Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук Г.И. Методы вычислительной математики

.pdf

Скачиваний:

141

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.2 Mб

Скачать

☆

1 / 361 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

АКАДЕМИЯ НАУК СССР • СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Й Ц Е Н Т Р

Г. И . М А Р Ч У К

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» • СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ НОВОСИБИРСК • 1973

УДК 518.61

Книга посвящена описанию современных методов решение больших задач, возникающих при рассмотрении многочислен ных практических проблем, с помощью высокопроизводитель ных ЭВМ. В ней отражены общие вопросы вычислительной ма тематики: аппроксимация уравнений, устойчивость разностны:


схем,	сходимость приближенного решения			и др. Рассмотрень
новые	средства вычислительной математики,				такие как вариа
ционные методы построения разностных схем,					методы расщё
пления и их применение к решению эволюционных						задач, ме
тоды интерполяции функций с			помощью	сплайнов,			быстро'
преобразование Фурье		и многие	другие. Хотя в книге				не рас
сматриваїотся		газовой	вычислительной и прикладно^
математике задачи			динамики,	теории		упругості

и т. д., основные приемы решения таких задач укладываютс: в изложенные вычислительные схемы.

Книга предназначена для студентов, аспирантов и специа листов по вычислительной и прикладной математике.

Гурий Иванович Марчук

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Редактор			Н. П.	Г о р б а ч е в а
Художественный редактор					В. И.		Ш у м а к о в
Обложка	художника			Е.	Ф.	Н о в и к о в а
Технический	редактор Е. М.					Е л и с т р а т о в а
Корректоры	Н.	Н.	Т я с т о,			Е.	Ф.	Б у р о в а
Сдано в набор 6 октября 1972	г.	Подписано			к	печати		4 апреля 1973	г. МН 00528.
бумага тип. Nt 2, формат 60 X 90Vu.		22	печ. л.,		22 уч.-изд. л. Заказ W« 907.				Тираж 8900.
		Цена 2		р. 44 к.

Издательство «Наука>. Сибирское отделение. Новосибирск, 99. Советская, 18. 4-я типография изд-ва «Наука». Новосибирск, 77, ул. Станиславского. 25,

0224-1429 '042(02) -73•382-78

О Г Л А В Л Е Н ИЕ

Предисловие						;	; -	5 3		г	7
Г л а в а	I . Общие сведения из			теории		разностных		схем . .			8
1.1. Основные и сопряженные уравнения											8
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц											12
1.1.2. Вычисление			границ	спектра		положительной			мат
	рицы										14
1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа											17
1.1.4. Собственные			числа	и	векторы		конечно-разностно
	го	аналога	оператора		Лапласа						19
1.2. Аппроксимация							' . . . .			і	23
1.3. Счетная		устойчивость						!	!	!	31
1.4. Теория		сходимости					:	;	і	ч	40
Г л а в а	2. Методы построения			разностных схем для диффе
	ренциальных		уравнений								44

2.1.Метод построения разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального

тождества					s	i	45
2.2. Вариационные методы в			математической физике . .				53
2.2.1. Метод	Ритца						54
2.2.2. Метод	Галёркина						56
2.2.3. Метод	наименьших		квадратов				57
2.3. Разностные	схемы для уравнений с разрывными коэф
фициентами, основанные на вариационных принципах							59
2.3.1. Построение		простейших		разностных	уравнений
диффузии с помощью метода Ритца . . . .							60
2.3.2. Построение		простейших		разностных	схем на	ос
нове	метода	Галёркина		(конечных	элементов)		63

2.4. Общин

подход к

построению

вариационно-разностных

схем для одномерных уравнении и конструирование под

пространств

2.6. Вариационно-разностные схемы для двумерного урав

нения

эллиптического

типа

2.5.1. Метод

Ритца

2.5.2. Метод

Галёркнна

2.6. Вариационные методы для многомерных задач

. .

2.6.1. Способы

построения

подпространств

. . . .

