Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

шага сетки) окрестности отличны от нуля, а вне ее тожде ственно равны нулю. Оказалось, что решение искомой задачи зачастую удобно искать в виде линейной комбинации функ ций с конечным носителем при неизвестных коэффициентах, которые выбираются на основе минимума того или иного функционала, связанного с вариационным принципом. Эта ме тодология была применена к различным классам задач и при вела к весьма эффективному алгоритму построения разност ных систем, который мы постараемся проиллюстрировать на задаче, связанной с одномерной диффузией субстанции.

2.3.1.Построение простейших разностных уравнений диффузии

спомощью метода Ритца

Как было отмечено, метод Ритца может	быть использо
ван только для задач с самосопряженными	операторами.

Для нахождения приближенного решения самосопряженной краевой задачи (1.1), (1.2) введем в рассмотрение вариаци онный функционал

			dx.	(3.1)
Учитывая, что	минимум функционала	(3.1), как		было указа
но в 2.2, достигается на решении задачи			(1.1),	(1.2) из 2.1,
будем строить	приближенное решение	па	сетке	ЬЛ так, что

бы свободные параметры этого решения выбрать из условия

минимума функционала			(3.1). С этой целью приближенное
решение задачи	будем	искать в виде непрерывной кусочно-
линейной функции, принадлежащей				о
				W2,
Ф Й (х) =	— щ	+	j r - 1 Фм-1	(** < х		<	(3-2)
Д А / 4 - 1 ) 2			Л * Ь + 1 / 2
На интервале Xh^x^.xk+i			введем в рассмотрение две линей
ных функции coi(x) и аг(-*-')> заданных				формулами
	а Л / г + 1 / 2			a A f t + l / 2
Тогда интерполяционную			формулу (3.2)		перепишем		в виде
	ф " (X) =	0)1 ( * ) ф А + 1 + C D 2 (х)			ф й ,		(3.4)
где Axk+4,—xh+i—Xh,	а	фл — приближенные				значения	реше

ния задачи ц>(х) в узлах сетки. Эти значения, конечно, за ранее не известны, и задача состоит именно в их отыскании

на основе минимизации функционала / ( Ф ) . Функции &i(x) и ®2(х), вообще говоря, зависят от интервала, на котором они определены. Поэтому их следовало бы, например, обозна чить ШІ,А+І/2(*) и шг.л+і/гМ- В дальнейшем принадлежность этих функций соответствующим интервалам будет предельно ясной на .тюбом этапе преобразований, поэтому ради просто ты индексы при функциях ©i(.v) и ®2{х) опустим. Заметим, что в соответствии с априорными сведениями о решении за


дачи ( 1 . 1 ) ,	(1.2) мы		строим приближенное решение q>h{x)
так, чтобы	оно	было	непрерывным		на интервале	0 ^ . v ^ l .
Коэффициенты		р(х)^ро>0,		q(x)Z^0	и f(x) предполагаются
кусочно-непрерывными			функциями с возможными			разрывами

первого рода. Будем предполагать, что эти функции имеют

разрывы,

совпадающие

с точками xh. Ради

удобства

мини

мизирующий

функционал / ( ф ' 1 )

представим в виде

л - 1-1

А''НТ і

" "

-1

/(ФЛ ) =

Г р ( ^ ) 2 +

№ 2 - 2 / ф \dx.

(3.5)

* - 0 xh

Подставив

(3.4) в

(3.5) и учтя

соотношения

dojj

da„

ах

дл„ _ | _ ] /

ах

Aur f t _ j _ 1 / 2

будем

иметь

„ _ і

ФІН - 2 Ф к + і Ф к + ФІ

У ( Ф * ) =

l ft+l/2

+ 9

(сОіфн+і

+ 2 с о 1 0 3 2 ф „ + 1 ф „

СОофІ) —

2/ ( C 0 ^ f t + ,

щщ)

dx.

(3.6)

Значения

ф/і (/г — 1 ,

2 , . . . ,

л — 1 ) выберем

таким

образом,

чтобы минимизировался функционал 7(Ф'1). Условием

мини

мума

будет

^ Г ° '

Ц > °

- . « - І ) '

(3-7)

Дифференцируя

(3.6)

по ф„ и приравнивая

результат ну

лю, получим

РЛ~т

(фи — Фл-0 — д * + ш

(Фк+i — Фк) +

дя +1 / 2 ф«+і

а *к—-1/2

Л *к+1/2

ІЯІ+т +

Чк-т)

Ф" + <7к-і/2фк-і

F,t,

(3.8)

зі

где

	v ft+l
Pn+U2 = irr	і" Pdx'>

»'fc+l '/''+1/2= і (uitojqdx:

	xk	x'h+l
Fh =	j " f c o j d x - f	\	f<a2dx.

