Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

йлй

+	с ,	с ,
		с ,
yt = — (У. + У2 + Уз + у4 ) •		(8)
1 + С , +	С 2 ) С,

Если теперь в уравнениях (3)—(6) перейти от изо бражений к оригиналам, подобно тому как это делалось раньше, и учесть (8), то мы перейдем к системе из четы рех дифференциальных уравнений первого порядка с че тырьмя неизвестными, к которой непосредственно приме ним метод ММА. Два из этих четырех уравнений имеют вид

d-Уг	. и										/ К - ш)1 X
dt	. и		"		\|	1	1	'	2 С ,	8	/ К - ш)1 X
dt	1	2	"	-	\|			'	2 С ,
	1	-	е	-
	Х ( у . +		у 2 + у 3				+		У4+У5);		(9)
dtin					2CS
-ft—;vy2=-					2CS						» ) ] ( У . + У 2 +
			+		У5 +		У4 + У5 ).				(10)
где уъ выражается		посредством							(8).
Однако, как легко			видеть,				в этих уравнениях члены,

содержащие уъ, имеют второй порядок малости и в соот ветствии с принятой нами методикой могут быть отбро шены. Далее заметим, что по соображениям, которые уже неоднократно высказывались в предыдущих главах,

имеют	место		соотношения
				y3 = y*i; у4			= У*2,				(11)
и, следовательно,				можно		дифференциальные				уравнения
задачи	написать			так:
	-	-	W ,	= -	4" { / « * + 2			<*! +	/ 8 а ) 1 +	/ ш	X
			х ^ - J ( y 1 + y 2 + y * 1					+ y * 2 ) } ;			(12)
			Ч +		М	+ / v	с,	(У, +	У2 +	У*1	+ У*2)-
			Ч +		М	+ / v	2 С ,	(У, +	У2 +	У*1	+ У*2)-
											(13)
Причем		здесь		8(Oj — ш — ш,;			8св2 =	v — ю 2 .

210

§9

Теперь положим у1 = 0,5Л,е/ щ '			и у2 = 0,5А2ем,	и учи
тывая,	что e = Emcoswt	получим
	4 J L _ - ^	! ± p l	+ [«,+;ч +
- H « - & r ] < V " ' +		V ' ' - M V _	W - M V - ' " )	}• (14)
При	составлении	укороченных	уравнений мы должны

справа оставить лишь „медленные" члены; очевидно, что

слагаемые,

содержащие

множители

e~2iat,

е'^~ю)1

е/(»+<°)< ( е с л и

н е близко к да),можно

отбросить.

Кроме

того,

напишем

еч"С,(Уг

+ У, + У\ + У\) = -т

(л, + V

( v

M )

' + лv -

, w

/(,

)

л»в- -"') -

= -L | с л + 4 V < 2 + ~ e ) * +4-^V+ / ( 2 _ v _ m ) ' +

-|- С_л у('-»-й)<_|_

_ | . л

* у <в-а.)*j+

„быстрые"

слагае

мые.

(15)

В дальнейшем мы будем рассматривать

два

случая

(в соответствии с тем, что имеет место при

практическом

применении

двухконтурных

параметрических

усилите

лей) :

Q близка

частота

накачки

к coi + co2

частота

накачки

Q близка

к |coi—со21;

при этом

могут

иметь место два

варианта: ( 0 2 > < » 1 и <»2<coi.

Рассмотрим

сначала

случай, когда

С1^т1-!гт2.

Тогда

в выражении

(15)

будет

только два

медленных

члена, а

именно: 0,50^ и 0,25CA*„ei{s~'!'~v)t.

Воспользуемся имею

щимся еще произволом в выборе v и положим v = Q—to;

при этом мы не нарушаем

требование,

чтобы v было

близко к игДействительно, v=^<oi + co2—со=со2.

можем

Учитывая все сказанное и обратившись к (14),

написать первое укороченное уравнение в виде

dAi

. со

~1Г

- 1 - % - Е т -

(а, +

/8»,) 4 -

(С0Аг

+ 4

А \

)

§9.2.

14*

211

или

dt + + +	— - Г	4 ~b • lc	CA*2
	2 C \ ь °

(16)

Теперь обратимся к уравнению (13) и проделаем ана логичные преобразования. Прежде всего получим

	dA2			—,\t
	dt	~~		е
X	(Ле'"' + ЛV ~ / W + Агем					+	А*2е~м).
„Медленные"			слагаемые		выделятся	так:
е'МС3 (У1 +	уг	+ У*1		+<Л) =^- [С0 + 4" С^'52' + e 4 a t )				X
X [ Л . в » 1 ^ ' +		4	+	А\е-'{°+*	+ Л V _ 2 i v t ]		= 4" С <И2	+

+Л*, -|- „быстрые" слагаемые.