2.6.2. Покоординатные

методы

построения

вариацион

но-разностных

схем

2.7. Ынтерполяцня

решений

разностных

уравнений

по

мощью

сплайнов

2.7.1. Интерполяция функций одного переменного

. .

2.7.2. Кусочно-кубическая

интерполяция

со

сглажива

нием

2.7.3. Интерполяция

функции

двух

переменных . . .

Г л а в а

3. Методы

решения стационарных

задач

математи

ческой

физики

IQ2

3.1. Некоторые итерационные

методы

и их

оптимизация

103

3.1.1. Простейший

итерационный

метод

105

3.1.2. Метод

смещений

107

3.1.3. Метод

чебышевского

ускорения

108

3.1.4. Метод

верхней

релаксации

113

3.1.5. Сопоставление

асимптотической

скорости

сходи

мости различных

итерационных методов

. . .

120

3.2. Градиентные

итерационные

методы

120

3.2.1. Метод

минимальных

невязок

121

3.2.2. Двухшаговый

метод

минимальных

невязок

123

3.2.3. Метод

сопряженных

градиентов

. . . . .

126

3.3. Метод

расщепления .

. .

; .

132

3.4. Метод расщепления с вариационной

оптимизацией

'43

3.5. Решение уравнений с вырожденными операторами ите

рационными

методами

;

146

3.6. Итерационные методы при неточных

входных

данных

151

3.7. Быстрое преобразование

Фурье

153

3.8. Факторизация

разностных уравнений

160

Г л а в а

4. Методы

решения

нестационарных

задач . . .

163

4.1. Разностные

схемы

второго

порядка

аппроксимации

с операторами, зависящими от времени

163

4.2. Неоднородные уравнения

эволюционного

типа . . .

166

4.3. Методы расщепления нестационарных задач				.	. .	167
4.3.1. Метод	стабилизации					168
4.3.2. Метод	предиктор-корректор					173
4.3.3. Метод	покомпонентного	расщепления .		.	. .	176
4.3.4. Некоторые общие замечания						180
4.4. Многокомпонентное расщепление задач			.	.	. .	181
4.4.1. Метод	стабилизации					182
4.4.2. Метод	предиктор-корректор					183
4.4.3. Метод	покомпонентного	расщепления		на	основе

элементарных

схем

185

4.4.4. Расщепление квазилинейных

задач

. . . .

191

4.5. Общин подход к покомпонентному

расщеплению . .

192

4.6. Методы

решения

уравнений

гиперболического

типа

197

4.6.1. Метод

стабилизации

197

4.6.2. Сведение

уравнения

колебаний

эволюционной

задаче

201

Г л а в а

Постановка

численные

методы

решения

некото

рых

обратных

задач

207

5.1. Основные определения и примеры

208

5.2. Решение обратных эволюционных задач

методом

ря

дов

Фурье

213

5.3. Обратная

эволюционная

задача с

оператором,

завися

щим

от

времени

218

5.4. Постановка обратных задач на основе методов теории

возмущений

224

5.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений

225

5.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности

. .

226

5.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов

230

6.4.4. Численные

методы

решения

обратных

задач и

планирование

эксперимента

232

Г л а в а

6. 'Простейшие

задачи

математической

физики . .

238

6.1. Уравнение

Пуассона

238

6.1.1. Задача

Дирихле

для

одномерного

уравнения

Пуассона

238

6.1.2. Одномерная

задача

Неймана

240

6.1.3. Двумерное

уравнение Пуассона

242

6.1.4. Проблема

граничных

условий

249

6.2. Уравнение

теплопроводности

252

6.2.1. Одномерная

задача

теплопроводности

. . .

252

6.2.2. Двумерная

задача теплопроводности

. . . .

257

6.3. Уравнение

колебаний

. . . . . . . .