К разностному уравнению (3.8) присоединим граничные

условия
фо=0,	Ф„ = 0.

Тогда краевая задача будет полностью определена. Уравнение (3.8) вместе с граничными условиями можно

записать	в виде трехточечной			разностной задачи
где			ф о = 0 ,		ф „ = 0 ,		^
где
		Рк — \!2	1,2	. „ _		ph + l;2	1,2
0	, 1	лТ	- - •	с	'<	лТ	72»
		лТ			'<	лТ	<7'<+і/2І
		Р , 1 + І / 2	Р „ _ І 2				(3-Ю)
		Р , 1 + І / 2	Р „ _ І 2

Рассмотрим частный случай, когда функции р » q кусоч но-постоянные на каждом интервале xk<x<Xk+\. Тогда не трудно получить

	_	Pfe-l/2		hxh-№	„	.	_ Pft+1/2	A *ft+l/2 „
ffh	~	AT		« — 4 h - m »			c h —	П—<7fc+l/2.
bk —	A	y + 1 / 2	+ Л у ~ 1 / 2		+	о"	9(1+1/2 +	і/2 <7h-l/2 ) •
	a ; c fc+l/2			a X h - l / 2		d

Здесь

Ph+m — P (-Kfc+m): <7h+i/2 = <? fe+i/г)-

Предположим, что решение задачи (3.9) найдено. Тогда

непрерывное	решение	y h { x ) восстанавливаем с	помощью
формул (3.4).	Важным	свойством вариационного	подхода к

решению задачи является то, что мы априори строим при

ближенное	решение с	помощью		интерполяционного	полинома
и решение	находим	в виде	непрерывной кусочно-линейной
функции,	обеспечивающей		по	своему способу	построения

наилучшую аппроксимацию точного решения в классе непре рывных кусочно-линейных функций.

Разумеется, вариационный метод построения уравнений можно использовать для получения приближенного решения любого порядка точности. С этой целью необходимо вместо простейших интерполяционных формул (3.4) выбрать более точные. Здесь можно идти и по пути формального использо вания интерполяционных полиномов Лагранжа.

Переходим теперь к анализу аппроксимации полученных разностных уравнений. Для этого уравнение (3.8) удобно привести к виду

- е д	^	Ф*+. +		ад., +	? ц 1 Д ) Ф *	+ <7Еі/2 Ф*-І]}=/І.			(3-і2)
где
				Я	= - д ї Г ^ -				(3-13)
Здесь	Ад;^ =		^ (ДХ/І+І/2 +		Axh_i).	Поскольку на		интерва
лах			1	решение	ф ( х ) И	ВСЄ К О Э ф ф и Ц И е Н Т Ы			р, Ц И
f — непрерывные				функции, обладающие			вы,сокой	степенью
гладкости,		то	с помощью		разложений в		ряд Тейлора		можно
показать,		что

|| (ЛфЬ - Л"(ф)/Л^/И/г",

'\\(f)h-fh\\^Nh«,

где величина а определяется свойствами сетки (см. 2.1). Дальнейший анализ совпадает с изложенным в 2.1, поэтому мы его опускаем.

2.3.2. Построение простейших разностных схем

на основе метода Галёркина (конечных элементов)

Рассмотрим задачу			(2.1),	(2.2)	с	областью определения
S l A ' ^ l .	Покроем	эту	область системой				интервалов J C ^ - I ^
							о
Zx^Xh	и для каждого			введем функцию из W 2
		'	0	(0 <	х <	jck_i),
	со), (х)	=	щ(х)		(Xk-l<X^Xh),			(3.14)
	со), (х)	=	щ(х)		(xh<x^xk+i),			(3.14)
			щ(х)		(xh<x^xk+i),
			О	(Xk+i	< Х	^ Х п	= 1 ) .

Мы видим (рис.	1), что функции ®k(x) {k = \, ...	-1)
в качестве области	определения имеют весь отрезок 0=	£1.

