Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

причем, как и раньше, a2 = coid)2C/16CiC2. Далее можно написать

1 - w*L1C1

/ ш С / ,

= 2 / ( 0 ^ 1 ,

JJA.

со

со,

b l

=/coL,

(j.,fj.2 —

со

С»

г,

\ Г1 ~

Сг

^*2<0

(of \

Учитывая

малость

г и близость он к ы,

получаем

= / ю С 0

—

2a 2

2 С ,

|J.*2co

co2 Z,1 (j,*2

1 coco2C2

(2)

Из этой формулы непосредственно вытекает изображен ная на рис. 9.3 эквивалентная схема, где

сосооС2	СОСО2 С2 (А2		(3)
8 С > *	" 8 С г \| ( х	2 \| 2

Поскольку вещественная часть цг равна аг, т. е. поло жительна, очевидно, что Y имеет отрицательную вещест венную часть.

Теперь обратимся ко второму случаю, когда Q =

=| G H — С 0 2 1 - Здесь Ai определяется формулой (24) § 9.2,

которая отличается от	(20) § 9.2 лишь		заменой \|д*2	на Ц2
и а2 на —а2 . Отсюда следует,		что эквивалентная		схема
	рис. 9.3 остается в силе и для
	этого	случая, но теперь Y\ опре
	деляется выражением
		сосо8 р.*2 С2		(4)
•		8 С 2 \|р . 2 \| 2

	В	данном	случае веществен
	ная часть проводимости Y\ поло
Рис. 9.3.	жительна.
220				§9 . 4 .

9.5. Рассмотрение двухконтурного параметрического усилителя посредством соотношений Менли и Роу

В современной литературе, посвященной теории пара метрических усилителей, часто используются соотноше ния Менли и Роу. Эти соотношения позволяют получить основныерезультаты, относящиеся к теории двухконтурных усилителей, весьма быстро и просто (если, конечно,

соотношения Менли и Роу уже из
вестны), не прибегая к более де
тальному,			но несколько	громозд
кому	исследованию, проведенному
выше. Хотя этот, второй путь изуче
ния	параметрических			усилителей
не приведет нас к результатам,					от
личным		от	полученных	выше,	мы
все	же	проведем здесь		соответст-		Р и с - 9 -4 -
вующие		рассуждения.

Чтобы соблюсти последовательность изложения, вос пользуемся сначала соотношением Менли и Роу, не при водя их доказательства, и только в дальнейшем вернемся к этим соотношениям и дадим их полный вывод.

Рассмотрим нелинейную емкость, изображенную на рис. 9.4, находящуюся под воздействием некоторого на

пряжения	и (вызванного сторонней					э. д . с. е = ы).
Предположим, что и может быть представлено в ви
де тригонометрического			ряда	с	некратными		гармони
ками
		и— 2	£	u J	4 .		(1)
где (Ук — комплексные			амплитуды			гармоник,	причем
(У_н=С/*к	{U*K—	величина,		комплексно-сопряженная

сUK).

Предположим также, что круговые частоты QK могут быть представлены в виде линейной комбинации из двух базисных частот coi и ©2, т. е.

Йк = тк0)1 + /гк,со2,

(2)

где т к и пк — целые числа (положительные, отрицатель ные или нули); кроме того, частоты coi и со2 не находятся в рациональном отношении (несоизмеримы), т. е. не су-

§ 9 . 5 .

221

щестбует	таких целых т и п, не равных одновременно
нулю, чтобы правая часть (2) обратилась в нуль.
При этих предположениях		каждому £2К отвечает опре
деленная	упорядоченная пара	чисел	пк.
Имеет	силу и обратное утверждение		в том смысле,

что каждой паре целых чисел т, п отвечает определен

ная частота Q m ) n = mcoi + nco2; если т — тк	и	п = пк, то
йтп = ^ц. Учитывая это, можно равенство	(1)	написать
в форме

ОО00

	" = - Г Е	Е U m n e l i m , M t	t	(3)
	п——оо т=~оо
причем	Umn = Uu, если	т = тк, п = пк и	£ / т п = 0, когда
данной	комбинации т, п не соответствует			ни одно QK
из (1).
Пусть теперь заряд конденсатора q связан с напря
жением	и посредством	соотношения q = f(u),		где f — од

нозначная и непрерывная функция. Тогда при некоторых

предположениях

можно считать, что и сила

тока,

проте

кающего через

конденсатор,

представима

форме

;

\Ч

J(m^-ytva,)t

/дч

1—

~ж

2 J

п=—оо

т~—оо

где 1тп — некоторые

коэффициенты,

имеющие

смысл

комплексных амплитуд гармоник тока, которые

могут

быть определены, как это указано в § 9.6.