Второе укороченное уравнение теперь приобретает вид

dA.	+ ( Ч + / Н + / - ^ - ) Л, + / - g - Л* = 0. (17)
dt

Ограничимся сейчас рассмотрением установившегося режима, когда комплексные амплитуды AI и Лг постоян ны. Тогда уравнения (16) и (17) дают

+= 0 ,

где (л.,= « . + / ( 8 - . + - ^ - ) ;

212

§9 . 2 .

Меняя в последнем уравнении все величины на ком плексно-сопряженные, получаем систему

ъАг + 1 ^ £ - А \ = - } ± - Е т ;

(18)

/ - ^ А - 1 * * И * , =

(19)

Решение этих уравнений имеет форму

А =

~ * 2

г 2

;

(20)

C0i со2С

Ь>£т

С02С/4С2

^ 1 |

Л г ~

16С,С2

Теперь

обратимся

ко

второму

случаю,

когда

Q=^

|(coi—«02) I . Полагаем теперь

v — a—Q

при

toi>ico2 или

v = co + Q

при

co2>coi.

Здесь

независимо

от

того,

какой

знак имеет разность coi—сог, медленный член в выраже

нии (15)

имеет вид 0,5[C0 Ai+'0,5CA2 ],

и,

следовательно,

вместо уравнения (16) получим (А*2 заменяется

А2)

Чг

+ («, + / Ч + /

+ / g Л2 =

/ 4J- Ет. (22)

Аналогично

в уравнении

(17)

A*i

заменяем

и по

лучаем второе

уравнение

4 г

( - 2

+ / Н +

^ )

Л 2

/ ^ г

Л 1 = 0 .

(23)

Учитывая введенные выше обозначения, можем напи сать для стационарного режима

H'i-^i ~\~ i 4С, ^2=* — / ~2~Ет;

и, следовательно,

«•> р

со, . . .

K-i№S + 1 6 C i C ,

§ 9 . 2 .

213

9.3. Усиление колебаний

Обратимся теперь к усилению колебаний. Можно, вопервых, рассматривать случай, когда полезная нагрузка включена в первый контур, и характеризовать усиление отношением мощности, поглощаемой в этом контуре, к полной мощности, отдаваемой источником э. д. с ; бу дем в этом случае условно говорить об усилении в пер вом контуре1 .

Если предположить, что полезная нагрузка сосредото чена во втором контуре, то в этом случае можно харак теризовать усиление отношением мощности, поглощае мой вторым контуром, к полной мощности, отдаваемой внешней э. д. с ; в подобной ситуации будем говорить об усилении во втором контуре. Можно, впрочем, ввести и третий коэффициент, определяемый как отношение пол ной мощности, выделенной и в первом и во втором конту ре, к мощности, отдаваемой внешним источником э. д. с. е. В последнем случае можно условно говорить об общем

усилении в системе. Если первые два коэффициента					обо
значить	соответственно	через	Ki и Кг, а	последний — че
рез К,	то будет иметь	место	очевидное	равенство	К =
= Ki +	K2.

Коэффициент К характеризует работу источника на

качки: если Л^>1, то устройство, осуществляющее			накач
ку,	отдает энергию	в рассматриваемую систему	(т. е.
эффект усиления по		мощности имеет место); если же
К<\,	то «накачка»	играет роль не источника энергии,

а поглотителя, и, следовательно, эффект усиления отсут ствует. Дополнительно следует обратить внимание на то, что из К<\ вытекает Ki<\ и /С3 <1 (Ki и Кз обычно по ложительны), однако обратное заключение сделать нельзя.

9.3.1. Усиление в первом контуре

Обратимся теперь к схеме, изображенной на рисунке 9.2 и отличающейся от схемы 9.1 лишь тем, что вместо конденсатора С3 здесь введена э. д. с. е3, причем е3 =<7 (э. д. с. ез равна напряжению на конденсаторе С3, но на правлена в противоположную сторону). Очевидно, что схемы рис. 9.1 и 9.2 эквивалентны друг другу в отноше нии процессов, протекающих в контурах.

1 Здесь уместно повторить подстрочное	примечание к п. 8.4.1.
214	9 . 3 . 1 .

Прежде чем переходить к вычислениям, отметим, что в силу резонансных свойств рассматриваемой системы в первом контуре протекает ток с частотой to, а во вто ром — частотой v. Действительно, э. д. с. е, имеющая ча стоту со, может вызывать в любой части схемы колеба ния только с этой частотой. Э. д. с. е3, как видно из пре дыдущего, состоит из двух гармоник с комплексными амплитудами Л4 и Л2 , соответствующими частотам со и v=co2. По отношению к е3

оба контура включены последовательно, причем первый контур представ ляет собой большое сопро- L тивление для токов с ча стотой со и небольшое — для токов с частотой v.