Они

н е п р е р ы в н ы и

о т л и ч н ы

от

н у л я т о л ь к о на и н т е р в а л е

Xh-i<

<іх<іхі,+\,

г д е

с о с т о я т

из

д в у х

л и н е й н ы х

у ч а с т к о в п

д о с т и г а ю т

с в о е г о

м а к с и м у м а , р а в н о г о

е д и

н и ц е , в

т о ч к е

x = x k .

Такие

ф у н к

ции

о б л а д а ю т

с в о й с т в о м , к о т о р о е

м о ж н о с ч и т а т ь а н а л о г о м с в о й с т

Хи

' — і — г

в а

полноты,

и м е н н о :

э т а

с и с т е

Х0=ОХкч

Хк,1

Хп=1 X

м а п о л н а

т о м

с м ы с л е , ч т о

лю

Рис. 1.

б у ю

н е п р е р ы в н у ю к у с о ч н о - л и н е й

ную

ф у Н К Ц Ц Ю

ф ( А ' ) С

в о з м о ж н ы м и

и з л о м а м и

у з л о в ы х т о ч к а х

{хк}

можно

п р е д с т а в и т ь в

в и д е

л и н е й н о й к о м б и н а ц и и т а к и х ф у н к ц и й , т. е.

<р(х)

ф й

СО,;

(Х),

(3.15)

где в качестве коэффициентов

Фурье

фь

стоят

значения

са

мой функции ц>(х)

в точках х к .

обладают

также

некоторой

Заметим,

что

функции

ак(х)

ортогональностью, правда, не совсем в обычном виде. В са

мом деле, если	скалярное		произведение	определить в			форме
			і
		(g.	/ ! ) =				t>ghdx,
т о д л я ф у н к ц и й c o f t ( . v ) и м е е м
		о		(п <	/г — 2),
				(п =	к	-1),
J со/г (х) а>п (х) dx	=	о- (Д-^л—1/2 + Л-^м-і/г)		(я =	k),		(3.16)
9				(n =	k +	1),
		g- AXk+	і/2	(n =	k +	1),
		о		(я >	k +	2).
Из (3.16) следует, что функции СОЛ(Л-) ортогональны по от
ношению КО В С Є М		СОп (х),	За И С К Л Ю Ч е Н И е М трех — COft-l,				COfc и

сод+ь В этом состоит специфика выбранного базиса функций.

После того, как функции ®k(x)		определены, воспользуемся
ими для получения	конечно-разностных		уравнений. С этой
целью снова рассмотрим уравнение диффузии
d	rfcp	в	D,
dx Р dx				(3.17)

Ф ( 0 ) = 0 ,		Ф(1) = = 0.

В соответствии с методом Галёркина уравнение (3.17) ска лярно помножим на со„. Тогда получим

Функционал (3.18) преобразуем

к виду

гіф т

dx =

(3.19)

Здесь

при

интегрировании

по

частям

мы

воспользовались

тем,

что со„(0) = ш „ ( 1 ) = 0 .

Далее (3.19)

представим

виде

суммы

С учетом вида функции а>„(х)

нетрудно получить

{ 0,

если

пфк,

p^-p-dx

(фь — Фь-і),

если

п =

/г;

хк—1

&.xhh—1/2

(3.21)

пфк,

ft+i

если

dx dx =

(Ф"+1—Ф")' Є С Л И

I — А т +

n = =

q<pa)hdx =

q\±m

Фл_і +

q{±V2

Ф ь

к—1

(3.22)

<7qwfc

q2k'lm

Фл +

<7££1Й Фм-1.

fc+Ш

Здесь обозначения приняты в соответствии с

(3.8).

Подставляя

(3.21),

(3.22)

(3.19), - получим

разностное

уравнение

( Ф к -

Ф*-0 -

( Ф , + , -

Ф*) +

q\tm

Ф*_!

где

xk+l

fc+1

ft-i

(3.24)

5 Г, И. Марчук

Для полной определенности к уравнению		(3.23) следует до
бавить граничные условия
Фо=0,	ф „ = 0 .	(3.25)

Теперь задача поставлена полностью.

Сравнение разностных уравнений (3.23) и (3.8) показыва ет, что они тождественны. Это значит, что методы Ритца и Галёркина на основе конечных функций в случае самосопря женных уравнений приводят к одинаковым разностным ана логам задач. Однако следует подчеркнуть, что метод Галёр кина может быть применен для решения как самосопряжен ных, так и несамосопряженных задач, т. е. он имеет более широкую область применения.