В этом случае имеют место следующие

соотношения:

V , W—^=-*р=2- =

(5)

/лей, +

лсо2

п=—оо т = ~ о о

оо

y i п

umj*mn

6 .

т ы , +

«ш г

П——СО т= — оо

Эти равенства обычно и называют соотношениями Менли и Роу; часто, впрочем, их пишут и в несколько иной форме, приведенной в § 9.6.

222

§9 . 5 .

9.5.1. Применение соотношений Менли и Роу к теории

двухконтурного параметрического усилителя

При фактическом выполнении параметрических уси лителей вместо емкости, изменяющейся механически,


применяется			нелинейный			конденсатор	С3	(рис. 9.5), к за
жимам которого подается						напряжение е3,		изменяющееся
с частотой		модуляции			Q по закону u3=U3			cos Q/.	Таким
образом, на			конденсаторе
С3	имеется		напряжение,
состоящее		из трех		гармо
ник: напряжения				накачки
u3=U	cos Ш		и, как видно
из	предыдущего,			еще
двух	напряжений			щ и и2
с частотами to и v.
Емкость			конденсатора
определяется			отношением
С3 = q/u = f(u)/u.				Если
u3^>ui + ii2,		то в		первом
приближении			можно		на		Рис. 9.5.
писать C3 = f(u3)/u3.				Пред
положим теперь, что мы аппроксимировали f(u3)									в ин
тервале ±U3			посредством			полинома	n-й	степени	(что,

как известно, можно сделать с любой степенью точности, если выбрать п достаточно большим); тогда


		f (",) =	«о +	fli", +а2и}			+ ...+ anuns .
Учитывая, что /(0) = 0				(при отсутствии напряжения и за
ряд равен		нулю),	полагаем		а0	= 0. Таким		образом,
и,	следовательно,		емкость		С3	оказалась		изменяющейся
во	времени	по периодическому					закону	с	частотой Q.
В частном случае, если в рассматриваемых									пределах из
менения функция f(u3)				достаточно хорошо				представляет
ся полиномом второй степени, то С3=а1 + а2и3									cos Ш, т. е.

меняется по тому закону, который мы приняли в самом начале настоящей главы для С3, причем С^сц и С =

= a2U3.

9 . 5 . 1 .

223

Перейдем теперь к рассмотрению схемы параметри ческого усилителя, изображенной на рис. 9.5 и отличаю щейся от рис. 9.1 наличием цепи напряжения накачки и разделительных устройств d, закрывающих путь токам частотой со и v в цепь накачки и ограничивающих цирку ляцию тока с частотой Q цепью накачки.

Рассмотрим сначала случай, когда Q==coi + co2. Как видно из предыдущего, к конденсатору С3 теперь будут

приложены

напряжения

с частотами

со, v

причем

v==Q—со. Таким образом,

напряжение и,

приложенное

к конденсатору

С3, можно

представить

в форме:

" i +

" 2 + " » ;

„-M\

u2^-^(U2eht

);

О)

-L(U3eisi

+U з e

<-).

Обращаясь

теперь к соотношению

(5)

§ 9.5,

замеча

ем, что в данном случае числа

(т,

п)

образуют

следую

щие

упорядоченные

пары:

(1, 0);

(—1, 0);

(0,

1);

(0,

— 1);

(1, 1);

(—1, —1)

(частоты со и v

отождествляются

с coi и сог),

и,

следовательно,

СО + V

со -(- v

:0.

(2)

Обозначая

через

Р\,

Рг

и Р3

соответственно

мощности,

поглощаемые емкостью С3 на частотах

со, v и co + v,

мо

жем

(2) записать

форме

Рг

•

Рг

:0.

(3)

СО

СО +

Аналогично,

(6)

9.5

дает

со +

ИЛИ

Я 2 +СО +

:0.