258

6.4. Уравнение		«движения»								261
6.4.1. Простейшие				уравнения движения						262
6.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными
	коэффициентами									269
6.4.3. Многомерное				уравнение движения						275
6.5. О повышении порядка аппроксимации								разностных	схем	280
Г л а в а	7. Численные			методы		в теории	переноса излучения			289
7.1. Постановка		задачи								290
7.2. Уравнение		переноса для				различных	геометрии		. .	293
7.3. Численное		решение уравнения переноса в плоскопа-
	раллелышй	геометрии							.	295
7.4. Стационарная			задача		переноса					304
7.5. Неизотропное			рассеяние			частиц				308
Г л а в а	8. Обзор	методов			вычислительной			математики . .		311
Литература										330
Алфавитный указатель .						.				350

П Р Е Д И С Л О В И Е

Предлагаемая книга является результатом обработки курса лекций по вычислительной математике, который в течение ряда лет читался автором для студентов математического факультета Новосибирского государствен ного университета. Автор, занимаясь вопросами прикладной и вычислитель ной математики, стремился акцентировать внимание на сложных задачах математической физики, которые в процессе решения, как правило, реду цируются к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию алгоритмов на современных вычислительных ма шинах.

Именно с такими сложными задачами зачастую сталкивается молодой иссследователь в своей практической работе после окончания высшего учеб ного заведения. Поэтому'данная книга прежде всего рассчитана на исследо вателей, которые впервые встречаются с необходимостью решения больших задач математической физики и хотят получить рекомендации о рациональ ных подходах к решению. При написании книги автор стремился также учесть потребности научных работников и инженеров, уже имеющих солид ный опыт решения практических задач, в систематизации знаний в области вычислительной математики и теоретическом их обобщении.

Автором избрана такая форма изложения, которая, по его мнению, спо собствует привлечению внимания к проблемам вычислительной математики более или менее широкого круга исследователей. Эта форма потребовала известных уступок в изложении, позволив сосредоточить внимание лишь на основных идеях и подходах к решению задач. Что касается деталей, иног да существенных, и возможных обобщений, например таких, как мини мальные требования к гладкости функций, ограничения на входные дан ные задач и т. п., то для специалистов они в большинстве случаев оче видны, а для начинающего исследователя предоставляют хорошие возмож ности для полезных упражнений.

Глава 8 основана на материалах доклада автора на Международном математическом конгрессе в Ницце (1970 г.). Эта глава дает некоторое пред ставление не только о методах и проблемах вычислительной математики, рассмотренных в курсе, а и о тех направлениях, которые не вошли в книгу, но имеют существенное значение как в теоретическом плане, так и для при ложений.

В процессе подготовки к печати книга претерпела значительные измене ния в связи с замечаниями и советами автору коллег и сотрудников. Преж де всего хотелось бы отметить помощь, оказанную М . , М . Лаврентьевым, В. И. Лебедевым, И. Мареком, М. К. Фаге и Н. Н. Яненко, сделавшими ряд конструктивных замечаний по изложению отдельных глав, особенно первой и пятой. Вторая глава была настолько существенно изменена Ю . А. Кузнецовым, что его вклад в этой части носит характер соавторства.

Автором учтен	также	ряд ценных советов и замечаний	В.	Г.	Васильева,
В. П. Ильина,	А. Н.	Коновалова, В. П. Кочергина,	В.	В.	Пененко,

В. В. Смелова, У. М. Султаигазина и других. Большую работу по редакти рованию рукописи проделал Г. С. Ривин. Всем этим товарищам, а также М . С. Юдину, принявшему участие в подготовке книги к печати, автор вы ражает свою глубокую благодарность.

Г Л А В А 1

О Б Щ И Е С В Е Д Е Н И Я И З Т Е О Р И И Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М

В настоящей главе приводятся краткие сведения по фун даментальным вопросам теории разностных схем, которые су щественно использованы в последующих главах книги. По скольку нашей основной задачей является знакомство с неко торыми современными принципами построения вычислитель ных алгоритмов для решения задач математической физики, то при рассмотрении вопросов теории мы ограничимся только наиболее простыми случаями.

