книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

пролете резонатора, мала по сравнению с начальной ско­ ростью, которую он имеет при входе в резонатор.

Момент прибытия электрона в начало координат (в ре­ зонатор) определится из условия

- Я , + * , = <).

Если Vi есть функция от т, то это уравнение лучше за­ писать так:

нов, вылетевших в разные моменты времени из резона­ тора, но вернувшихся в него одновременно. Этот.случай встречается на практике, но мы его здесь рассматривать не будем, считая, что уравнение (6) определяет т через t однозначно.

Теперь обратимся к другой задаче, которая нам в дальнейшем понадобится. Постараемся связать силу конвекционного тока, прошедшего через верхнюю сетку

быть связана с напряжением на резонаторе в момент т.

Если в течение промежутка времени длительностью Ат через сетку резонатора в область торможения выхо­

при этом прошел через единицу поверхности сетки ре­ зонатора, равен piWiAt. Пройдя через пространство тор­ можения и вернувшись вновь к верхней сетке резонато­ ра, он будет иметь объемную плотность р2 и скорость электрона v2. Этот заряд будет проходить через сетку в течение промежутка времени At, и в силу того, что за­

Если же «передние» электроны будут отставать, то dx/dt\<0, и при нашем определении At имеет место со­ отношение

Обе эти формулы можно записать в виде одной:

P2V2=—piVi\dxldt\.

Для упрощения записи введем обозначение

x = - - i i — 4 - > 0 ,

Для того чтобы состояние равновесия было асимпто­ тически устойчиво, необходимо, чтобы и не имело осо­ бенностей в правой полуплоскости и на мнимой оси. Следовательно, в этом случае знаменатель (1) не мо­ жет иметь корней с положительной вещественной частью.

1 Черта сверху указывает на то, что имеется в виду преобразо­ ванная по Лапласу величина.

и рассмотрим круговую область в плоскости комплексной переменной е с центром в точке

( , . х<в„ —мл

ирадиусом г = 2 | ei|.

Всилу того что в этой области Ф(е) —аналитическая функция от е и по модулю сколь угодно мала при до­

статочно малых а и и, величина \йФ1й&\тах будет также сколько угодно мала в любой точке области. Обращаясь

имеет корень, отличающийся от найденного лишь на ве­ личину второго порядка малости по отношению к а и х.

Из сказанного вытекает, что (5) является достаточ­ ным условием самовозбуждения клистронного генерато­ ра (точнее, условием неустойчивости решения). Для того чтобы установить его необходимость, нужно еще убе­ диться в том, что при выполнении условия, противопо­ ложного (5), уравнение (2) не имеет корней, лежащих в правой полуплоскости. Предположим сначала проти­ воположное и допустим, что имеется корень рь вещест­ венная часть которого положительна. Тогда имеем сле­ дующие оценки. Предположим сначала, что |pi|>tooТогда согласно (2)

и, таким образом,

Если предположить противное и допустить, что |pi|<coo, то

и, следовательно,

2 . 2 I 2 2 х - f (2«/<о0)

Р | Ч - ш 0 1 < ю о — X

Фурье, выделив основную гармонику, а затем выбрать Л, v и ар так, чтобы уравнение (1) удовлетворялось. Прежде чем переходить к дальнейшим выкладкам, введем неко­

где X — так называемый параметр группировки, равный

X = 2Av/v0El>0.

Этому коэффициенту можно придать более удобную форму, выразив VQ и Еу через потенциал анода ыа и 8оМожем написать

Теперь перейдем к разложению правой части (1) в ряд Фурье. Пусть h представляется рядом

00

k——00

где

Г/2

Полагая vz — l — т/2, получаем

—it/2

=_ / ^ e - ' * j V * e l n ' - « d 5 .

Таким образом, в общем случае S является величиной комплексной и имеет вещественное и положительное зна­ чение лишь при 6о= (2п+1)я+1я/2, где п — целое число. Наименьшее значение 6о, определяемое этой формулой, равно Зя/2. Уравнение (1) приобретает теперь вид

-f- 1*^е~ы) -4- высшие гармоники,

где А* и /*1 — комплексно сопряженные с А и Л вели­ чины. Этому уравнению можно удовлетворить, положив