Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

(2.16) аппроксимирует исходную эволюционную		задачу и
разностная задача имеет вид
/лтфйх = gAx н а d D h	х D x _	^ - Z J >
Тогда критерий устойчивости введем в следующем		виде:
І ! Ф ' 1 1 Ф Л Т < С 1 Р " Щ І Т	+ С 2 \| ! Є " І С л т ,	(З.зо)

где Сі и Со — константы, равномерно ограниченные на ин тервале 0 < ^ < Т и не зависящие от h, т, f, g.

Такой весьма общин подход к анализу устойчивости был предложен в работе В. С. Рябенького, А. Ф. Филиппова1 6 1 .

Пусть исходная задача математической физики аппрок симируется с помощью разностного уравнения так, что гра ничные условия уже учтены при его построении. Тогда кри терии устойчивости удобно ввести в следующей форме:

І І Ф Л 1 ! Ф Л Х < Ф / , Т Ц І Т ,

( 3 . 3 1 )

где С ограничена на интервале 0 ^ / ^ Г .

1.4. ТЕОРИЯ СХОДИМОСТИ

Обсудим одну из важнейших теорем вычислительной ма тематики, окончательная формулировка которой, по-видимо му, принадлежит В. С. Рябенькому и А. Ф. Филиппову1 6 1 . При изложении этой теоремы будем следовать С. К. Годуно ву, В. С. Рябенькому1 3 1 . Теорема состоит в утверждении, что из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует сходимость решения приближенной задачи к решению точ ной.

Рассмотрим эволюционную задачу

		* Е + Л ф = / в О х а					( 4 . 1 )
		dt
при граничных условиях				на			( 4 . 2 )
			acp=g	на	dDxD,		( 4 . 2 )
и начальных данных
			Ф = Ф °	при	l=Q.		( 4 . 3 )
Здесь	D — область		эвклидова		пространства, а Dt — интервал
времени		[ 0 ^ / ^ 7 ] .
Задачу		( 4 . 1 ) — (4 . 3) запишем в виде
			1 ф	= /	в	DXDt,
	lq>=g на 6DXD,,			ф =	ф°	при ^ = 0 в D,	( 4 . 4 )
где L	= -jjf -\- А-		и I — линейные			операторы.


В пространстве	{D-\-dD)y^Dt			введем сетку			(Dh-\-dD,,)Х£>т-
Далее спроектируем		решение	задачи ( 4 . 4 ) на				сеточное	про
странство £>/іХ^т	и рассмотрим				приближенную		задачу,	ап
проксимирующую	( 4 . 4 ) в виде
	L " V ' T = / " T		в		DhXDt,
	/лтфЛт = ghi н		а	QDh xDx.
Предположим теперь, что имеет				место аппроксимация в форме
К1ф)йт -		^"тФлт\|\| F/ 1 T		<	Л^А* +	Nit",
І(/Ф)дт -		/ЛТФАТІІ ch t		<	AfаЛ* +	,

Отметим, что нижний индекс /гт указывает на проектиро вание функции в сеточное пространство. В неравенствах ( 4 . 6 ) величины )ИЙ и Nt являются константами для любого огра ниченного интервала О ^ ^ Г . Предположим далее, что име ется счетная устойчивость разностной задачи

	hh4o,„<C4nFhx				+ cig^\Gllx,			( 4 . 7 )
где С\ и С2	на	интервале О ^ ^ Г					не зависят	от h, т, fhx, фх.
Тогда при	условии		аппроксимации (4 . 6), устойчивости ( 4 . 7 )
и линейности		L , I,	L h x и 1'п	имеет			место сходимость, т. е.
		ІФАХ - Ф''1Ф			< Mh	k	+ NTP .	( 4 . 8 )
			ЛТ

Доказательство этой теоремы проведем следующим образом. Рассмотрим тождества


РТ Ф, \| Т	- ^Ф Л Т \|Ц1 Т = ILL"V Х				-	(Ьф)Лх + (Ьц>)нх -				Ь^ц>Ц F k x ,
которые с учетом ( 4 . 4 ) и			( 4 . 5 ) запишем в виде
\|\|^ф»х„ £Атф й т \| \| ^		=	,\|р _			Д т	+	( 1 ф ) л г _	№фЛ т \|\|^т ,
\|/ЛтфЛт _ /АтфЛт\|\|		=	(gAT _			£ „ т	+	(/ф)„т -	^ф„т\|\| .		(4.9)
С учетом известных неравенств для норм имеем											( 4 . 1 0 )
flfAx^x _	/ й т Ф Л Г Д С Й Т ^ \|\|gAT		_ ^ ] Т \| C			f c T +		[ \| ( / ф ) л г _	/ А т ф Л т (	С л т .
Используя условия аппроксимации ( 4 . 6 ) , получим
JL»" (ч* - Ф„Х)!ГЙ, <			(М,	+		М3) ft* + (tfг			+ ЛГ8) т",		{ )
\|fЛт (фЛх _ ф л т ) \|		<	{М2	+	Щ h k + ( Д Г г +				ДГ J ХР .