1.1.ОСНОВНЫЕ И С О П Р Я Ж Е Н Н Ы Е УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим в n-мерном эвклидовом пространстве Еп некоторую область D. Сразу же отметим, что в прикладной математике обычно не встречаются области столь сложного строения, чтобы они не имели меры: площади в двумерном случае, объема — в трехмерном и т. д. Однако теория дебето вого мероопределения является основой и для последующих определений, поэтому предполагается знакомство читателя с теорией меры и теорией интеграла Лебега (В. И. Смирнов1 2 1 , С. Л. Соболев1 1 1 , В. С. Владимиров1 2 1 , И. П. Натансон"1 и другие) *>.

Определим гильбертово пространство L2{D) всех веще ственных измеримых функций с суммируемым квадратом, т. е.

	f	f*(x)dx<co,
со скалярным	произведением
	(},g)= \ f(x)g(x)dx.		(1.1)
	D
Как обычно, норму функций f		из L2(D) определим	равенством
	W =	(/,/)•	(1-2)
*) Цифрой в скобках обозначен		номер раздела в списке	литературы,
где указывается	источник,

Из гильбертова		пространства L2(D) выделим теперь неко
торое	подпространство (линейное		многообразие)	$aL2{D)
так,	чтобы каждый	элемент среФ	удовлетворял	некоторым

дополнительным условиям. Такими условиями, например, мо гут быть требования заданной гладкости, удовлетворение пре дельным соотношениям на границе области D и т. д. Указан ные условия, однако, должны быть достаточными для того,

чтобы оператор Л переводил элемент	среФ в	элемент
ЛсрєЕІ2 (£>).		много
Линейный оператор Л, определенный на линейном		много
образии Ф, называют п о л о ж и т е л ь н о	п о л у о п р е д е
л е н н ы м, если для всех среФ имеем
(ЛФ , Ф ) ^ 0 ,		(1.3)

причем возможность равенства нулю скалярного произведе ния (Лф, ф) допускается на элементе ф, тождественно не рав ном нулю. Такие операторы обычно обозначают А^О. Если равенство исключается и

(ЛФ ,

Ф ) > 0 ,

(1.4)

то оператор

А называют

п о л о ж и т е л ь н ы м

обозначают

Л > 0 . Наконец, в случае

более сильного

неравенства

( Л Ф ,

Ф ) > К ( Ф ,

Ф ) ,

ф е ф ,

(1.5)

где

7 > 0 — некоторая

положительная

константа,

единая для

всех

ф е Ф , оператор

А называют

п о л о ж и т е л ь н о

о п р е

д е л е н н ы м.

Заметим, что если оператором

А является симметрическая

матрица, то для нее из положительности

следует положитель

ная

определенность

(Д. К- Фаддеев, В.

Н. Фаддеева1 8 1 ).

Подпространство

Ф будем

называть

о б л а с т ь ю

о п р е

д е л е н и я о п е р а т о р а

Л и обозначим

его Ф

(А).

Введем далее в

рассмотрение,

с о п р я ж е н н ы й

о п е р а

т о р

Л* с помощью тождества

Лагранжа

(Ag,

h) =

(g,

Л* її),

(1.6)

где

£<=Ф(Л), а /г<=Ф(Л * ) .

Подпространства

Ф(Л)

Ф(Л*)

гильбертова

простран

ства

L2(D),

вообще

говоря, не совпадают друг

с другом., хотя

их элементы

имеют

одну

и ту же

область определения D в £ „ .

В дальнейшем будем предполагать, что сопряженный опера

тор существует		и	является	з а м к н у т ы м в		следующем
смысле.
Пусть	имеется		последовательность		фп—•'Ф И Л*ф„—>%.
Тогда \реФ(Л*)			и имеет	место предельное		соотношение
А *г\|з=%. В	том	случае, когда Л = Л * и			Ф(Л) =	Ф ( Л * ) , опе
ратор Л называют			с а м о с о п р я ж е н н ы м .

1 / 361 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