Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

С другой стороны, при постоянных «gi и uS2 из первого


уравнения (1) вытекает, что«сч постоянно,		т. е. duci/dt =
= 0. Таким образом, предположение, что		« g 2 = const про
тиворечит исходным уравнениям (1).
Предыдущие рассуждения приводят к заключению,
что в точке	Ug2=—«о непрерывное изменение H g 2		невоз
можно, и мы	вынуждены считать, что здесь будет		иметь

место скачкообразный процесс.

Однако необходимо иметь в виду, что скачок не мо жет происходить произвольно, ибо напряжения на кон денсаторах меняются непрерывно и, следовательно, в процессе скачка изменяться не должны. Тогда, как

видно из уравнений

(1),

которые всегда

имеют место

(в

отличие

от

уравнений

(2), теряющих

силу

там,

где

ugi

и « g 2 терпят

разрыв

непрерывности), должны

соблю

даться условия

Л(«в1; "g 2)=xa ea(1 + T")+'e2 + 'ei=

c o n s t ; 1

(5)

В рассматриваемом

случае

скачок

начинается

при

ug2

= —йо и

при

некотором

положительном %ь

которое

обозначим через u°gl.

Поэтому

Л К,;-«.)=---X (i +-г)"• + ''»Ki>;

M « g , ; - " " ) = - & -

M g i + 5 g " g i •

Теперь мы можем написать уравнения (5) в форме

"g2 ( !

+ 4-)+*

(«g2 +

'..) =

SF1 ( « & ; - « . ) ;

" g i ( 1

+ f ) + « ( ' g ,

''a2) =

^ ( " ; i ; - « , ) -

( 6 )

Каждое из этих уравнений дает связь между ugl

ug2;

совместное их решение позволяет выразить значения,

которые эти величины	приобретут после скачка,		через
т и ug i°. Рассмотрим	сначала первое	уравнение	(6).
При %><0
"g2 (1 +4-)=R Hi Кг) -<• ("«л -		«о ( 1 + T - )	• ( ? )

170

§ 7.2.

и аналогично при и&2^>0

"g 2 (1 +-f+5 ^)=-«o(i+4-)+


+	m ( " ° , ) - U " g l ) ] -				(8)
Соотношения (7) и (8) позволяют построить					зависи
мость wg2 от Ugi. Соответствующая			кривая	проходит, оче
видно, через точку	ug2	= —и0, ugi = ugl0; на		участке ug2<0
она определяется	соотношением		(7),	а на	участке
%2>0 — соотношением		(8). Эта кривая		изображена на

рис. 7.3 и построена с учетом следующих дополнитель ных соображений.

На участке	ugC^—и0
'« ("J,) -	(«g l ) = Sa (u°gl - f и„) - Sa («g l + u0 ) =
	= 5 a ( < I - « g I ) .

Значение « g ] = « g ' 1 ) , при котором « g 2 обратится в нуль, определяется из соотношений

			1 + ~ г
	U e l ) =	- " o - ^ - + U B l -
Учитывая неравенства		5 ° / ? > ^ 1 - f - - y - j			и	M g ] > 0 ,	прихо
дим к выводу, что и		^ ^	— и0.	При " g 2	> 0 и на участке
— u 0 - < « g l <С Mgi' искомая			зависимость			представляется
прямой,	проходящей через		точку	и j = и ^ ;		u g 2 =	0, с уг
ловым	коэффициентом

§ 7.2.

171

На участке u g J < —u0 и « g 2 > 0 величина « g 2 постоянна и равна

«о Ю -

Теперь перейдем к построению кривой, определяемой вторым соотношением (6). Учитывая, как и раньше, что

в «начале» скачка u g 2 = — щ , u g i = u g i> получаем

i	0 + + = i ( 1 + 4 ) +
При	M g l > 0 это уравнение имеет вид

i(i+4+^^) - " g . =>( 1 +4+v*) - о)

Если к тому же « g 2 •< — «<,, т 0 l a2 — О и> значит,

и .~и°, — const.

g1 g'

При « g 2 > - —"о соотношение (9) дает

« « = - « . + 0 + 4 + ^ ) 4 ^

и, следовательно, мы получаем прямую, проходящую через точку li* •; —«0 , с угловым коэффициентом

и пересекающую ось ординат в точке

„о

Если теперь M g l < 0 , то имеет силу уравнение

-г 0 + 4 - )

( • + *

- « v + " . > s :

172

§ 7.2.