Рассмотрим

теперь равенства

где

£ЛтеЛт =

0ЛТ)

/Лт8Лх _ Т]лт1

(4.12)

в '« = флх _ ф Л Т 1

0ht = L'» (ф^ - фЛ т ).

(4.13)

Поскольку

по

условию

теоремы разностная

схема

(4.12)

устойчива,то имеем

l K ' T k T < C 1 | e " 1 F / l t + C a | h l " 1 G , R T .

(4.14)

а с учетом

(4.13) и (4.11)

будем иметь

№

— Р/.Т||Ф, < ( А (/И

) + С» (Л1, +

МА)\/і"

ГС! (Л\ +

N3 ) +

Ся (М, + JV4)J т".

Или, окончательно,

|Ф"

- Ф/,Т||Ф < Mh

+ yVrf.

(4.15)

ЛТ

Таким образом, теорема сходимости доказана.

В предположении теоремы было включено весьма жесткое

условие, что С\ и С 2	не зависят от /г и т. Особенно неприят
ным является требование независимости этих констант				от h.
Между тем при li-у0	в некоторых		случаях константы	Сі и
Со могут стремиться к бесконечности.			Пусть
rh	г	і. rh —	г
	— -і-
где m ^ O . Если учесть этот		факт, то сходимость приближен

ного решения к точному будет оцениваться следующим ебразом:

	ІІФАТ — ФЛТЦФ/» <		+ N%i>h-"K
Если k>m	и %Ph~M-+-0 при х-*-6,		А-»-0, то сходимость име
ется. Естественно, что теорема		сходимости может быть		сфор
мулирована	и в тех случаях, когда		С\ и Сг зависят как от h,
так и от т	(СтрэнК6 -7 ^.	сходимости в случае		стаци
Переходим к рассмотрению

онарных задач математической физики. Пусть имеется за дача

Aw =	f	в D,
А Ф = £	1	1 3 ди,

которая аппроксимируется	следующей разностной схемой:
A^=f»	в D,,,
а»ф" = gh	на dDh.

Предположим, что имеет место аппроксимация !(Лф),( -Л"срЛ ||^<Лу1«,

\|!(аФ)„	-а>'щ\\Сн<МгІі\		(4.18)
			(4.18)
\\gk-g"\\Gh<M<h".
Кроме того, имеется априорная оценка		решения задачи (4.17)
			(4.19)
где Сі и С2 — константы,	не зависящие	от h. Тогда аналогич
но предыдущему мы приходим к сходимости
			(4.20)

Таким образом, при исследовании разностных стационар ных задач математической физики роль условия устойчиво сти играет близкое к нему условие корректности на основе априорных оценок. В этом состоит глубокая внутренняя связь разностных уравнений для стационарных и эволюционных задач. После установления аппроксимации и априорных оце нок (устойчивости в случае эволюционных уравнений) эти задачи становятся принципиально эквивалентными по своим постановкам и исследуются одними и теми же методами.

Г Л А В А 2

М Е Т О Д Ы П О С Т Р О Е Н И Я Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М Д Л Я Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

Известны различные подходы к конструированию разно стных уравнении для задач математической физики. Особенно полно этот вопрос изучен для уравнений с коэффициентами, обладающими вместе с решением достаточной гладкостью. В этом случае можно строить разностные схемы с высокой степеньто аппроксимации. Интерес к таким схемам непре рывно возрастает, поскольку темп формирования новых по становок сложных и трудоемких задач науки и техники опе режает темп развития средств вычислительной техники. Поэтому представляется целесообразным в ряде случаев при

ближенное	решение задачи с заданной точностью	получать
не за счет	формального увеличения размерности	подпрост

ранств (например, уменьшения шага сетки), а путем построе ния более точных аппроксимаций исходной задачи на основе априорной информации о гладкости решения*'. Такая точка зрения в ряде случаев оказалась весьма плодотворной и при вела исследователей к удобным и довольно универсальным методам построения разностных уравнений на основе вариа ционных методов Ритца, Галёркина и метода наименьших квадратов. Однако следует подчеркнуть, что класс задач с гладкими решениями достаточно узок и поэтому основное внимание должно быть уделено методам построения разност ных уравнений для задач с разрывными коэффициентами. Такие задачи, например, возникают при изучении диффузии субстанции, теплопроводности, гидродинамики и т. д.