Второй		контур,	бу
дучи	настроен на частоту
©г,	представляет		боль
шое	сопротивление		для	Рис. 9.2.

токов с частотой v и не
большое— для		токов с частотой		ко. Таким	образом, со
ставляющая	ез,	имеющая	частоту	со, почти	целиком	при
кладывается	к зажимам		1—/, а	имеющая	частоту	v —
к зажимам 2—2		(рис. 9.2). Отсюда следует			высказанное
выше утверждение, что в			первом	контуре	циркулируют

токи с частотой со (составляющая тока частоты v прене брежимо мала), а во втором контуре — с частотой v.

Обозначим комплексную амплитуду тока в индуктив ной ветви первого контура через 1\. Этот ток согласно принципу наложения можно рассматривать как сумму

токов	и/1 ,		2 ' , вызванных соответственно э. д. с. ез при
отсутствии	е	и э. д. с. е при отсутствии ез. Для		первой
составляющей			можем написать (учитывая, что падение
напряжения		на зажимах 2—2 мало и что ri^coLi)
			Л 1 / ( / < о ^ + Г 1 ) = Л1 //ш^.	(1)

Для вычисления второй составляющей мы должны рассмотреть схему, в которой действует е, а ез отсутству ет (зажимы генератора е3 замкнуты накоротко). Легко видеть, что полученная схема не будет резонансной по отношению к э. д. с. е (параллельно к настроенному в ре зонанс первому контуру присоединяется дополнительная

9.3.1.

215

нагрузка), и, следовательно, ток 1№ будет мал, так как е по условию мала. Таким образом, мы можем прене

бречь / i ( 2 ) , в формуле (1) опустить верхний	индекс и на
писать
Л = —Л/yooLi.	(2)

Рассмотрим сначала случай, когда й^ссч + согВоспользовавшись формулами (2) и (20) § 9.2, мо

жем вычислить мощность Pi, поглощаемую сопротивле нием г ь (которое считается полезной нагрузкой).

Тогда

Р — J _

I / |а г _ £ « .

г '

I Р % I 2 «

где введено обозначение a2 = a)iW2C2/16C1C2. Теперь вычис лим мощность Яг , отдаваемую э. д. с. е: Pr=0,5ReEmIi. Воспользовавшись (2) и (20) § 9.2, получим

Р	£ т	р р	Р*2	Elt	Re [(Х»з ({X*ifX2	— а 2 ) ]		, 4 ч
' г -	4L,	к е	f * , f * * , - f l *	4L, '	\| ^ * 2 - а	г \| 2	'	W

Найдем коэффициент усиления по мощности Ки ко торый уже определен нами как Ki = Pi/PT- Согласно (3) и (4)

К		rx \ Н-*2 \| 2					a, I		I 2
Х , " — 2 1 ^ е [ к . * , ( \| 1 . " , к . , - а * ) ]					"~~	Re [ ц ' ,		(ц'.н-, - л * ) ] '
Введя обозначения
			267,	'	""2	— ^ 2	г	2С 2	'
можем написать		ц1 =	а,-\|-//и1 ;(л,2 =				а 2 - т - / т 2		и, следова
тельно,
Re	[\|**, \| !х212		- а > М		=	о, \| ^ 2 1 2		- a2a2;		(5)
ft	—	a »	I Ра	I 2	_			}		(5)
ft	—	a »	I Ра	I 2	_			}
								Ы 2

Из полученного выражения видно, что коэффициент усиления по мощности в первом контуре всегда больше единицы (если, конечно, он положителен), откуда сле дует, что усиление имеет место.

216

9.3.1

Теперь	найдем коэффициент усиления по мощности
в первом	контуре для случая, когда Q ^ \| t o i — т \ . В свя
зи с тем, что формула (24) § 9.2 получается из (20) § 9.2
путем замены а2 на —а2 и цг на р*2 , можем для рассма

триваемого случая непосредственно написать выражение

для К, заменив в (5) а2	на —а2 . Получаем
=	1	— •	(6)
1	1 + а-	"2	4 '

Из этой формулы видно, что при Q=^|coi—0)2] вели чина Ki всегда меньше единицы, и, следовательно, в этом случае эффект усиления в первом контуре иметь места не будет.

