Международном математическом конгрессе в Ницце (1970 г.). Эта глава дает некоторое пред ставление не только о методах и проблемах вычислительной математики, рассмотренных в курсе, а и о тех направлениях, которые не вошли в книгу, но имеют существенное значение как в теоретическом плане, так и для при ложений.
В процессе подготовки к печати книга претерпела значительные измене ния в связи с замечаниями и советами автору коллег и сотрудников. Преж де всего хотелось бы отметить помощь, оказанную М . , М . Лаврентьевым, В. И. Лебедевым, И. Мареком, М. К. Фаге и Н. Н. Яненко, сделавшими ряд конструктивных замечаний по изложению отдельных глав, особенно первой и пятой. Вторая глава была настолько существенно изменена Ю . А. Кузнецовым, что его вклад в этой части носит характер соавторства.
Автором учтен |
также |
ряд ценных советов и замечаний |
В. |
Г. |
Васильева, |
В. П. Ильина, |
А. Н. |
Коновалова, В. П. Кочергина, |
В. |
В. |
Пененко, |
В. В. Смелова, У. М. Султаигазина и других. Большую работу по редакти рованию рукописи проделал Г. С. Ривин. Всем этим товарищам, а также М . С. Юдину, принявшему участие в подготовке книги к печати, автор вы ражает свою глубокую благодарность.
Г Л А В А 1
О Б Щ И Е С В Е Д Е Н И Я И З Т Е О Р И И Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М
В настоящей главе приводятся краткие сведения по фун даментальным вопросам теории разностных схем, которые су щественно использованы в последующих главах книги. По скольку нашей основной задачей является знакомство с неко торыми современными принципами построения вычислитель ных алгоритмов для решения задач математической физики, то при рассмотрении вопросов теории мы ограничимся только наиболее простыми случаями.
1.1.ОСНОВНЫЕ И С О П Р Я Ж Е Н Н Ы Е УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим в n-мерном эвклидовом пространстве Еп некоторую область D. Сразу же отметим, что в прикладной математике обычно не встречаются области столь сложного строения, чтобы они не имели меры: площади в двумерном случае, объема — в трехмерном и т. д. Однако теория дебето вого мероопределения является основой и для последующих определений, поэтому предполагается знакомство читателя с теорией меры и теорией интеграла Лебега (В. И. Смирнов1 2 1 , С. Л. Соболев1 1 1 , В. С. Владимиров1 2 1 , И. П. Натансон"1 и другие) *>.
Определим гильбертово пространство L2{D) всех веще ственных измеримых функций с суммируемым квадратом, т. е.
|
f |
f*(x)dx<co, |
|
со скалярным |
произведением |
|
|
|
(},g)= \ f(x)g(x)dx. |
(1.1) |
|
|
D |
|
|
Как обычно, норму функций f |
из L2(D) определим |
равенством |
|
|
W = |
(/,/)• |
(1-2) |
*) Цифрой в скобках обозначен |
номер раздела в списке |
литературы, |
|
где указывается |
источник, |
|
|
Ь
Из гильбертова |
пространства L2(D) выделим теперь неко |
|||
торое |
подпространство (линейное |
многообразие) |
$aL2{D) |
|
так, |
чтобы каждый |
элемент среФ |
удовлетворял |
некоторым |
дополнительным условиям. Такими условиями, например, мо гут быть требования заданной гладкости, удовлетворение пре дельным соотношениям на границе области D и т. д. Указан ные условия, однако, должны быть достаточными для того,
чтобы оператор Л переводил элемент |
среФ в |
элемент |
ЛсрєЕІ2 (£>). |
|
много |
Линейный оператор Л, определенный на линейном |
||
образии Ф, называют п о л о ж и т е л ь н о |
п о л у о п р е д е |
|
л е н н ы м, если для всех среФ имеем |
|
|
(ЛФ , Ф ) ^ 0 , |
|
(1.3) |
причем возможность равенства нулю скалярного произведе ния (Лф, ф) допускается на элементе ф, тождественно не рав ном нулю. Такие операторы обычно обозначают А^О. Если равенство исключается и
|
|
|
|
|
(ЛФ , |
Ф ) > 0 , |
|
|
|
|
(1.4) |
||
то оператор |
А называют |
п о л о ж и т е л ь н ы м |
и |
обозначают |
|||||||||
Л > 0 . Наконец, в случае |
более сильного |
неравенства |
|
||||||||||
|
|
( Л Ф , |
Ф ) > К ( Ф , |
Ф ) , |
ф е ф , |
|
|
(1.5) |
|||||
где |
7 > 0 — некоторая |
положительная |
константа, |
единая для |
|||||||||
всех |
ф е Ф , оператор |
А называют |
п о л о ж и т е л ь н о |
о п р е |
|||||||||
д е л е н н ы м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что если оператором |
А является симметрическая |
||||||||||||
матрица, то для нее из положительности |
следует положитель |
||||||||||||
ная |
определенность |
(Д. К- Фаддеев, В. |
Н. Фаддеева1 8 1 ). |
||||||||||
Подпространство |
|
Ф будем |
называть |
о б л а с т ь ю |
о п р е |
||||||||
д е л е н и я о п е р а т о р а |
Л и обозначим |
его Ф |
(А). |
|
|||||||||
Введем далее в |
рассмотрение, |
с о п р я ж е н н ы й |
о п е р а |
||||||||||
т о р |
Л* с помощью тождества |
Лагранжа |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(Ag, |
h) = |
(g, |
Л* її), |
|
|
|
(1.6) |
||
где |
£<=Ф(Л), а /г<=Ф(Л * ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подпространства |
|
Ф(Л) |
и |
Ф(Л*) |
гильбертова |
простран |
|||||||
ства |
L2(D), |
вообще |
говоря, не совпадают друг |
с другом., хотя |
|||||||||
их элементы |
имеют |
одну |
и ту же |
область определения D в £ „ . |
В дальнейшем будем предполагать, что сопряженный опера
тор существует |
и |
является |
з а м к н у т ы м в |
следующем |
||
смысле. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
имеется |
последовательность |
фп—•'Ф И Л*ф„—>%. |
|||
Тогда \реФ(Л*) |
и имеет |
место предельное |
соотношение |
|||
А *г|з=%. В |
том |
случае, когда Л = Л * и |
Ф(Л) = |
Ф ( Л * ) , опе |
||
ратор Л называют |
с а м о с о п р я ж е н н ы м . |
|