Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

'Далее, учитывая, что Р(р)—полипом,						степень		кото
рого меньше п, получаем
	Р_(Р) =		\ 1		(fr-iK
	L{p)		2j		P— PU
где (b-j)fe	— вычеты	P{P)	в	соответствующих			точках.
где (b-j)fe	— вычеты		в	соответствующих			точках.
Теперь	уравнение	(4)	приобретает вид
	У			Р — Ph
	k-—n'			Р — Ph
	k-—n'
Введем вспомогательные функции у/„ удовлетворяю
щие соотношениям
			Р—Ph					(5)
Тогда очевидно,			Р—Ph
Тогда очевидно,			п'
			п'
		У=	S	!7ft-
Соотношение (5)		перепишем			так:
( p - p f t ) y h = ( a - i ) h ^ + ( * - i ) f c ,					\| А \| = 0 , 1,	2,	пЛ	(6)
Будем рассматривать г/й как преобразованную функ
цию от оригинала yu(t).			Тогда
	00				оо

y*(0)+\dire~pldt

и, следовательно, (6) можно преобразовать к виду

оо

^ (°) + - Г Ь У ь ) е - * < Н = (Ь_Х +

+( а _ 1 ) ^ ] > ( 0 ^ р ' Л

100

§ 4 . 1 .

Для того чтобы удовлетворить последнему соотно шению, достаточно (и необходимо) положить

Таким образом, мы пришли к системе уравнений и начальных условий (7), эквивалентных исходному урав нению и начальным условиям для этого уравнения.

Учитывая, что все ри — мнимые числа, можно поло жить Pk=jti)k и уравнения (7) написать так:

— K i t e = v- {а - .У7 -		(8 )
Остановимся теперь на	одном свойстве	коэффици
ентов (a_i)ft. Составим функцию
Ф(р)-	р'

где 5 — целое положительное число, лежащее в пределах 0 < s < n — 1 .

Рассмотрим	интеграл	от Ф(р),	взятый	по	окружно
сти С достаточно большого радиуса, такой,				что все осо
бенности Ф(р) лежат внутри этой			окружности. Этот ин
теграл, с одной	стороны, будет		равен сумме		вычетов
Ф(р) в точках р = рк, т. е.
\ф{р)йр^		£ (a_,)f t / f,
С		k=—n'

и, с другой стороны, — нулю, так как подынтегральная функция при стремлении модуля р к бесконечности стре мится к нулю не медленнее, ч е м ^ . Отсюда

	S (а-Х(Ы5	= 0.	(9)
	fe=—п'
Умножив (8) на (jmk) s [0^s<n — 1 ] и просуммировав
по k от —п' до п'	с учетом (9), находим
п'		п>
4r £	( / ч ) ' * / * =	j ]	(Ю)
*=—/!'		k=-n'

§ 4 . 1 .

101

Полагая сначала s = 0, получаем

(П)

= 2j

Дифференцируя (11) по t, воспользовавшись уравнени ем (10) при s = l , напишем

о ч ) ^ , .

(12)

Дифференцируя теперь (12) по /, полагая в (10) s = 2, находим

k=—n>

Аналогично можем записать

			k=-n'
гти положительных			целых		л лежащих			в пределах
0 < г < п .
Учитывая		теперь	(14), можем			заменить		под знаком
F аргументы		у, у', . . . ,		г/<п-*> через		уъ	в результате		чего
получим функцию F\,			зависящую от аргументов уи уг, ...,
уп;	t, т. е. Fi = Fi(yi,			у2,	уп-\\	t). Для		упрощения
записи можно совокупность функций уи уг,								..., уп	обо
значить	одной буквой у			(т. е. ввести n-мерный вектор-
столбец	с компонентами			уи	уг,	уп)	и написать		Fi =
Уравнение		(8) теперь приобретает вид
	% - / » * ^ = ^ ( я - , ) * Л 0 л						0-		(15)
Можно систему			(15)	записать		в виде одного вектор
ного соотношения:
<^~jo>y				=	n(a_1)F1(y,		/),		(16

§ 4 . 1 .

