книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

Г а = ( £ - 2 - Л * ) ( £ +

- Т Л

« )

1 ( « = 1 - 2 ) .

(3.13)

Здесь использовано

свойство

~ А А

)

= (Е

_ L

л

которое следует

из очевидного

тождества

Е + - г Л а ) - 1 ( £ — Г Л а ) =

( £

+ " f

д

• ) (

(3.14)

В

самом

деле,

умножив

(3.14)

слева

на

^Е + ^-А^

'

X

X

(^Е

ir - ^aj

и использовав проверяемую

непосредственным

умножением

коммутативность

операторов

^Е

g~^a|

и

^ £ ' + - ^ - i 4 a j ,

приходим к доказываемому свойству.

Таким

образом,

задача

установления

устойчивости

све­

лась к оценке норм операторов

Та.

оценки

норм

операторов

Применяя

лемму

Келлога

для

Т\ и 7"2 в соотношении (3.13), приходим к выводу

и,

следовательно,

ІІЛК1

(3.15)

№ ' +

1

К И -

(зле)

Введем обозначение

< Е + ± - А . Щ

(3.17)

'Е

+ - 5 - 4 > ) Ф

(3.18)

где

С* = (Е

+Л-А*^Е

+ - J - i 4 e j ( a = 1, 2).

І Ф ' + І 1 с , < И с . .

(3.19)

Итак, мы приходим к выводу, что

если А^О

и Л 2 ^ 0 и

деле, разностное уравнение (3.4)

запишем в виде

Fi=A<pi,

(E+^-A^y+vz^-F,

(3.20)

ф І + 1 = ф З — т|'+ 1 .

Здесь £ j + 1 / 2 и £J+ I — некоторые

вспомогательные величины,

шие операторы Л[ и Л2 .

задачу

\

Рассмотрим теперь неоднородную

- Ц - + Лф =

/,

Ф

=

£ п р и г = 0,

(3.21)

где

A=Ai-\-A2,

Ai^zO,

Л 2

^ 0 .

В

этом

случае

схема

метода

стабилизации запишется следующим

образом:

(Д

+ - Г Аг){Е+-Т

Л а

) у Н " 1 ~ у /

+

V

= if,

Ф ° = г ,

(3.22)

где

/ J

= / ( W ) .

(3.23)

преобразуем уравнение (3.22) к виду

ifej+i = ТУ' + т {Е + - ї - Лх)"1

ft

(3.24)

г (3.25)

Из уравнения (3.24) следует, что

1№'+ 1 К11Л11М + т Е + ^ А Х ' Щ

(3.26)

тановлено,

что

то

имеем

+ 4£ + 4лГИ

(3'2?)

№ ' ' + 1 К М

Осуществим простое преобразование

й = КЕ + - f АЛ~1

(Е +

4 -

Л а )

/ ' <

£

+ 4 - А - I I

X

х

£

4 ^

(3.28)

С

учетом

соотношений

(3.18),

(3.25)

и

(3.28)

получим из

(3.27) неравенство

ІФ'+ 1 «са <[ІФІ1са + т

Пс-

(3.29)

Воспользуемся далее оценкой нормы

<

1

(3.30)

при Л а ^ 0 ,

установленной в

(1.25)

(см. главу 1). В результа­

те имеем

І І Ф ? + 1 ! к < М с 2 +

^іНЬ

(3.31)

где

І Ф І с Х № , +

/*№:,,

(3.32)

!1ЛЬ = тах П Ь '

(3.33)

Таким

образом,

если матрицы

Л і ^ О ,

А^О

и элементы

этих матриц не зависят от времени, то при достаточной

глад­

кости

решения ф задачи (3.1) и функции

f разностная

схема

(3.22)

абсолютно

устойчива и имеет решение

второго

поряд­

4.3.2. Метод предиктор-корректор

Рассмотрим

метод

расщепления,

называемый

методом

предиктор-корректор.

Смысл

этого

метода состоит

в том,

что весь интервал О ^ ^ ^ Г разбивается на частичные

интерва­

лы и в

пределах

каждого

из

элементарных

интервалов

tj^t^stj+i

решается

задача

(3.1) в два приема. Сначала по

схеме первого

порядка

точности,

но с довольно

значительным

пользуется найденное «грубое» решение при tj+l/2

с помощью

предиктора.

Итак, схема предиктор-корректор может быть записана в

форме

* ' + т - / + т + А^ш

= 0,

(3.34)

т ; ' + 1 W J

Прежде

всего из первых

двух уравнений

(3.34)

исключим

вспомогательную функцию ц>і+і/4.