(4)

Напряжение

с72 (на

конденсаторе

С3)

вследствие того,

что второй контур настроен в резонанс, почти полностью 224 9.5-1.

прикладывается к зажимам этого контура. Учитывая это обстоятельство, а также то, что Uhc = — U2 (рис. 9.5), при ходим к выводу, что Яг равно мощности, расходуемой во втором контуре, но взятой с обратным знаком; следова тельно, Р2 всегда является величиной отрицательной. Теперь из (4) получаем

^	=	- - ^ ^ > 0 .	(5)
Тогда соотношение	(3)	дает
p> =		-^fvp><°-	(6)

По соображениям, которые уже были высказаны в от ношении Р%, величина Р\ представляет собой мощность, отдаваемую конденсатором С3 в первый контур, но взя тую с обратным знаком.

Из соотношения (5) видно, что из цепи накачки за имствуется энергия Р3>0, но только часть этой энергии поступает во второй контур. Остальная часть, как видно из (6), отдается первому контуру.

Рассмотрим теперь случай Й = со—-v^coi—<»2>0 и об ратимся вновь к соотношениям (5) и (6) § 9.5. Теперь числа (т, п) образуют следующие упорядоченные пары:

(1, 0);	( - 1 , 0); (0,	1);		(0, - 1 ) ;			(1, - 1 ) ; ( - 1 ,	1), а ча-
стотам	(оь сог и о>з здесь			соответствуют со, v и				Q. Тогда
соотношения (5) и		(6)	§ 9.5		дают
		^	+	-	^	=	0;	(7)
		СО	1	СО — V
		Р2		Рг			Q	(8)
		V		СО — V			'	(8)
и, следовательно,
		Я 1 = = ^ Р , < 0 ;						О)
		1		СО — V		3	^	(10)
		1		СО — V		3	^

Отсюда видно, что генератор накачки не отдает, а полу чает энергию (конденсатор С3 на частоте накачки отдает энергию), т. е. в рассматриваемом случае эффект усиле ния не имеет места.

9.5.1.

15—12

.225

Обратимся теперь к последнему случаю, когда						Й =
= v—со=о)2—coi>0. Здесь		мы должны	рассмотреть			сле
дующие	упорядоченные	пары чисел	(т,	п):	( 1	, 0 ) ;
( - 1 , 0);	(0, 1); (0, - 1 ) ;	( - 1 , 1); (1,	- 1 ) ,	т. е. те		же,
что и в предыдущем случае.
Следовательно, формулы (7) и (8)			останутся		в силе,
но вместо	(9) и (10) получим

Эти соотношения приводят к заключению, что генератор

накачки	отдает энергию ( Я 3 > 0 ) , но в первый контур			эта
энергия	не поступает, так как Pi> 0 (конденсатор С3			на
частоте со поглощает, а не отдает энергию).
Резюмируя полученное выше, можем считать, что при
fiskoi + co2 эффект усиления		имеет место (из	генератора
накачки	энергия поступает	в систему). При	&=\|coi—сог\|
и coi>ico2 усиление не имеет		места («генератор» накачки

поглощает энергию), а при co2>coi эффект усиления воз никает, но так, что энергия из генератора поступает только во второй контур (усиление с одновременным преобразованием частоты).

9.6. Вывод соотношений Менли и Роу и обобщенных соотношений

В настоящем параграфе мы дадим вывод соотноше ний Менли и Роу, уже приведенных и использованных в предыдущем параграфе. В отличие от общепринятой методики, мы получим некоторые более общие уравне ния, из которых соотношения Менли и Роу получаются как частный случай. Начнем, однако, с вспомогательных соотношений.

Рассмотрим вещественную непрерывную функцию переменных t и х, которую можно представить в форме

оо	оо
5(*,т)=4- £	j A m n e l M n ^ \	(1)

га=—оо т——оо

где Атп — постоянные числа (вообще говоря, комплекс ные).

Пусть, кроме того, дана однозначная непрерывная функция от g

£=/(&)•

(2)

226

§9 . 6 .

