книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

6.3.2. Прямой метод Ляпунова

Теперь остановимся вкратце на другом методе иссле­ дования устойчивости движения, предложенном A . M . Ля­ пуновым и носящем название второго или прямого ме­ тода Ляпунова. Этим методом мы до сих пор нигде не пользовались и в настоящем параграфе изложим его лишь вкратце без доказательств. Отсюда не следует делать заключения, что второй метод уступает по зна­ чению методу линеаризации: в действительности прямой метод занимает в теории устойчивости очень большое место и с течением времени начинает применяться все чаще.

Прежде чем перейти к изложению прямого метода

рывная вместе со своими частными производными в не­ которой области Q, содержащей начало координат и определяемой равенствами | x s | < A , где h — положитель­ ное число.

1. Функция V называется знакоопределенной (опре­ деленно-положительной или определенно-отрицатель­ ной), если она при достаточно малом h может принимать в Q значения только одного определенного знака и обра­ щается В НуЛЬ ЛИШЬ При Xi = Xz = . • . = хп = 0.

2. Функция V называется знакопостоянной (положи­ тельной или отрицательной), если она в Q может при­ нимать значения только одного знака, но может обращаться в нуль не только в начале коор­

динат.

В случае двух независимых переменных xi и х2 сказан­ ное легко иллюстрировать геометрически. Изобра­

женная на рис. 6.3 поверхность представляет определен­ но-положительную функцию. Эта поверхность имеет вид

цательная функция может быть представлена аналогич­

к началу координат точка а «опускается вниз» и также приближается к началу координат.

Аналогичное положение имеет место и в случае большого числа измерений, хотя столь наглядная гео­

или в некоторой форме

y = *'grad V,

где X' — вектор-строка с компонентами Xs и grad V — вектор-столбец с компонентами dV/dxs.

Величина V, очевидно, также является функцией от координат Xs, и если V ^ O в области Q при V опреде­ ленно-положительной, то V называется функцией Ляпу­ нова.

Теперь приведем без доказательства теоремы Ляпу­

иллюстрируются в случае двух измерений рис. 6.3. Дей­

при своем движении по поверхности никогда не будет подниматься вверх (величина V не растет) и может лишь опускаться вниз или оставаться на одном уровне. Отсюда непосредственно вытекает, что координаты х4 и х2 никогда не выйдут за пределы некоторой области, поперечные размеры которой зависят от наибольшей «высоты» точки а, и могут быть сколь угодно малыми, если в начальный момент 1 = 0 и xi и х2 достаточно малы. Если V<0, то точка.а будет с течением времени «опу­ скаться», приближаясь асимптотически к началу коорди­ нат, и, следовательно, обе величины х\ и х2 также будут стремиться к нулю.

Помимо приведенных выше двух теорем об устойчи­ вости, Ляпунову принадлежат также теоремы, формули­ рующие условия неустойчивости движения. Формули­

в окрестности начала координат Q. Если V — определен­ но-положительная функция, а сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция V принимает положительные значения, то начало коорди­ нат неустойчиво.

Теорема 2. Если V(x) такая же, как и в первой теореме о неустойчивости, a V(x) —%V+ V*, где Я > 0 и

Все приведенные выше теоремы непосредственно от­ носятся к случаям, когда уравнения для возмущений не содержат явно независимой переменной t. Если же та­ кая зависимость имеет место, то делаются необходимы­ ми дополнительные определения и формулировки, кото­ рые мы и приведем ниже.

Пусть теперь дана система уравнений х = Х(х, t), для которой справедлива теорема существования и един­

функцию в том смысле, как она была определена выше, мы скажем, что более общая функция V(x, t) является определенно-положительной, если выполняются следую­ щие условия:

а) V(x, t) определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в об­

остается в силе и для случая, когда X зависит явно от t. Вторая теорема об устойчивости и теоремы о неустой­ чивости остаются в силе, но в несколько измененных формулировках, которые мы здесь приводить не будем.

В заключение настоящего параграфа отметим, что более подробно второй метод Ляпунова изложен в книге И. Г. Малкина [2], а также в книге Ла-Салля иЛефшеца. Из этих же книг заимствованы (с некоторыми измене­ ниями) приводимые в настоящей главе определения и формулировки теорем.

7

РЕ Л А К С А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я . МУЛЬТИВИБРАТОР

7.1.Предварительные замечания

В предыдущих главах мы рассматривали системы, способные генерировать колебания, близкие по форме к синусоидальным, период которых определялся в основ­ ном лишь энергоемкими параметрами схемы (индуктивностями, емкостями) и почти не зависел от изменения таких факторов, как, например, величины сопротивле­ ний, входящих в состав колебательной системы; прило­ женных напряжений; параметров электронной лампы (если, конечно, они меняются в некоторых допустимых пределах).

Однако в радиотехнике часто встречаются автоколе­ бательные системы, создающие колебания, период кото­ рых определяется не только энергоемкими, но и диссипативными элементами схемы (сопротивлениями), а так­ же другими факторами, не связанными непосредственно с величиной энергоемких параметров. Подобные системы часто называют релаксационными системами, а колеба­ ния, ими создаваемые,:—релаксационными колебания­ ми. Эти колебания обычно имеют резко выраженную несинусоидальную форму, но могут иметь место также случаи, когда подобные системы генерируют колебания, по форме близкие к синусоидальным.

Как уже указывалось в гл. 1, не существует точной границы между релаксационными колебаниями и не­ релаксационными (как иногда их называют, томсоновскими), и разделение колебаний на эти две группы носит лишь качественный характер. Так, например, одна и та же схема в зависимости от величины входящих в нее параметров может создавать либо томсоновские, либо

с трансформаторной обратной связью. Однако имеются схемы, обладающие ясно выраженными свойствами ре­ лаксационных систем. В частности, хорошо известные генераторы развертки являются характерными предста-

ваемая система имеет состояние равновесия, которое, конечно, может быть либо устойчивым, либо неустойчи­

ния. Поэтому, в отличие от общей методики, когда исследование автоколебательной системы начинают с изучения устойчивости ее состояния равновесия, рас­ смотрим сначала колебательный процесс в мультивиб­ раторе и после этого вернемся к процессам, происходя­ щим вблизи от состояния равновесия.

Предположим, как это обычно делается, что входя­ щие в (1) величины ограничены. Напряжение на кон­

исходить из рассматриваемой схемы, в которой отсутст­ вуют «паразитные» индуктивности и емкости). Однако мы начнем исследование, предполагая ugi и ug2 непре­ рывными и дифференцируемыми функциями времени. Далее, если в некоторых точках непрерывные решения окажутся невозможными, будем считать, что здесь имеют место разрывы первого рода. Если в некоторой области значений t окажутся одновременно возможны­ ми и непрерывные, и разрывные решения, мы должны будем более подробно исследовать вопрос, рассмотрев устойчивость этих решений по отношению к малым из­ менениям параметров (структурную устойчивость).

жем написать

-*g2

CR g2

CR gi

Решая эти уравнения относительно производных и , и ug2, получаем

- )

ламп ломаными линиями (обе лампы считаются одина­ ковыми), что и изображено на рис. 7.2.

Точкам излома характеристик анодного и сеточного