книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)
.pdfТаким образом, приходим к почти очевидному вы воду, что если величина обратной связи недостаточна для того, чтобы система могла •самовозбуждаться (без
внешней силы), |
то |
режим |
одночастотных |
колебаний, |
|
вызванных внешним |
воздействием, будет устойчивым. |
||||
2. x S ( 0 ) > l , |
т. е. при отсутствии внешней |
силы |
си |
||
стема способна к самовозбуждению. Здесь условия |
(20) |
||||
выполняются уже не |
всегда, |
и, следовательно, режим |
|||
одночастотных колебаний не всегда возможен. |
|
|
|||
Обратимся сначала к неравенству (20а) и будем рассматривать его левую часть как функцию от ро. Оче видно, что при ро = 0 эта функция отрицательна, но при увеличении ро отрицательный член —xS(po) убывает,
У.
а член —2"Ро5'(ро) всегда остается положительным (так
как S'<0). Отсюда следует, что при |
малых |
ро условие |
|
(20а) не удовлетворяется |
и что уравнение |
|
|
l - * S ( P l ) |
^-P0S' (Р,) = |
0 |
(21) |
имеет по крайней мере одно решение. Если ограничить ся случаем, когда (21) имеет только одно решение (так, например, в случае кубической характеристики), то можно утверждать, что условие (20а) выполняется при всех p 0 >pi .
Этот результат хорошо иллюстрируется на графике, полученном в третьей главе при исследовании регенера
тивной схемы и воспроизведенном |
на рис. 5.5. Все ре- |
|
шения, для которых ро лежит |
||
выше прямой ро = рь |
удов |
|
летворяют условию |
(20а), |
|
а те, что лежат ниже этой |
||
прямой, |
указанному |
усло |
вию не |
удовлетворяют. |
|
т
Рис. 5.5.
140 |
§ 5.3. |
Обратимся теперь к условию (206), которое, как можно видеть, удовлетворяется во всех точках плоско сти бсо, ро, за исключением некоторой области, ограни ченной замкнутой кривой (овалом). Действительно, при любых бсо условие (206) удовлетворяется, если р0 до статочно мало. В этом случае множитель 1—xS(po) отрицателен и одновременно отрицательно также и 1—х(5 + р 0 5'), а, следовательно, вся левая часть нера венства (206) положительна. Аналогичное положение имеет место и при достаточно больших ро, ибо в этом случае оба упомянутых множителя делаются положи тельными, и, следовательно, условие (206) также удов летворяется. Теперь отметим, что величина
ia2![ 1 - x S (ро) J {1 —х [S (ро) + ро5' (ро) ]}, рассматриваемая как функция от ро, будет ограниченной при любых 0=sCpo<oo, и, следовательно, найдется такое (бол)2 , что неравенство (206) будет удовлетворяться при любых р0 и (6со)2 > (6coi)2.
Из этих соображений и вытекает высказанное выше утверждение, что совокупность точек, в которых нера венство (206) не удовлетворяется, образует ограничен ную область F, лежащую, очевидно, выше оси абсцисс, симметрично относительно оси р0 . Границу этой области можно найти из уравнения
а2 (1—xS) |
[1—x(S + p0 S')]+(6co)2 = 0, |
(22) |
|
рассматривая бсо как функцию от ро. |
|
|
|
Этот результат |
иллюстрируется |
рис. 5.5, где кривая, |
|
уравнение которой |
представляется |
формулой |
(22), на |
несена в виде овала, ограничивающего область F. Таким образом, найденные раньше стационарные ре
шения (значения ро при данном бсо) будут устойчивы и могут реализоваться, если они не попадают в заштрихо
ванную на рисунке |
область (лежат |
не ниже прямой |
po = pi и вне области |
F). В противном |
случае соответст |
вующее стационарное решение не будет устойчивым и физически реализоваться не может.
§ 5.3.
