книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

писать

dt

dt • = - 8 А [ 1 - а д ( р ? + б и m

Ограничиваясь величинами первого порядка малости (относительно £i и |г) и учитывая (7а) § 6.1, можно эти уравнения написать так:

dt

- ^ - = - 8 Л [ 1 - 2 А ( р ? ; 0)]. ]

Второе уравнение интегрируется непосредственно. Полу­ чаем 52 = ЛГем , где /W — произвольная постоянная, а Я = = - 3 2 [ l - Z 2 5 2 (P J; 0)].

Теперь первое уравнение системы (1) напишется так:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

s р° —

^- ^ ^

где Л/ — произвольная постоянная и

Y = SIP?Z1<?Sl/dPl.

Из полученных выражений видно, что для устойчи­ вости необходимо, чтобы X и у были отрицательными числами (случай Х—0 или у=0 из рассмотрения исклю­ чается). Тогда условия устойчивости можем написать так (считая 6i и pi положительными):

dSJdPl<0;

1 - Z 2 S 2 ( p ° ; 0 ) > 0 ,

В случае мягкой характеристики, допускающей ап­ проксимацию полиномом третьей степени, первое усло­ вие выполняется при любых pi и р2 . Поэтому мы рас-

смотрим более подробно второе условие и попытаемся сделать из него некоторые выводы, представляющие для нас интерес.

Предположим, прежде всего, что характеристика лампы может быть аппроксимирована полиномом тре­ тьей, степени. Тогда в соответствии с уравнениями (4) п. 6.1.1 при любых pii>'0

Из (3) и (За) следует S 2 (p° • 0)<'1/Zi, а отсюда вы­ текает, что при всех £, где 1/ZE >1/Zi, условие (4) выпол­ няется.

Если учесть, что величины 1/Zi и 1/Z2 почти тожде­ ственны (с точностью до постоянного множителя) функ­ циям F\ и 7*2, изображенным на рис. 2.15, то можно ска­ занное иллюстрировать посредством рис. 6.2. Очевидно, что условие устойчивости для первого колебания выпол­ нится для всех | < | о , ибо здесь 1/Z2 >1/Z1 . В частности, режимы, при которых условие самовозбуждения выпол­ няется только для первого колебания и не выполняется

что невозможно, так как при i=fe, как видно из рис. 6.2, имеет место не (5), а противоположное неравенство.

Таким образом, граница устойчивости S — ?^1 'для пер­

вого колебания лежит где-то в интерзале 5 в < ? 2 ) < С ^ . Аналогичные рассуждения мокно привести и относи­

тельно второго колебания (частоты D2 ). Здесь, очевидно,

*1 <6i1 , <ee .

Из приведенных рассуждений, в частности, вытекает высказанное ранее во второй главе утверждение, что ширина полосы затягивания определяется не условиями самовозбуждения, а условиями устойчивости, в том смысле, что скачкообразное изменение режима генера­ тора происходит не там, где нарушаются условия само­ возбуждения на данной частоте, а там, где происходит нарушение условия устойчивости этого колебания. Из рисунка непосредственно видно, что действительный ин­ тервал значений £, соответствующих полосе затягивания, лежит внутри интервала значений, границы которого определяются нарушением условий самовозбуждения для первой или второй частот связи (генерации).

6.2.Устойчивость движения. Основные понятия

иопределения

Впредыдущем изложении мы рассмотрели устойчи­ вость установившихся режимов в некоторых конкретных случаях. При этом само понятие устойчивости колеба­

рые применялись, хотя и с некоторыми пояснениями, но без достаточных обоснований и оговорок.

В настоящем параграфе мы постараемся отчасти восполнить этот пробел, приведя более точные форму­

А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости дви­

та появления этой монографии задача об устойчивости движения получила строгую постановку и строгие ме­ тоды решения. В настоящее время теория устойчивости движения получила дальнейшее развитие и преврати­ лась в самостоятельную дисциплину, которой посвящено большое количество фундаментальных трудов. Однако и сейчас остаются в силе основные определения и ме­ тоды, которые были введены А. М. Ляпуновым.

В предыдущем изложении мы пользовались методом, который часто называют методом линеаризации. Этот метод был строго доказан А. М. Ляпуновым для широ­ кого класса задач, и были указаны границы его при­ менимости. Однако кроме этого метода существуют и другие методы исследования устойчивости. В частно­ сти, является весьма эффективным второй, или прямой, метод Ляпунова, которого мы до сих пор не касались. Ниже мы остановимся вкратце и на этом методе.

6.2.1. Определение устойчивости движения

Пусть движение некоторой системы (в нашем случае электрической) описывается совокупностью дифферен­ циальных уравнений первого порядка, которые имеют вид

называют невозмущенным движением. Однако для того, чтобы это решение уравнений, т. е. невозмущенное дви­

будут при всех t>U выполняться неравенства

Невозмущенное движение называется устойчивым асимптотически, если все возмущенные движения, для которых начальные возмущения достаточно малы, при неограниченно возрастающем t асимптотически стремят­ ся к невозмущенному.

Невозмущенное движение называется неустойчивым, если оно не является устойчивым.

Определенную таким образом устойчивость часто называют устойчивостью в смысле Ляпунова.

Введем теперь в уравнение (1) новые переменные xs=>qs(t)— <fs{t),

представляющие собой разность между возмущенным и невозмущенным решением (1) и именуемые возмуще­ ниями.

Очевидно, что возмущения удовлетворяют уравнениям

жающие иные требования к устойчивости системы. Так,

когда рассматриваются не малые изменения в началь­ ных условиях, как это предполагалось выше, а малые и длительно существующие изменения в параметрах системы (малые изменения сопротивления, индуктивностей и других параметров электрической схемы).

Системы, обладающие структурной устойчивостью,

часто называют грубыми.

В более общей постановке вопроса, когда рассмат­ риваются длительно действующие возмущающие фак­ торы (изменение параметров, внешних сил), говорят об устойчивости при длительно действующих возмущениях (возмущающих факторах).

В некоторых задачах представляет интерес так на­ зываемая орбитальная устойчивость движения. Здесь обычно идет речь об устойчивости «орбиты» движуще­ гося тела, т. е. его траектории (при периодических дви­ жениях или близких к ним), в то время как устойчивость по отношению к другим параметрам движения не рас­ сматривается.

Полезно обратить внимание на то, что мы до сих пор всюду имели в виду устойчивость «в малом», когда начальные возмущения считаются малыми. Однако на практике представляют интерес и другие задачи, когда начальные возмущения не малы. Эти задачи требуют особого изучения, ибо «устойчивость в малом», конечно, не гарантирует устойчивости «в большом».

малой области изменения переменных), и, в частности, сюда же относится метод линеаризации (уравнений первого приближения), которым мы неоднократно уже пользовались.

Вторая группа методов отличается тем, что здесь не нужно находить решение изучаемых уравнений и урав­ нения движения используются лишь для построения специальных функций координат и времени. Построен­ ные таким образом функции позволяют судить об устой­