Подставив (I) и (2), можем при фиксированном х считать £ периодической функцией от t и, следовательно, представить ее в виде ряда Фурье

Учитывая теперь, что Ст	(т) являются		периодическими
функциями от х с периодом — ,		можем	эти функции
также представить в виде	ряда	Фурье и	написать

			тп ^
	т = — о о /г=—оо
где В т П — постоянные		коэффициенты.
Отметим	попутно,	что	вследствие вещественности
функций \| и £ имеют место			соотношения 1
	л —А*	•	R — R*
	<imn—— т,—и, итп —и —т,—п-
Составим	теперь произведение

и проинтегрируем его в плоскости переменных t и т по некоторой кривой L , начало и конец которой имеют со

ответственно			координаты iu Xi и h,			хъ причем
		iuih=		0)1^1 + 2ЛГ,	0)2Т2 =	С02Т2 + 2л^,			(3)
где г	и s — целые			числа или	нули.
Как		видно	из	структуры	выражения		(1),	в	начале и
в конце		пути	интегрирования		значения •£ будут				одинако-"
вы. При перемещении точки по кривой L переменная £
будет	изменяться			в некоторых пределах			\| ь	\| 2	( \| i < b ) -
Таким		образом,
			J f l M M ]		+				(4)
1 Как и раньше, звездочкой обозначаем операцию									составления
комплексно-сопряженной величины.
§9.6.							15*		227

можно рассматривать как интеграл

1/(5) Л ,	(5)
L

взятый по некоторому пути, представляющему собой со вокупность (сумму) отрезков интервала \\, |г, проходи

мых	в положительном и		отрицательном			направлении.
Так	как согласно формуле		(1) и условиям			(3)	начало и
конец пути интегрирования на L совпадают, очевидно
(при	учете непрерывности		рассматриваемых				функций),
что каждый отрезок проходится одинаковое							число	раз
как в положительном, так и в отрицательном							направле
нии. Учитывая это		обстоятельство, а также					однознач
ность /( £ ), приходим к выводу, что интеграл							(5), а	сле
довательно, и (4) равен нулю.
Выберем теперь в качестве пути интегрирования пря
мую,	параллельную	оси	абсцисс	(оси	t),	и	составим
подынтегральное выражение (4). В этом					случае
			ОО	00

т=—оо я=—со

и, следовательно,

					оо		оо
f	( 9	J		]			J]	Bmne>^t+n^X
					т——оо я=—оо
	X			оо	оо			=
	X			J]	J]			=
			k=—oo s=—со
	00		00		OO	00
= / ' т	V! У1 V.					У, В „ „ Л „ 6 е " , " " ' * ' ' + ' * " ' " - " =
*m——ooS			л=—со £=—Eсо S=S— oo					S
m=—со л=—со £=—со							S-—
	oo	3		oo.	oo		oo
i M i	CO	^		00.	CO		V I	Zl. „/(fW + «<V)
i M i	\ 1			П	Г1		V I	Zl. „/(fW + «<V)
	&=r — 0 0	S = — 0 0			V = — C O	\|i=—CO
(здесь положено				k + tn = \i,			s+n	= v. Считая почленное
интегрирование				ряда по		t	допустимым, находим

228

§9.6,

00 СО 00 00

4 Е	S	S	S	" v - . . - * * ' - " х
	00 S = — 0 0 v = — 0 0 \| i = — 0 0

x i

Учитывая, что при любых р, отличных от нуля, ин тегралы, стоящие под знаком суммы, равны нулю, полу чаем

		00		оо	0 0
	v=—оо		ft=—oo*s=—00
и отсюда	непосредственно				вытекают		соотношения
00	СО				00	00
А=—оо s=—оо			ft=—оо			s=—оо
при любом		\| v \| = 0 ,		1, 2, ...
После	некоторых			преобразований			имеем
	00	00
	2	2	k(AksB\s^~A%sBks+J^O.				(6)

ft=?—оо s=!—oo

Можно, конечно, аналогичным образом (выбрав путь интегрирования параллельным оси ординат) получить соотношение

00	00
2	2	s(AusB*k^s~A\sBk+^s)	= 0	(7)
s=\ ft=—оо
при любом	\| =	0, 1, 2, ...

9.6.1. Воздействие внешней силы на нелинейную емкость

Пусть заряд конденсатора q связан с приложенным напряжением и соотношением

чЧ(и),

0 )

9 . 6 . 1 .

229

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3323 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