или

g 2 - S 0 R

• + -

gl'

т. е. правая часть последнего равенства представляет собой прямую, проходящую через точку ы^' с угловым коэффициентом


	Учитывая все сказанное,						мы можем	легко построить
кривую Т^—const, которая							изображена	на	рис. 7.3. Из
этого		рисунка видно, что кривые Fi=const							и F2 = const
имеют		только две общие				точ
ки а и Ь. Таким				образом,		скач
кообразный			процесс, имеющий
своим началом точку а, дол
жен		закончиться			значениями
M g i	и	ug2,	соответствующими
точке Ь. В частности, из при
веденного			графика		вытекает,
что	после		скачка		ugi<—Uo		и	Рис. 7.3.
%2>0, т. е. первая					лампа		за

перта,		а вторая		открыта.

Следует дополнительно указать, что высказанные выше утверждения основаны на предположении, что кривые Fi и F2 на участке — U o < % i < % i ° не пересекают ся. Это во всяком случае выполняется, если

>	• + V + 5	g *
>	StR
	StR
т. е. при условии
S ^ > l + A - + 5 ^ .		(Ш)

Проследим дальнейший ход процесса, который будет иметь место после скачка. Поскольку теперь % i < — " о , a Ug2>0 и Л<0 , то согласно уравнениям (2) ugi будет

§ 7.2.

173

расти,

Ugi уменьшаться.

Когда

Ff-const

ugi

достигает

значения

—и0 ,

const

ug2 — некоторого

значения

Wg2(1), то произойдет

скачкооб

разное

изменение

этих

вели

чин, причем здесь можно по

вторить

почти

без

изменений

предыдущие

рассуждения,

приводящие

неизбежности

Рис.

7.4.

скачка. Далее

вступают в силу

условия

Fi = const,

F2 =const,

но

уже

с новыми

значениями

констант.

Соответствующие

кривые, построенные

аналогич

но

предыдущему,

изображены

на рис. 7.4 и приводят к заклю

чению,

что

после скачка

вновь

-"о

% i > 0

и %2<—Щ. Дальней

ший ход процесса уже нетруд

но

себе

представить: u g i будет

уменьшаться,

a u g

2 расти,

пока

не достигнет значения —и0 ,

после

чего

вновь

будет

иметь

место скачок. В конечном счете

устанавливается

периодиче

ский

процесс,

характеризуе

мый кривой, состоящей из от

Рис. 7.5.

резков

непрерывных

кривых и

скачков

первого

рода.

Сказанное может быть иллюстрировано рис. 7.5, где

изображены

кривые ugi и « g 2

как

функции

времени

Перейдем теперь к рассмотрению установившихся

периодических

колебаний. Если считать, что изображенные

на

приведенных

рисун

ках

кривые

соответствуют

периодическому

режиму,

то

должны

иметь

силу

следующие

соотношения:

"gi(ri—0)

= — « 0 ;

" g 2 ( A - - 0 ) = u g l ( r 2 — 0 ) ;

« g 2 ( / 2 — 0 ) = — и0

на интервале ti<t<t2,

S a ( « g 2 ) = 0 ,

первое

из уравнений

(2)

приобретает

вид

174

§ 7.2.

где

и, следовательно,

1 + S ° g r

« g l =

(f.

O ) « - » < ' - ' • > .

Теперь второе

из

уравнений

(2)

дает

" g 2 ~ " ~

с д

поэтому

RSl(l+S°gr)

V + С (г + Л) иег —

C(r

и е и

R)(l+—

&gR)

или, введя

обозначения

RS0a(l+S°gr)

V~C(r+R)'

получим

ug2

p « g 2

, « g

l (*, +

0)e~ a

<'-'•>

•

Частное

решение

этого

уравнения

ищем

виде

В е ~ а ~

тогда

и, следовательно,

и„2

где D — произвольная

постоянная.

t=tt,

Воспользовавшись первым условием скачка в точке

можно

написать

[см. соотношения

(5)]

« в .

Т ~ )

Ragi

((г -v 0) +

/ t I

-0)R

5 а Я

(*i

+ 0) +

«„]

+ M g 2

(f, + 0)

+ - 7 - )

§ 7.2.

175

или с

учетом того,

что

г'а

(t,

— 0) =

ug2

(t,

—

0) =

н , (t2 — 0),

получим

Sa°tf [ « g l

(/»

0) +

в.]

( l +

j « g

(f,

0).

(11)

Второе

условие

напишется

так:

" g

i (<,

0) ( l

4") +

[«gi

(Л -

0) +

я 0 ]

= ( i + 4+4

M g '

или, учитывая,

что

« g l

(f, — 0) =

— в 0

KS°«g i

С, -

( l +

S g R)

« g i

C i +

° ) ~

(*S.