В том случае, когда коэффициенты уравнения — гладкие функции, можно на основе вариационных методов строить разностные схемы более высокого порядка аппроксимации.

2.4.ОБЩИЙ ПОДХОД

КПОСТРОЕНИЮ ВАРИАЦИОННО - РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

ДЛ Я О Д Н О М Е Р Н Ы Х УРАВНЕНИИ

ИКОНСТРУИРОВАНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ

Внастоящем параграфе будет рассмотрен более общий подход к построению разностных уравнений на основе вариа ционных методов, позволяющий получать разностные аппрок симации высокого порядка точности. Такие аппроксимации

рассмотрены в работах Обэна1 5 1 , Бабушки'5 ), Странга, Фик са1 5 1 , Брембела, Шатца1 5 1 . Мы остановимся только на методе, предложенном Варгой1 1 1 .

Настоящий параграф в основном предназначается для читателей, желающих углубить свое представление о методах построения и исследования разностных схем повышенного по рядка точности. Поэтому при изложении материала привле чены дополнительные сведения из функционального анализа.

Основную роль в построении вариационно-разностных схем играют кусочно-полиномиальные функции. Продемонст рируем это на примере одномерного уравнения диффузии

Lu = -£p{x)%+r(x)g		+ q(x)u = f, O s £ x < l	(4.1)
при граничных условиях
	u (	0 ) = u ( l ) = 0 .	(4.2)

Будем предполагать, что на отрезке [0,1] функция р(х) положительна, q(x) —неотрицательна и решение задачи (4.1), (4.2) существует и единственно. Гладкость коэффициентов правой части и решения задачи (4.1), (4.2) предположим та кой, какая нам будет нужна в каждом конкретном случае.

Пусть на отрезке вещественной оси [а, Ь] задана равно

мерная сетка с шагом h и узлами a=x0<^xl

— a+h<c

. . . <С

<CxN = a+Nh<:xN+l

= b,

где h—jfj^

и Л7 —целое

положи

тельное число. Через Н%(а, Ь) обозначим множество

функций

со(х), которые на каждом из отрезков

[xh,

xh+}]cz[a,

яв

ляются полиномами х степени 2т+\

и для любых O ^ i ^ / n

0^.kz~ZN+\

выполняются

равенства

со<{) (xk)

dkii,

где dh,i — заданные

числа, а со<{| (х)

обозначает

i-e

производ

ные (д(х)

( С О ( 0 )

(х)=(£>(х)).

Предположим

также,

что

©(a) = © ( & ) = 0 ,

т.

е.

d0,o—

= dN+i,o=0.

Отсюда следует,

что

функции

а(х)<=Н%(а,

Ь)

являются

кусочно-полиномиальными,

принадлежащими

Ст(а,

Ь), т. е. т раз непрерывно дифференцируемыми

функциями

на отрезке [а, Ь],

а размерность пространства

НЦ(а, Ь) рав

на m(N+2)+N.

Варга"1

установил,

что

базисом

пространст

ва Н™ {а, Ь) будет система m(N-1r2)-JrN

функций

{соь.г}, опре

деляемых

условиями

(k=\,...,N;

/ = 0 , 1,..., ЛЧ-1;

i = l

т),

<!,(*<) =

б * . / .

со'*)

(*,)

= 0

(4.4)

(Л = 0,

1, . . . .

Л/+1;

/ =

1, . . . .

ЛЧ-1;

i = 0 ,

1, • • •, I — 1, 1+1,...,

ш; 1=1,2,...,

ш),

где 8hj — символ

Кронекера.

Нетрудно видеть, что общее количество функций, опреде

ляемых условиями

(4.3),

равно

Л/,

условиями

(4.4)

—

m(N+2).