Тогда систему

(3.34)

мож­

но привести к двум уравнениям:

+ - g - 4 )

(Е +

-4.) фЯ-х/2 =

ф /

(3.35)

« Р ^ ' - ^ + Л ф Ж Д ^ о .

т

Далее, исключив из этих уравнений Ф ^ + 1 / 2 , получим

=(3.36)

<£L

=J

L

+А(Е+^-А,)'

(Е

+ - f A)"V

=

О, Ф°

1

g.

Ф 3 + 1 Т ~ Ф У + А [Е + - 1 - А2)~1 (Е+^-

А,)'' «р/ = [і. (3.43>

Отсюда

+ т ( £ + ^ - Л 1 ) ~ ' / ; .

(3.44>:

Поскольку имеет место соотношение

Е - ( Е + - ± - А ^ тЛ

+

Л 2 ) _ 1 = ( £ +

Л ) " ' X

X [(£ + - | - Л 1 ) ( £ + - f Л 2 ) - т Л ] ( £ + - f А , ) " 1 =

= [Е + - Т [ ( *

- ¥ А г ) { Е - і - А 2 ) ] ( Е + - f Л , ) " 1 ,

M c - i < | g » c - i

+ 4 I / L - I ,

(3.45)

где I]/)] _ i

= max||/J'|| _ i т. е. при

снова

имеем устойчи-

c i

j

c

i •

вость разностной

схемы.

Таким

образом, если матрицы Л і ^ О , Лг^ О и элементы

этих

матриц не зависят от времени, то при достаточной

глад­

кости

решения

и правой части f

задачи (3.1) разностная

схе­

ма

(3.42)

абсолютно устойчива

и позволяет

получить реше­

ние

второго порядка точности по т.

времени, совпадают

независимо от

того, являются

операторы

Аа коммутативными

или нет. Таким

образом, этот

прием сни­

(3.54)

Отсюда непосредственно следует

ї й .

(3.55)

Следовательно, если матрицы A\(t)^Q

и A2(t)^0,

то

при

достаточной гладкости решения ф задачи

(3.1) — (3.3) и

эле­

ментов

матриц A\(t) и A2(t)

система разностных

уравнений

(3.51),

(3.52) абсолютно устойчива, и схема

(3.53)

аппрокси­

мирует

исходное уравнение

(3.1) со вторым

порядком

точ­

(Е + \ лі) Ф ' + 1 Й

= (Е ~ \ Л7 )(Ф-''

+ т/0,

(3.56)

( £ + ^ Л ; ) Ф ' + 1

= ( £ - Г Л ] )

Ф ™ .

где

ф Ж

=

7Чф *-1 + 2%ТІ ТІ [і,

(3.57)

Ті

= Т{ Ті ТІ Т\

(3-58)

Т'а = ( £

+

J ЛІ ) " ' ( £ - J -

ЛІ )•

(3.59)

С помощью разложения по степеням малого параметра т

выражение (3.57) приведем к равенству

Ф»'+і

Е — 2тЛ'

+

І ^ - ( Л ' ) 8 ф 5 - і

+ 2 т ( £ — т Л ' ) / '

+

+

0 (т3 ),

(3,-60)

которое преобразуем

к виду

Ф ? + 1 Т т ^ " 1

+ Л ; ( £

~

т Л ; )

ф У _ І = ( £ -

х Л / ) ї1 + 0 ( Х 2 ) -

( З - 6 1 )

ние решеНИЯ В Р Я Д

Т е Й Л О р а

В

ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ tj-\.

С точ­

ностью до

Xі будем

иметь

ф ;

=

ф,-і

+

+

0(т2 ).

(3.62)

Производную

исключим

с помощью

соотношения

= -

ЛV - 1

+Р+0

(т).

(3.63)

Подставим

(3.63)

в

(3.62). Тогда

Отсюда

ф ' =

(£—тЛО ф^ - '+т^+О (т 2 ) .

( £ - т Л і ) ф ї - 1

=

Ф і - т р + 0 ( т 2 ) .

(3.64)

ф Ж

" ф ?

- 1

+ A V

— Р +0

(т2 ).

(3.65)

Очевидно, что уравнение (3.65) аппроксимирует исходное

уравнение (3.1) на интервале ^

- I ^ ^ / J

+

I со вторым

поряд­

ком по т. Таким образом, нами найдена разностная

аппрок­

симация неоднородного

эволюционного

уравнения

второго

порядка с помощью двуциклического метода.

Устойчивость

метода

доказывается

в

энергетической нор­

ме элементарно. В самом деле, оценим

(3.57) по норме

1 Ф ' + 1 1 1 <

\

П W~4

+ ЫП]

!|ПИ I H -

(3.66)

12*

179