причем здесь под (a_i)			подразумевается n-мерный век
тор-столбец с компонентами				(a-i)ft,		а	под о> подразуме
вается n-мерная диагональная					матрица		с элементами <о&.
Остановимся теперь на одном специальном случае,
представляющем		для	нас	особый		интерес.		Допустим,
что функция	F(y,	у',	уп)		может	быть представлена
в виде
F =	(bn S + ^ . - ^ d F ^ +				' - ' + ^ o y F0(y),			(17)

где F0— однозначная функция от у, имеющая ограничные производные до п-й включительно. В этом случае все предыдущие рассуждения можно повторить с не большими изменениями. Произведя преобразование по Лапласу над уравнением (1), получим вместо (4)

J T —

, / ^

)

F° +

P(P)

У —' г -—

где U(p) ='bnpn

+ bn-ipn~i+

.. . +Ь0

и Р(р)

полином от р

степени не

более

высокой,

чем п,

коэффициенты

кото

рого

зависят

от

начальных

значений у,

у',

...,

уп~1;

F0,

dFo/dt,

..., d^-VFo/dt71-1.

Выделим

из

отношения

U(p)/L(p)

целую

часть и произведем

разложение

остав

шейся части на простейшие дроби. Тогда

L ( P ) -

а п ^

Zj ^-^к

p - P h •

Введем

теперь

функции

у0

и г7/< посредством соотно

шений

Уо — Р^-Рь,

уп

= (с_1)к\х,

F°

«я

Р — Ph

Подобно предыдущему приходим к следуюдей системе уравнений:

y0(t) = V--^F0; ^ — K f t = MC - ,)^» -

причем здесь F0			= F0(y) =F0(y0		+ yt + .. . + уп) i
1	Изложенный		здесь метод получения системы дифференциаль
ных	уравнений	первого		порядка был применен автором в {5]. Сход
ный	по идее	метод	(но	отличный	как	в постановке задачи, так и
в способе изложения) имеется в работе						Л. В. Постникова.
§4 - 1,						)03

4.2. Составление укороченных уравнений

Введем теперь новые переменные Ah (медленно ме няющиеся амплитуды) посредством соотношений

				№ = у 4 е И , , ( ,					(1)
тогда		уравнение		(15) § 4.1 приобретет вид
		^	= 2V.{a_1)ke4"kt		FAAr,	К ...,	Ап;	I),	(2)
где	F2—функция,			полученная из		F после		подстановки
в последнюю (1).
	Введя		и-мерный вектор А с компонентами Ah						А2, ...,
...,	Ап,	можем также написать
			^ - 2 f x ( a _ 1 ) f e e " / ' V			F2(A,	t).		(3)

Если воспользоваться определением экспоненциаль ной функции от матрицы, можно систему (3) записать в виде одного векторного соотношения:

^ = 2 ^ - ^ ( « . 1 ) / 7 , И . О -

Таким образом, мы свели задачу к интегрированию системы из п дифференциальных уравнений первого по рядка, разрешенных относительно производных. В об щем случае, конечно, не удается найти решение этой системы в форме, пригодной для практического исполь зования, однако благодаря малости параметра ц. во мно гих случаях можно найти удовлетворительные прибли женные решения.

Прежде всего естественно возникает мысль о приме нении метода последовательных приближений (метода возмущения). Во многих случаях это дает хорошие ре зультаты, но для большинства задач, с которыми нам придется иметь дело, этот прием построения приближен ных решений совершенно непригоден. Сущность этого метода сводится к следующему.

Учитывая малость ' параметра			ц,	рассматриваем
сначала систему	уравнений	первого	прибижения		dAJ.dt—
— 0. Эта система	имеет	решением	=	const,	причем

эти постоянные могут быть отождествлены с заданными

104

§4.2.