Кроме того, так как любая

функция ш(х)єЯЛ(а, b)

определяется

величинами

{dk,o}^=1^

dk,i

{k=0,

1, . . . ,

ЛЧ-1;

/ = 1 , . . . ,

in),

должно иметь место

разложение

со (х) =

N+l

с о

(4.5)

2 dht0ah<0(x)

dkti

(х).

k=\

ft=o

г=і

Остановимся подробнее на вопросе, что представляют со бой функции {coji,i}. Ограничимся случаем т = 1 . Тогда раз мерность пространства #i/(a, Ь) равна 2Л/+2 и функции его базиса определяются из условий

с о м (*/) = &ы, < 0	( х , ) =	0 (Л =	1	ЛГ; / =	0,1,..., N + 1), (4 . 6)
<вл,1 (*/) =	0, Ц »	(х,-) =	6 W	(й,/ = 0 , 1	JV + 1). (4.7)

Из	О п р е д е л е н и я ф у Н К Ц И Й (0/t ,f в и д н о , ч т о о н и о т л и ч н ы о т
нуля только на и н т е р в а л а х (хк— ft,		xk-{-h). Тогда д л я нахож
дения	функции со/,,о(л-) н а и н т е р в а л е	(хк — Л, х,,-\-1г) п р и х о д и м

кд в у м з а д а ч а м .

Первая з а д а ч а

ф о р м у л и р у е т с я

н а

о т р е з к е

[,V;t — ft, хк]

состоит в в о с с т а н о в л е н и и п о л и н о м а

ш М

Ц ^ " ( х „ - х ) '

(4.8)

При

УСЛОВИИ,

ЧТО

(Ok,o(Xh—А)

(0kl}Q{Xh—ft)

= 0, СОЛ,о(Х/і) =

1» (Ofe.o (Xh)

= 0 -

Отсюда

получаем систему

четырех уравне

ний для определения четырех

неизвестных{С/'_ };= 0 :

с,0 --

(ft)'

= о,

1С°Г

(ft)'-i

(4.9)

/=і

C°i'~ =

С°о'~ =

о т к у д а

с л е д у е т

— і

г0'—

г°<~ —

^ 0

—

и 2

/г2>

С ? - = 0, С°'~

(4 -Ю)

Аналогично для отрезка

[х^, хк+[]

получаем

COftл (*)

( * * - * ) ' .

(4.11)

1=0

ГДЄ

С у ч е Т О М

УСЛОВИЙ

Wfc.O {Xh

ft)

COfe.o [Xh)

1, CO^'g (*/t

- f

ft)=0,

{С9-+}3 = 0

принимают вид

1^0

— 1>

° 2

—

/га>

о ,

+ =

о ,

= _

2 _

(4.12)

Окончательно

имеем

C/'~(Xfc

— *)',

ЄСЛИ XSUfc —ft.Jtft],

7 °

(4.13)

С°'+

(xk —х)1,

если

x^lxu

, Xfe + А],

/=о

для

остальных хез[а,

Ь].

Выведем формулу для функций (х) из (4.7). Проделывая аналогичные 0,5 выкладки, можно показать,

ЧТО ф у Н К Ц И Я		<0ft,i	(х)	для
любого	O ^ / J ^ J V + I опреде
ляется	формулой
	Уі	С)'	(хк—х)і,		если	х є	Ui, — /г, xh]			f] la. b],
	/=о
	2	C/'+	(xf t — x)i,		если	Л; Є	[xh, xh		-\- h] f\| la,		b],
	i=o
Здесь	О	в противном			случае.
Здесь								2
		С о ' - =		0,				2
		С о ' - =		0,			—	h '
							—	h '
		c l - = — 1,				c i - — —			1
								Л2 ,			(4.15)
								2			(4.15)
								2
			=	0,			=	— A '
			-	— 1,			=	—	1
								Л2'
График функции CO2,I(A:) для						случая		а = 0 ,		Ь = 2	н N—3
изображен на рис. 3.
Формулы для функций					{toft.o} оказываются					совсем	просты

ми, когда полагаем т—0. Тогда Н${а, Ь) будет состоять из кусочно-линейных функций {o)fc)ftLi, удовлетворяющих усло виям

			a*(xi) = 6kJ		(Л:,/ = 1,2			(4.16)
Заметим, что функции {(Ик(х)} рассмотрены							нами в	предыду
щем параграфе			(см. рис. 1).
	Опишем еще один способ построения пространства Fh. Для
этого, как и ранее, возьмем					отрезок [а, Ь] вещественной оси
и	построим	на	нем	сетку с	узлами	a = * o < C * i < ...		< Ж у <
<xN+\ = b,		где	xk—a+kh		(k=0,	I , . . . ,	Лґ+l)	и h=
=	(b—а)/(Л,+	1).		Через	МЦ(а, Ъ)	обозначим множество

функций g(x), удовлетворяющих	следующим требованиям: во-
первых, на каждом из отрезков	[xh, xh+l]	функция g(x) яв-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 367 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