В силу отмеченного обстоятельства мы пожертвуем воз можностью описания ряда оригинальных и весьма общих результатов по построению разностных уравнений высокого порядка точности ради идеи создания общего представления о путях конструирования разностных аналогов уравнений, решения которых могут не обладать высокой гладкостью. Естественно, что все подходы, которые мы будем рассматри вать, автоматически применимы для численного решения за дач с гладкими данными и решениями.

*) См. также 6.5.

Для того, чтобы дать необходимое представление о путях развития научных идей в области построения разностных уравнений, мы подробно рассмотрим сначала краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и затем изложим более или менее общие подходы к решению дву мерных и многомерных задач математической физики. Мы надеемся, что ссылки на оригинальную литературу помогут читателям более глубоко и всесторонне познакомиться с воп росами теории и алгоритмами.

2.1. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Д Л Я ЗАДАЧ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ТОЖДЕСТВА

В настоящее время известно большое число различных методов решения краевых задач для обыкновенных диффе ренциальных уравнений. Мы остановимся на некоторых из них, получивших довольно широкое распространение в лите ратуре. Поскольку задачей данной монографии является оз накомление читателя с некоторыми принципиальными вопро сами вычислительной математики, то мы будем рассматри вать весьма простые постановки задач, на которых исследуемые методы иллюстрируются наиболее удобно.

Заметим, что методы построения разностных аналогов краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравне ний с гладкими коэффициентами изучены достаточно полно. Мы остановимся на методах построения разностных схем для уравнений с разрывными коэффициентами. Задачи такого типа возникают во многих важных приложениях. Первые схемы были рассмотрены и изучены А. Н. Тихоновым и

А.А. Самарским1 4 1 .

Внастоящем параграфе будет рассмотрен метод построе ния конечно-разностных уравнений диффузии на основе не

которого	интегрального тождества, полученного			авто
ром1 1 7 1 .
Рассмотрим уравнение диффузии для одномерных обла
стей. Оно имеет вид
где' р=р(х)	~^ро>0	— коэффициент	диффузии, q=q(x)^Q	—
сечение поглощения		частиц и f=f{x)	—источники диффунди

рующей субстанции. Будем считать р, q и f кусочно-непре рывными функциями с возможными точками разрыва первого рода.

Уравнение (1.1) проинтегрируем по х в пределах (A'„-I/2, *л+і/2). В результате получим соотношение баланса

Требуется найти решение уравнения (1.1), обладающее дифференцируемым «потоком»

	r dx
и удовлетворяющее	граничным условиям
Ф ( 0 ) = 0 , Ф(Л-„)=0, (дг„=1).		(1.2)
На интервале изменения переменной х нанесем две систе
мы узловых точек:	о с н о в н у ю — { x h } и вспомогательную —

{Л'Л+1/2}- Точки этих двух систем взаимно чередуются, т. е. Xh<.Xh+4,<iXk+i. В дальнейшем предполагается, что xh+[^ =

— Л + 1 2	+	Л _ і д +	f	( <	7 Ф =	0,	(1.3)
где			* f t - 1 2
где		•Vі i ' 2 ; — ^ (-v/t±		і/о).
		•Vі i ' 2 ; — ^ (-v/t±		і/о).
Для нахождения		Д ± і / 2	поступим		следующим		образом.
Уравнение (1.1) проинтегрируем в пределах						(л^-і/г, * ) • Тогда
получим
Р $	=	Л - Г 2 +	/ ( < 7 Ф - / ) < £ '				(1.4)

Выражение (1.4) поделим на р и проинтегрируем в пределах (*ь_ь x h ) . В результате будем иметь

ФЛ — Ф Й _ І = Л-1/0

"к

(q<V — f)dl

(1.5)

7 +

[

Разрешая

уравнение

(1.5)

относительно

J k - \ / s , приходим

к следующему

соотношению:

щ — ФЙ_1

— f j

(cw — f)dZ,

• (1 . 6)

* f t _ l

xh—\2

Аналогичное

выражение

для /, 1 + і /2

получаем, заменив в

(1.6)

индекс k

на

Таким

образом,

нам удалось

потоки

Jh&i/2

выразить

через известные

функции

решение

задачи.

Соотношение

(1.6) точное. Подставив

(1.6)

и соответствую-

щее значение для Jk+\/2 в равенство (1.3), приходим к урав нению следующего вида:

rr>	_	го	_	гп	г '<+1/2
5*-и		. 3 + l	* _	J b L +	j {l№-f)dx	=

' А _ І / 2

(•

)

*h—l

—

xh+i/2

Я —

(1-7)

dx-

Xh-\I2

—

A h - 1

J '

Уравнение

(1.7)

xh—\

о с н о в н ы м

т о ж д е с т в о

м для

по

будет

лучения конечно-разностных уравнений.