6
У С Т О Й Ч И В О С Т Ь К О Л Е Б А Н И Й В Д В У Х К О Н Т У Р Н О М ГЕНЕРАТОРЕ. О Б У С Т О Й Ч И В О С Т И Д В И Ж Е Н И Я
В О Б Щ Е М С Л У Ч А Е
6.1. Двухконтурный ламповый генератор. Исследование
устойчивости стационарных решений
Вернемся к двухконтурному ламповому генератору, рассмотренному уже во второй главе, и исследуем те-
Рис. 6.1. |
|
перь более подробно возможные режимы |
автоколеба |
ний и их устойчивость. |
|
Обращаясь к рассматриваемой схеме |
(рис. 6.1) и |
используя обозначения, приведенные на рисунке, соста вим дифференциальное уравнение задачи.
Рассматривая £а как генератор тока и применяя
преобразование Лапласа, можно |
написать |
ug=-iaZ(p)K(p), |
(1) |
г д е |
|
|
1 |
Z(p) = |
j — L - L ; |
142 |
§ 6.1% |
7 |
Р*М |
^•вн— |
j • |
|
Р^Л-ГгЛ-рс; |
После очевидных подстановок и алгебраических пре образований, которые мы здесь опускаем, получим
где |
|
|
|
|
|
V (р) = |
(Ра + |
2а,р + <ф (р2 + 2а2 р + |
со*) - |
||
_ КУ |
= |
(1 - |
/С2) р* + |
2 (а, + а2 ) р' + |
|
+ К + т\ + 4 а ' а - > ^ + 2 ^ |
+ а Л > Р + ° v v |
||||
Причем здесь введены обычные обозначения: |
|||||
Уравнение (1) можно |
теперь |
написать |
так: |
||
|
V{p)»>s = ±U(pYK- |
(2) |
|||
Учитывая, что степень полинома V(p) |
равна четырем |
||||
и что число независимых начальных условий, которые можно задать в рассматриваемой схеме, также равно четырем, можно всюду р заменить оператором диффе ренцирования и считать, что полученное дифференциаль
ное уравнение |
описывает |
поведение |
рассматриваемой |
системы при произвольных |
начальных |
условиях1 . |
|
Прежде чем |
переходить |
к составлению укороченных |
|
уравнений, сделаем некоторые предварительные заме чания.
Анодный ток i a является функцией от двух перемен ных—-сеточного и анодного напряжений. Однако здесь мы откажемся от учета влияния анодного напряжения, так как в этом случае придется иметь дело с двухчастот-
ным режимом, когда |
вычисление средней |
крутизны |
|
с |
учетом анодного напряжения представляется |
затруд- |
|
|
1 См. по этому поводу |
Конторович М. И. [1, стр. 57—63]. |
|
§ |
6 . 1 . |
|
143 |
нительным4 . Поэтому ограничимся «классической» по становкой задачи, когда анодный ток считается функ цией лишь напряжения на сетке. Как указывалось раньше, подобное предположение не находится в соот ветствии с характеристиками современных электронных ламп, но некоторые общие качественные выводы, отно сящиеся к работе рассматриваемой системы, остаются, видимо, в силе.
Воспользовавшись теперь (2) и перенеся малые члены направо, можем дифференциальное уравнение за дачи написать так:
Члены 4ai«2 <i2 Wg/d/2 и 2azdijdt представляют собой ве личины второго порядка малости. Отбрасывая их и вводя оператор дифференцирования D, уравнение зада чи представим так:
|
[ ( 1 _ /с») о*+(»;+со2) |
D 2 + |
coV] |
ив= |
|||||
|
= ~ u h { D ° + |
Di* - 2 (a' + ^ ° \ |
~ |
||||||
|
|
- 2 ( a i a |
j ; + |
a2 o»2 )D«g , |
|
|
(3) |
||
причем i a считается заданной |
функцией |
от |
ug. |
||||||
Теперь перейдем к составлению укороченных уравне |
|||||||||
ний |
и для |
этого воспользуемся |
приемом, |
изложенным |
|||||
в §4 . 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвратимся вновь к преобразованным функциям; на |
|||||||||
основании |
(3) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а, + а а ) р* + |
(сцсо2, + |
а 2 ы 2 ) р |
_ |
|
|||
где |
1(р) = |
( 1 _ / ( > « + |
(ш2 |
+ |
ш2 )р2 + |
ш 2 4 |
|
||
1 |
Можно |
и в этом случае учесть анодное |
напряжение, если счи |
||||||
тать, что ток анода зависит от управляющего напряжения. Однако такое предположение в нашем случае недостаточно оправдано, и мы его делать не будем.