I -

4")

(12)

К этим уравнениям можно прибавить

еще

следующие:

(t,

0) =

u g

(/,

0) * " »

<'•-'•>;

(13)

flgi (/i -

0) =

в , =

« g l

(/,

0) < r «

('•-<»> + De~ p

<'«-'•>

(14)

agi(ti

0 ) = y ~ u g l

( t l

0) +

(15)

эти

пять

уравнений

входят

пять

неизвестных:

« g i ( / i + 0 ) ;

iigi(ti—0);

ugz(ti+0);

и t%—ti — T/2.

Из

них можно

обычными

ме

тодами исключить первые четыре неизвестных и получить трансцен дентное уравнение для периода колебаний Г. Для того чтобы не делать выкладки чрезмерно громоздкими, мы, как обычно, рассмо трим случай, когда а велико и величиной Mg i(?2—0) можно пре небречь. Если это сделать, то сразу получаем

/ ? s . - i - 4

"<rl + 0 ) = « о

1 + V + 4 *

176

§ 7.2.

uei (U + 0)

- j - [«o + « g i (t,+0)]

		SiR		R(S°a+Sl)
	0	f?	Q
		1 + 4 - i + 4 - + s ° *
Наконец, воспользовавшись		(15),	найдем
S»R	R(Sua+S°g)		Y	RS°a-\+-^-	г
S»R	R(Sua+S°g)		Y	a	г
т. e.
1	+

После некоторых преобразований	получим
С (R +	г) (г +/? + S° г/?) '
Y	- S a 0 / ? ( 1 + S ° r )
§ 7.2.	12—12
	12—12

и, следовательно,

е?Т/2 =

RSI (.Sl+sl)Rr

r+R

	Эта	формула пригодна лишь при			больших S'^r и небольших			R/r.
Если, как это обычно делают, пренебречь величинами							порядка	R/r
и	l/S^r,	то для	периода	колебаний но!учаем		известное	соотношение
T = 2C{R+r)			In SlR.
	7.3. Об устойчивости непрерывных решений уравнений,
		описывающих процессы в мультивибраторе
	В	предыдущем		параграфе	мы	изучали	процессы
в	мультивибраторе,			пользуясь	уравнениями (1) § 7.2,			и

рассматривали, где это было возможно, их непрерывные решения. Однако, как будет видно из дальнейшего, воз можны и другие решения, обладающие точками раз рыва там, где это раньше не предполагалось. Кроме

того, вблизи	от точки	« g i = Mg 2=0 существуют непрерыв
ные решения системы		(1)	§ 7.2, о которых мы до сих пор
ничего не	говорили,	и	естественно возникает вопрос

о том, могут ли эти непрерывные решения в действи тельности реализоваться.

В соответствии со сказанным рассмотрим сначала малые Ugi и %2 , причем положим u g i > 0 и ug 2<0. В этом случае (2) § 7.2 можно написать так:

178

§ 7.3-

Пусть подобно предыдущему выполняется условие

и, следовательно, Л > 0 .

Из (1) видно, что при сделанных предположениях
dugi/dt>0 и dug2/dt<0,	(3)

т. е. положительное напряжение растет, а отрицательное уменьшается. Отсюда можно заключить, что соотноше ние (2) является достаточным условием неустойчивости состояния равновесия изучаемой системы.

Соотношения (3) показывают, что ug2				будет умень
шаться	(по	абсолютной величине	расти),	a ugi	увеличи
ваться.	Так	будет продолжаться	до тех	пор,	пока ug2

не достигнет значения —щ. Рассуждая подобно преды дущему, придем к выводу, что дальнейшее непрерывное изменение невозможно и произойдет скачок, причем

согласно рис. 7.3	такой,	что после скачка	ugi	станет
меньше —м0 (первая лампа закроется), a ug2			сделается
положительным	(вторая	лампа будет открыта).		Этот

процесс (если предположить, что он может реализо ваться) иллюстрируется пунктирными участками кривых на рис. 7.5.

Можно, однако, заметить, что исходная система уравнений (1) § 7.2 допускает помимо непрерывных также и разрывные решения. Это легко понять, если обратиться к соотношениям

Е -

иС( -

RS°u0

= uglRS3

(«gl)

+ u0R

[Sa (ug l ) -

S°J

" C 2

ЯS !"o =

" g 2 # S a ( V ) +

[5a

(Ug2) ~

S°J

g l

1 +

T - + ^ g ( » g . )

которые позволяют

найти

« g l

ug2

по известным uQ

M C j .

Можно

воспользоваться

построениями,

подобными

тем,

которые

были

сделаны в

предыдущем

параграфе,

найти

значения ugl

и и 2,

соответствующие

заданным

uCj

ии г .

Это построение, например, легко произвести, когда

§ 7.3.

12*

179

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