начальными значениями величин Ak = Ak(Q). Предполо жим, что Ah = A^-\-i>.A^\ где \>,А{^ — малые по абсолют ной величине функции времени. Подставляя это выраже ние в (2) и удерживая лишь величины первого (по отно шению к (А - нулевого) порядка малости, получим для опре

деления А^} следующую		систему		дифференциальных
уравнений:
dt	•Фк{А\1\А^,...,А^;1)		=	Фк{£\	(),	(4)
dt
где через \аФн обозначена		правая	часть уравнения			(2)

при подстановке в нее вместо неизвестных величин Ah

известных	Л ( 0
Уравнения		(4)	интегрируются		при начальных		условиях
Л ( л 2 ) (0)=0 .	Полагая затем			Ак	= А™ +	\>А™ +	и
удерживая	лишь		величины	порядка не		более высокого,
чем р.2, можем		найти'аналогичное уравнение для					А^К

Таким образом, мы можем получить ряд, располо женный по возрастающим степеням ц. Ограничиваясь


каким-либо			приближением (обычно первым или вторым,
т. е. удерживая				лишь члены,		порядок малости		которых
не	выше	и.	И Л	И и.2), получаем приближенное					решение
задачи. Однако легко убедиться, что полученное реше
ние, по		крайней		мере во	многих случаях,		представляет
достаточно точный результат лишь при малых значениях
параметра			ц и небольших		(в	смысле порядка		малости)
значениях независимой переменной t и не годится при
больших t (в частности, когда по характеру задачи не
обходимо			рассматривать		бесконечный		интервал		t).
В	этом	можно		убедиться,		обратившись	к	простому

примеру.

Пусть функция, стоящая в правой части (2), не за висит от t, и уравнения имеют вид

^ = < Ы Л „ л,,..., лп )=<мл)

и A^ = Ah(0).

Уравнения второго приближения можно написать так:

« 4 . 2 .

10В

и, следовательно,

Как видно из этой формулы, Л( 2 ) с течением времени неограниченно растут, и, следовательно, рА^ , как бы

мало ни было р,, при достаточно большом t станут не малыми, т. е. мы вступим в противоречие с исходным предположением, что в рассматриваемом приближении величиной р-А^ в правой части (2) можно пренебречь.

Обратим	внимание	на	один специальный		случай,
когда Ф Й ( / )	удовлетворяют		соотношениям
			dt	С,	(5)
где С — положительное,		не	зависящее ни от ц,		ни от t
число. Здесь	уравнения
	dA^/dt		=	Фк (О
будут иметь	решение

которое при любых t остается величиной ограниченной, и, следовательно, v-A^ (f) всегда мало при малых \а, а значит, указанное выше противоречие в данном случае отпадает.

Сказанное показывает, что метод последовательных приближений, как правило, пригоден лишь в тех слу чаях, когда представляют интерес лишь небольшие ин тервалы времени, но все же, видимо, существуют такие его модификации, когда его можно применить и для больших интервалов t. Последнее обстоятельство для нас особенно важно, ибо задачи, с которыми приходится сталкиваться в теории колебаний, очень часто требуют рассмотрения на больших (порядка l/ц) или даже на бесконечных интервалах времени. В качестве примеров можно привести все задачи, связанные с установлением колебаний в автогенераторах, а также задачи, относя

щиеся к области теории устойчивости	колебаний.
106	§4.2.

Метод ММА применяется к уравнениям с малым па

раметром	и пригоден для рассмотрения подобных за
дач. Этот	метод введен в радиотехнику впервые Ван-
дер-Полем,	который рассмотрел ряд задач, связанных

с установлением	колебаний	в	ламповых	генераторах
и других (не только радиотехнических) системах.
В дальнейшем этот метод получил дополнительное
применение и	обоснование	в	работах	академиков

Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова

и их учеников. Особо следует отметить работы									академи
ков Н.	Н.	Боголюбова,		Н.	М.	Крылова,			а	также
Ю. А. Митропольского,			посвященные				дополнительному
развитию	и	обоснованию		метода		ММА		(или,		как	он
часто называется, метода усреднения).
Сущность метода ММА				с учетом			сказанного выше
можно пояснить следующим				образом.
Обратимся вновь к уравнениям (3)							и будем			сначала
рассматривать функцию F2(A,					t)	как	функцию			га+1	не
зависимых		переменных	Л ь	А2,		Ап		и t.	Допустим
теперь, что		F2 как функция		от	t	может		быть	представ