144 § 6 . 1 .
Уравнение L (р) = 0 имеет четыре чисто Мнимых корня,
которые можно |
|
написать |
в форме p1 |
= |
jCli; p, = jQ2 ; |
р3 |
= |
||||||||||||
= — А; |
А = |
|
— А. причем О |
2 |
^ , |
» |
2 ; |
Cl2t = |
|
nta?, |
а |
зна |
|||||||
чения r]i и г|2 приведены |
во второй |
главе. |
|
|
|
|
\/L(p) |
||||||||||||
Обозначая, |
как |
и раньше, |
вычеты |
функции |
|||||||||||||||
в точке р = Рк через |
(a_i)ft, |
можем |
написать |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Р (Р2 |
+ |
|
» | ) |
|
|
Л |
( ^ + W 2 > |
|
, |
ч |
|
|
|
|
||||
|
|
L(P) |
|
|
{ J |
|
Р — РЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(a, |
+ |
a 2 ) p* + |
( a i c o | + |
a2 co2 ) |
p |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Цр) |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Pk [(<*i + «г) |
+ °i<oj + |
"ato2 ] |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
S |
|
|
|
/>— |
Pk |
|
|
|
|
|
( Л - , ) к |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P — P*. |
|
|
|
|
|
|
|||
_ _ |
^ |
|
/>h [(«1 + |
«2) P2k |
+ |
«1<02 + |
a2 C02 ] |
(а _ ,ь . |
|
|
|||||||||
— 2» |
V |
|
|
|
|
|
|
|
— — |
|
|
||||||||
|
|
g £ j |
|
|
|
p — Pk |
|
|
|
|
v |
" |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая в |
соответствии |
с общей |
методикой |
» в = |
2 |
^" |
|||||||||||||
и подчиняя |
j/fe |
уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
т 1 ' т ' i 1 s \ Р — Рк
получаем следующие дифференциальные уравнения для уц'.
а-§±- j€lkyk |
= |
- |
/ О й |
{cofyn (со2 |
- |
Q 2 ) / а |
+ |
|
|||
+ |
2 [ - |
К |
+ |
a,) 02 ft + |
«,»! + |
«2<»2 ] " J |
(л-,)*, |
(4) |
|||
где k=l, |
2, |
3, |
4 |
и а з |
= - 0 „ Q 4 |
= - Q 2 . |
|
|
|||
§ 6 . 1 . |
10—12 |
145 |
Положив теперь |
у3 |
— |
|
AkeSht |
, |
получаем |
|
|
|||
/ О , J2coJ/W (а,; - |
а[) (а . ,)„ к + |
2 Ко., + |
а2ш^ |
- |
|||||||
- ( « , + « j o ; ( a ] s ^ ' |
} * ~ / B W - |
|
|||||||||
Учитывая, |
что ta |
можно |
написать |
в форме |
|
|
|||||
|
|
|
|
fe=l |
|
|
|
|
|
|
|
(здесь S i = 5 з —средняя |
крутизна для колебания с ча |
||||||||||
стотой iQi и S2 = S4 — то же для частоты |
й 2 ) , и отбрасы |
||||||||||
вая члены «со средним» |
значением, |
равным |
нулю, в том |
||||||||
смысле, как этот термин был определен |
в четвертой |
гла |
|||||||||
ве, получаем укороченные |
уравнения |
|
|
|
|
|
|||||
^ |
= - |
jClkAk |
{т2М («? - |
П[) |
Sk |
+ |
|
|
|||
+ |
2 [ а ^ + |
а2ш; - |
(а, + |
а2 ) Q* ]} (а_ ,)f t . |
|