9.3.2. Усиление во втором контуре

Предположим теперь, что полезная нагрузка включе на во второй контур. Обратимся сначала к случаю, ко гда Q = ^ C U I + CU2. Обозначим ток во втором контуре через / 2 ; подобно предыдущему можем считать мощность, по глощаемую г2, равной

^ 2 = ~Т~ 1^ 1"Г а = 2 (to2 Z,2 )2 l ^ 2 ' 2

или, воспользовавшись (21) §9.2, найти

8 (w2L2y • 16С| |

— а 2 | 2 '

Следовательно, усиление во втором контуре опреде ляется отношением К2 = Р2/РГ и будет равно [РГ опреде ляется формулой (4) п. 9.3.1]

8(co2 L2 )2 •	1 6 С 2	• Re[H.2 ((J.2 H.,-fl2 )]
со2		а2а	(1)
(О,	а, \| (Л2 \|		(1)
(О,	а, \| (Л2 \|
Из полученной формулы		видно, что можно всегда

выбрать а2 таким, чтобы К было больше единицы (коэфициент модуляции емкости достаточно велик) и даже сделать К2 отрицательным. Если последний режим устой- 9-3.2, ' 217

чив, то источник э. д. с. выполняет функцию поглотителя энергии, а не генератора.

Перейдем теперь к случаю, когда Q^|coi—сог[. Выра жение для коэффициента усиления получается подобно предыдущему из формулы (1) путем замены в знамена

теле а2 на —а2 ; таким образом,
Из этой формулы непосредственно				вытекает,	что		при
<Й1>'0)2 ^Сг<1,	т. е. усиление во		втором контуре		места		не
имеет.
Если Ы 2 > К 1 1 , то Кг может 'быть больше единицы. На
пример, при	малом	сопротивлении		первого контура			г ь
а следовательно, и малом ai			/Сг^со2 /со1> 1.
Отсюда видно, что в рассматриваемом сейчас случае
усиление во	втором	контуре может		иметь место		лишь
При G)2>(01.
	9.3.3. Общее		усиление
Вычислим	теперь	величину,	которую мы		в	начале

§ 9.3 обозначили через К, характеризующую общее уси

ление в системе. При		Q^coi + o)2 можем		написать
	<02
«i Р-а \|г	+ 77" " г * 2		2	.	2 .
К—	-1	= 1-1			\ + -?-\
о, \| (х2	\|* — а 2 а 2	~	а, \| (х2 \|» — а 2 а 2 ^		~ to, J

Таким образом, здесь всегда К>\ и эффект общего усиления имеет место (случай Ki<0, /Сг<0, как обычно, из рассмотрения исключается). При Q^|coi—сог|

К=1-	2	-\|- я 2 я 2	I	щ ]

В последнем случае усиление имеет				место (К>\) лишь
П р и УСЛОВИИ C 0 2 / C 0 i > l .

9.4. Эквивалентная схема двухконтурного параметрического усилителя

Полученное выше выражение для напряжения на кон денсаторе переменной емкости позволяет построить экви валентную схему двухконтурного параметрического уси

лителя. Эта схема состоит из одного контура	с подклю-
18	§9.4.

ченной к нему дополнительной Нагрузкой (в общем случае комплексной), учитывающей воздействие второго контура и модулируемой емкости С3 на первый контур. Эквивалентность здесь, конечно, соблюдается лишь в от ношении составляющих напряжений и токов в первом

контуре,	меняющихся с частотой <о. Можно, конечно, со
ставить	и другую схему, эквивалентную по отношению
к токам	(или напряжениям) частоты -v, протекающим во
втором	контуре.

Обратимся теперь к рис. 9.2 и будем при этом рас сматривать первый контур как находящийся под воздей ствием двух генераторов: генератора напряжения е и генератора тока /з- Воспользовавшись принципом супер

позиции

и учитывая,

что зажимы /-/ находятся под на

пряжением е3

(имеются

в виду

лишь

гармоники

/ 3

и е3

с частотой со), можем написать

Д = / .

г ^ - ^

X /соС,

I , (/со/., +

г,)

Ет

(1)

1 — co2 L,C, +

/coCV,

Если к зажимам / - / вместо всей правой части схемы

подсоединить

проводимость

равную отношению

—I3/Ai,

то в первом контуре

никаких

изменений

не

про

изойдет. Разделив обе части

(1)

на

А2, найдем

1 =

f -

( /

',)

Г]

l - c o s L . c U / c o C V ,

ИЛИ

У = 7

- f

г,

i ; + « o » L 1 c l - / « » c 1 r I ' .

/со/.,

Ограничимся сначала случаем Q^coi + сог; тогда, обра тившись к формулам (20) § 9.2, получим

Л,

[Х*2СО

§9 . 4 .

219

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3322 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