Введем в рассмотрение оператор А, который на классе

решений

уравнения

(1.1) определяется

соотношениями*'

-тгЛ

гк

w d x ~

Xh~U*

' J

v f t - l

/О

и вектор f с компонентами

* f c - w

I f * L **

4 + 1 1 2

/»

J„

JTb

1 In

r f t - l / 2

где

* f t - l

A*ft =

J C h + i / 2

— Xh-V2

= h

...,

n — 1).

*) He

следует

смешивать

(f)f c

из

(1.8)

с f{xk

) •

В дальнейшем ради простоты будем считать, что решения уравнения (1.1) выбираются из класса Ф, каждая из функций которого имеет определенную гладкость и удовлетворяет граничным условиям <р=0.

Тогда,

объединяя

(1.7)

для k—\,...,

п.— 1,

получим сис

тему

Л Ф = т .

(1.9)

Рассмотрим далее различные аппроксимации уравнения

(1.9). С этой целью введем эвклидову

норму

чі&хь

(1.10)

k=i

где Fh — пространство

сеточных

функций

вида

ф л =

(ф{',...

. . . , Ф п _ і ) ,

заданных

в точках

Х\, х2,...,

хп-\.

качестве

приближенной задачи рассмотрим

следующую:

где

Л у

г",

(1.11)

W ) *

-Ьг

(

t dX

Ф > Т" " - I ' 2

( І - І 2 )

Wi —1

для k

= l ,

. . . ,

п—1

и, кроме

того,

ф о = ф п = 0 . В

соответствии

с определением аппроксимации, используя неравенство тре

угольника, будем	иметь*'
		<Г.),-і\				=	\Є\,		(1.13)
где	[	/ '' +	1/2				*ft+l/2	>
	[	/ '' +	1/2				*ft+l/2	>
( І " ) " = Д К		I		qydx — щ 1				qdx
	k	\xh—m					1/2
						*fc+l
		bxh	^ + 1		^x	,	- , h + I /	2
			[		^x	X	h
			J		P
			xk					xk+
								xk+	1/2
r — f	T	J	w < 4				<'>=тег 1		^

* f c - l

*) Здесь и далее для любой непрерывной на [0,1] функции и обозначение(и)д принято для вектора размерности п— 1 из Fbc компонентами u(xj.


Оценим		величины \|\|i'V/,>		W%i	и І®ЛІЬі. ^ э		т о н		Ц е л ь ю	пред
положим	выполнение условий q, / e E Q ( 2 ) ( 0 , l )						и	p e Q ( 3 )		( 0 , 1),
где Q( s )	(0,	1)—пространство			кусочно-непрерывных					вместе
с производными до			s-ro	порядка		функций		с	возможны
ми разрывами первого			рода	в точках		0-<Уі<У2<			• • • < t / m < l -

В дальнейшем мы везде будем предполагать, что множество точек {{/[}"Li принадлежит множеству узлов сетки {xh}1z\ Это требование будет необходимо нам при анализе погреш ностей аппроксимации.

	Из сделанных предположений следует, что решение ф за
дачи		(1.1) будет	непрерывной функцией,			причем на		каждом
из	отрезков \yL, Уі+\\7=\ решение				будет	непрерывно		вместе
с производными			до четвертого	порядка		включительно,			т. е.
Ф є	Q(4> (0,1). Исследуем теперь			поведение компонентов					век
торов		t\h и Qh	в предположении		А < 1 ,	где	ft=max		\xk+i~
							0<ft<n—1

—xh\. Используя обычное разложение в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки, нетрудно показать, что модули ком понентов каждого из этих векторов мажорируются сверху соответствующими компонентами вектора со'1, где

(Nh, если хк	является одной из точек уі {1=\, . •., т ) ,
[М(\&х11+і/2	— AXh _ i / 2 \|+ft 2 ) в остальных случаях;

М, N — некоторые положительные константы. Здесь введено обозначение Дх, і + І / 2 =х; ! + і — Xji . В самом деле, предположим, что в области определения решения имеется точка разрыва коэффициентов. Обозначим ее х=хг. Тогда на основании (1.10) запишем

И * л = 2	(<в*)2Дхь +	(ю*)?Дх,.
Предположим далее,	что Л—max {Axh, 2 ( 1 — * „ - i / 2 ) , 2 * i / 2 } .
Учтем соотношение	n—l
	n—l
1 - f c < 2 Axf t		< 1 .
	/t=i

4 Г, И. Марчук

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 365 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