|
|||||
Величина (a_,)s. находится |
так: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
р—Ph |
|
|
|
|
|
|
v - , , f t 1 ( |
• 1—Л к |
2К*\) {pIn——Pi)пЛ (рI —PI) |
(р - Р.) (Р- |
р.)' |
|
||||||
в частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
~ |
1 - Л ' 2 |
/ |
|
— Q2 ) (Q, + |
Qa ) 2Q, |
~~ |
|
|
|||
|
|
|
У |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
l - ^ 2 |
2 S . 0 2 2 - Q 2 ) ' |
|
|
|
|||||
|
( a . , ) . — |
|
/ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
_ |
K 2 - |
2 2 2 |
( Q 2 _ s 2 ) |
• |
|
|
|||
Теперь первые два уравнения приобретут вид
, _ |
^ 2 { ш Ш (ш - Q ) S, - |
^ [ ( a . + a J Q j - e ^ - a . m J ] } ;
146 |
§ 6 . 1 . |
|
<^ |
2(1 — K 2 |
) ^ 2 — Q2) |
1 |
2 |
8 |
|||
Если |
ввести |
обозначения: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
( 1 - Я 2 ) ( S 2 ^ ) |
|
||||
|
|
8 |
(aj |
-f- <х2) |
|
— <*iw 2 — !"г<0^ |
|
||
|
|
|
( 1 - t f 2 ) (Q ^ - 2 2 ) |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
Z , = |
|
to2 M (e»| — 2 2 ) |
|
|
||||
|
|
|
|
Щ— a i W 2 — а г ш 1 ] |
|
||||
|
|
2 |
[(aj |
-f- a 2 ) |
|
||||
|
|
|
|
со? Af (со2 |
— Q22) |
|
|
||
|
|
2 |
[(a, |
-f- a2) |
S2— |
0 1 1 0 ^ — a 2 w |
l J |
||
то укороченные |
уравнения |
запишутся |
так: |
|
|||||
|
dAJdt=- |
|
Afril |
- |
|
(5) |
|||
|
dAJdt=-AA(l-Z2S2). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Нужно |
отметить, что |
6i, |
62, Zi |
и Z2 |
— вещественные и |
||||
при Л1<0 положительные величины. К этому заключе
нию легко прийти, если вспомнить, что |
быстрая частота |
||||
связи (например, Qi) больше |
«н |
и <со2, а медленная |
ча |
||
стота связи Q2 меньше любой |
из |
частот |
K |
» I и сог- |
|
Средние крутизны 54 и 5 2 |
будем также |
считать |
ве |
||
щественными и положительными, что непременно имеет место, если частоты Qj и Q2 не находятся в рациональ ном отношении.
Перейдем теперь к рассмотрению стационарных со
стояний. Положив в уравнении (5) |
d/dt=0, получим |
|
||||
|
|
л , ( 1 - а д ) = о ; |
\ |
|
|
|
|
|
л , ( 1 - а д ) = о . I |
|
1 ; |
||
Эти уравнения помимо |
тривиального |
решения Л1=Л 2 |
= 0 |
|||
могут иметь еще следующие: |
|
|
|
|||
а) |
Л2 = |
0; |
1 - З Д = |
0; |
"j |
|
б) |
Л, = |
0; |
1 - Z 2 S 2 < = 0 ; |
|
} |
(7) |
в) l - S . Z ^ O ; |
l - S a Z 2 = 0. j |
|
||||
'§ 6.1. |
10* |
147 |
Первые два решения соответствуют одночастотнымре жимам, рассмотренным во второй главе; последний, тре тий случай — двухчастотному режиму.
