книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

I

А В Т О Н О М Н Ы Е С И С Т Е М Ы В С О С Т О Я Н И И Р А В Н О В Е С И Я . У С Т О Й Ч И В О С Т Ь С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й

1.1. Предварительные замечания

Как известно, на практике весьма часто применяются ламповые и транзисторные генераторы, генерирующие колебания, по форме весьма близкие к синусоидальным. Эти генераторы имеют в своем составе нелинейный эле­ мент (лампу, транзистор), линейную схему, обладающую резонансными свойствами, и цепь обратной связи. Па­ раметры линейной схемы обычно выбираются таким об­

в дальнейшем перейдем к изучению периодических ре­ жимов.

Для того чтобы пояснить сущность проблемы, сна­

проблемы об устойчивости состояния равновесия элек­ трической системы; после этого вернемся к примерам — двум схемам: транзисторному автогенератору и генера­ тору на туннельном диоде. Такое, на первый взгляд не совсем последовательное изложение оправдано тем, что позволяет легче уяснить сущность проблемы и делает изучаемый материал более конкретным и близким к за­ дачам, которые будут встречаться дальше.

В дополнение отметим, что к вопросам устойчивости мы вернемся в гл. 5 и 6.

Как известно, чтобы решение этих уравнений было единственным, необходимо ввести соответствующие на­ чальные условия, например задать г и ик в момент t = 0.

Перейдем теперь к вопросу о состояниях равновесия и об устойчивости этих состояний. Для того чтобы рас­

сколько решений или не иметь ни одного. Обычно функ­

всегда найдется такое положительное значение i, при ко­ тором левая часть второго уравнения (4) станет равной нулю.

Обратимся к вопросу об устойчивости найденного стационарного решения.

Как уже отмечалось, наличие у системы уравнений (3) стационарных решений является необходимым условием того, чтобы рассматриваемая электрическая система могла находиться в состоянии равновесия. Однако это условие не является достаточным для того, чтобы реше­ ния могли физически реализоваться: необходимо, чтобы состояние системы, соответствующее этому стационарно­ му решению, было устойчивым по отношению к внешним воздействиям, по крайней мере малым.

Для того чтобы установить, соответствует ли полу­ ченное стационарное решение устойчивому состоянию равновесия, рассматривают малые отклонения от этого состояния и ищут решение уравнений (3) в предполо­

Об устойчивости или неустойчивости стационарного решения судят по тому, как ведет себя это решение с те­ чением времени и как оно зависит от величины началь­ ного возмущения. Оставляя пока в стороне точные опре­ деления и формулировки, рассмотрим это на примере. Обозначим через k значение i, удовлетворяющее урав­ нению (4), и будем рассматривать малые (по крайней

Общее решение этого уравнения можем написать так:

говая частота колебаний с точностью до величины вто­

в контуре, ни от параметров лампы, т. е. определяется

ваться нелинейные свойства характеристики ламп, что

стики лампы, сопротивления контура и величины обрат­ ной связи.

Колебания, период которых существенно зависит не только от энергоемких параметров схемы (например, от характеристики нелинейнего элемента и т. д.), часто на­ зывают релаксационными колебаниями.

1.3. Устойчивость состояния равновесия для автономных систем. Общее рассмотрение

Рассмотренный выше пример иллюстрирует методику составления уравнений первого приближения и исследо­ вания при их помощи устойчивости состояния равнове­ сия изучаемой системы, г . ;

Перейдем к более общему случаю и рассмотрим си ­ стему, поведение которой описывается произвольным, но конечным числом уравнений первого порядка, разрешен­ ных относительно производных. Пусть изучаемая систе­ ма уравнений имеет вид

зависят от времени, мы можем написать следующую си­ стему уравнений:

мой электрической системе состояния равновесия нет. Если уравнение (2) имеет одно или несколько реше­

ний (каждому решению соответствует свой набор вели­ чин q°s), то электрическая система, описываемая этими уравнениями имеет состояние равновесия.

Наличие решений системы уравнений (2) —необходи­ мое, но еще не достаточное условие для того, чтобы в рассматриваемой физической системе эти состояния равновесия могли реализоваться: требуется еще, чтобы эти стационарные состояния (решения) были устойчивы.

Обозначим через q° множество чисел q° , представ­ ляющих одно из решений уравнений (2). Будем считать, что вблизи от „точки" q" функции fs непрерывны и имеют непрерывные первые частные производные по всем пере­ менным qs. Положим qs = q°s-i[-'is и напишем

? = ?(0).

Таким образом, мы пришли к системе дифференци­ альных уравнений (5) с постоянными коэффициентами.

Рассматривая (6) как систему линейных однородных уравнений относительно величин (Ль \х,г, • • •, Цп, приходим к выводу, что эта система имеет решения, отличные от тождественно равных нулю только тогда, когда опре­ делитель этой системы равен нулю, т. е.

Это уравнение часто записывают в более компактной матричной форме. Если обозначить через А матрицу коэффициентов Aih = dfi/dqh, а через Е — единичную ма­ трицу, то система (7) приобретает вид det(Л—ХЕ) =0.

Это уравнение часто называют характеристическим уравнением матрицы А, а удовлетворяющие ему п чисел Xi, Xz, ..., Хп— характеристическими корнями или числа­ ми матрицы А.

Ограничиваясь случаем, когда (7) имеет только про­ стые корни, можем написать частное решение системы (5)