лена в виде суммы двух членов: F2 = Fz + F^ причем F3 представляет собой конечную тригонометрическую сум му, состоящую из п членов, содержащих лишь слагае

мые с частотами	СОЙ, т. е.
	' . = 4 -	S
где Ms зависят явно лишь от А\, А2,				...,	Ап.
/ л е _ ' ш » представляет собой функцию от t без постоян
ной составляющей в том		смысле,		что
	j Y /	V	FAt)dt
	о
— ограниченная	функция	от t	при любых t^O и соь (при
интегрировании	величины	Аи	А2,	...,	Ап считаются по

стоянными). В частности, это будет иметь место, если Fi представляет собой конечную сумму (а при известных условиях и бесконечный ряд) вида

(О

§ 4 . 2 .

107

где vr — числа, не равные ни одному из со/г (и не близ кие ни к одному из них), а Nr— коэффициенты, завися щие лишь от Ah, но не зависящие явно от t.

Теперь мы можем систему (3) переписать так:

(6)

причем среди членов, входящих под знак суммы, отсут ствует один, соответствующий индексу s = k. Учитывая, что согласно сделанному предположению среди юн нет попарно равных (или даже близких), приходим к вы воду, что уравнения (6) можно записать в форме

dAbldt^via^yMb

+ vF^,

(7)

где F^' представляют собой функции, удовлетворяющие условиям (5).

Систему укороченных уравнений для медленно ме няющихся амплитуд получают из (7) путем отбрасыва ния последнего члена и пишут

		dAk/dt =li(a-i)kMk.					(8)
Эти уравнения и являются основными						уравнениями
метода ММА.
Использование системы				приближенных		уравнений (8)
вместо	точных (7) основано на предположении, что от
брасывание членов			(f)	допустимо	и не	приводит к
большим	погрешностям, в то время				как член		\i(a-i)uMk
отбрасывать		нельзя,	несмотря на то, что он				имеет тот
же порядок		малости,	что и отброшенный член. Сообра

жения, которые позволяют сделать такое предположе

ние,	тесно связаны со сказанным выше		и вкратце	сво
дятся к следующему.
Для простоты предположим сначала,			что Р^ (t) может
быть	представлена в	виде
	F(VA,	t) = ak(A)bk(t),		(9)
где an — функции, зависящие явно лишь от АиА2,				Ап\
bu(t)	зависят только от t и удовлетворяют условию			(5);

108

§4 . 2 .

причем обе эти функции ограничены в рассматриваемой области изменения А и для всех t^Q.

Теперь можем из (7) получить (интегрируя от 0 до/)

t	t
A (О = Ак (0) + ц (a. ,)f t f Л/Й Л +	ц j afc6* (/) Л .
о	о

Последний член в правой части преобразуем так:

Sh =

(A) bh

(t) dt =

^ah

(A)

j bh (т) dzdt.

Полагая

Ф* (t) =

j 6ft (x) cfT ,

можем

написать

ak[A(t)]fH{t)-^?H(f)^-dt.

Учитывая,

что

s=\

s = l

получаем

(10)

(x j

afe6ftcft =

n5f t =

jiaf t

[Л (0] Tft (t) —

- ^ | М 0 5 ] Й Ч ( а - . ) . М . + а А ] Л .

s = l

Полагая,

что

производные дак/дА3

ограничены, и

учитывая

ограниченность

срь(0>

получаем

оценку

)j,|Sft| ^;p,[P.+ |j,/Q],

где Р и

Q — положительные

числа,

не зависящие от ц.

t^L/ii,

где L — некото

Отсюда

видно,

что при всех

рое положительное

число, не зависящее от ц, \iSk

будет

малой

величиной

порядка

ц. Это

позволяет

высказать

предположение,

что

отбрасывание

второго

слагаемого

§ 4 . 2 .

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