Дальше мы покажем, что при известных условиях решение, соответствующее двухчастотному режиму, не устойчиво и, следовательно, реализоваться физически не может. Кроме того, мы остановимся еще на устойчи вости одночастотных режимов.
6.1.1. Двухчастотный режим и его |
неустойчивость |
|
|||
При сделанных предположениях средние |
крутизны Si |
||||
и S2 будут функциями |
от амплитуд |
колебаний, |
т. |
е. |
|
модулей At и Л2 . Таким образом, уравнения |
(7в) |
§ |
6.1 |
||
определяют 54 и 52 и, следовательно, |
дают возможность |
||||
найти неизвестные ]Ai] и |
| Л 2 | . |
|
|
|
|
Может случиться, что |
эта система |
не имеет вещест |
|||
венных решений, и тогда, очевидно, вопрос об устойчи вости этих решений (двучастотных режимов) не возни кает. В тех же случаях, когда эти уравнения имеют ре шение, необходимо исследовать его устойчивость.
Обратимся к уравнениям (5) § 6.1 |
и |
положим в них |
Л, = р , е ' е ' , А2 = р2е'9', где р,, р2 , б, и |
62 |
— вещественные |
величины. Тогда после стандартных операций, подобных
тем, которые выполнялись уже в предыдущей |
главе, |
|
получаем |
|
|
dpi |
|
|
dt = |
(О |
|
dps |
||
|
||
dt |
|
|
Далее положим р, == р: + ^; ра = р2 + 52, где P l |
и р2 — |
соответствующие стационарные значения pi и р2 , опреде ляемые уравнениями (7в) § 6.1, а & и g2 — малые (по крайней мере в начальный момент) возмущения (веще ственные функции времени). Тогда можем написать
S,(P„ P2) = S, ( P ? + V , p2° + y = S,(p?, p ° 2 ) + i ^ 1 +
и аналогично |
|
S2(р,Гр2) = S2 (p», p2°) + * L S , + |
* i ! 2 + О $ + |
148 |
6 . 1 . 1 . |
Ограничиваясь величинами первого порядка малости
и учитывая |
равенства |
|
|
|
|
||
SA?% |
Р 5 ) ^ = 1 ; |
S , ( P ? , |
P ° ) |
Z a = l , |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
cf^i |
s , |
„оо |
11 // as,, |
61. . |
ds, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
2 |
p 2 |
5 2 |
|
aP2 |
|
Частное решение этих уравнений ищем в виде |
|||||||
где М ь М 2 |
и X — постоянные числа. |
|
множитель ev , |
||||
Подставляе |
я в |
(2) и сокращая общий |
|||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
ap2 I |
•1У12 |
|
С |
Лп |
1 Y l i |
|
|
|
S2 |
dp |
|
||
и отсюда |
(перемножая, |
сокращая |
общий множитель |
||||
М{М2 и раскрывая скобки) |
получаем |
|
|
||||
|
я 2 - я ( ^ '*.Р? |
dS, |
| |
s, |
asa |
)+ |
|
|
|
S, |
dP 2 |
1 1 |
dp2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* * „0 „0 |
|
aS2 |
|
as, |
as2 |
|
• |
° 1 5 2 ° ) р2 |
|
|
= 0. |
|||
1 |
s,s2 |
( |
|
|
ap2 |
ap. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
Я - |
1 (Ч Р? |
as, |
Я — -2~1 |
dp, |
|
, 8 2P2 as2
1 s2 a?2
- H i / |
_ 1 Г ^ 1 ^ 1 4 - ! ! ^ ^ 1 У |
|||||
— К |
4 \ |
s, |
aP, |
~f" s2 |
аР г |
у " |
___МгР|_Р2_ / |
as, |
|
|
|
||
|
s,sa |
1^ |
ар, |
aPa |
aPa |
aP, у |
6.1.1. |
149 |