книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

амплитуд (ММА); перепишем уравнение (3) в следую­ щей форме:

вия, чтобы разность to2—№о2 была мала (предполагается, что все малые величины, входящие в правую часть (4), имеют одинаковый порядок малости).

В соответствии с методом ММА преобразуем (4) к системе двух уравнений первого порядка. Подобно

со2х

^ у ~ - ( У 1 + У2) cos Q/;

Если теперь учесть, что Q^2co, и выделить справа лишь постоянные или «медленные» члены, а затем со­ ставить укороченное уравнение, отбросив «быстрые» слагаемые, получим

ре со, освободимся в последнем уравнении от явной за-

Причем здесь бо) = со—too, и там, где это допустимо, по­ ложено ю—соо.

Учитывая, что Л — комплексное число, напишем Л = = Х + 1У, где х и у вещественны. После подстановки в (5) получим

d (к + !У) dt

Отделив в этом уравнении вещественную часть от мни­ мой и составив соответствующие равенства, находим

Как обычно, ищем частное решение этой системы в виде

откуда

Следовательно, для того, чтобы параметрическое возбу­ ждение колебаний было возможно, необходимо сделать коэффициент модуляции емкости к достаточно большим, т. е. в соответствии с условием

мостьб от а, причем имеется несколько функций b = b(a), которым соответствуют различные функции Се и Se.

На рис. 8.3 изображены кривые, иллюстрирующие зависимость Ъ от а для различных функций Матье. Каждая из этих кривых соответствует одной из функций Матье, причем на графике отмечено, какой именно функции данная кривая соответствует. Так, например, кривые, исходящие из точки а = 1 , 6 = 0, дают зависи­ мость b от а, обеспечивающую существование функций

Cet и Sei.

представляет собой функцию, ограниченную на всем бесконечном интервале т, могущую быть, в частности, периодической. Эти решения называют устойчивыми. Поскольку <р(т) имеет период л или 2я, то у будет пе­ риодической функцией [с некоторым периодом, отличным от периода <р(т)], если |jx| находится в рациональном отношении с я; в противном случае у периода не имеет. Очевидно, что и те значения (д., которые соответствуют точкам (а, Ь), лежащим на кривых рис. 8.3, также чисто мнимые.

Более подробные исследования показывают, что точ­ кам, лежащим в заштрихованной части плоскости а, Ь,

сти, включая граничные кривые) соответствуют чисто мнимые (х, т. е. устойчивые решения.

8.3.2. Приведение уравнения задачи к уравнению Матье

Таким образом, мы пришли к уравнению Матье с коэф­

Очевидно, что при малых х величина Ь малая и при ма­ лых а

as(2coo/Q)a . (2)

Теперь перейдем к вопросу о параметрическом возбу­ ждении колебаний в рассматриваемой системе. На осно­ вании сказанного ранее общее решение нашего уравне­ ния можно написать в виде

q = уе~^ = C t e - U + ^ (х) + С ^ " 1 ^ (- г).

Решение окажется неустойчивым (в том смысле, что оно будет «уходить» от нуля), если (и только в этом случае)

—Y>Re(p,)>y = 2a/Q

или

|Re(n)|>2a/Q. (3)

Если а мала, то, очевидно, (3) будет выполняться при малых по абсолютному значению Re(^).

Мы не будем приводить здесь вычисления, которые позволяют получить условиянеустойчивости системы, выраженные в виде количественных соотношений, и огра­ ничимся лишь некоторыми качественными соображе­ ниями.

Как уже указывалось, заштрихованным на рис. 8.3 областям соответствуют Re((x)=H=0, и, следовательно, неравенство (3) будет выполняться в пределах областей несколько менее широких, чем упомянутые; на рис. 8.4 эти области ограничены пунктирными линиями и также заштрихованы. Учитывая, что в нашем случае b выби­

могут лежать в упомянутых выше заштрихованных об­

что появление автоколебаний имеет место лишь тогда,

когда частота «накачки» близка к 2о>о, шо, 2о)о/3, ...

Первый случай, когда частота накачки близка к удвоенной частоте автоко­ лебаний, был нами уже ис­ следован методом ММА, при

Рис. 8.4. этом мы получили усло-

вие самовозбуждения системы (9) § 8.2. Если восполь­ зоваться приближенными формулами для \i, которые следуют из теории уравнений Матье, то это соотношение можно получить, не обращаясь к методу ММА. Возмож­ ность второго случая, когда автоколебания возникают при частоте накачки, примерно равной собственной ча­

ограничивались лишь величинами первого порядка ма­ лости). Более подробные исследования показывают, что и в этом случае автоколебания возможны, и здесь также может быть выведено условие самовозбуждения, ана­ логичное (9) § 8.2. Однако во втором случае величина коэффициента модуляции емкости должна быть значи­ тельно больше, чем в первом, и полоса допустимых рас­ строек значительно уже. Нужно отметить, что получен­ ные результаты позволяют, строго говоря, судить лишь об устойчивости или неустойчивости состояния равно­ весия системы.

Вопрос о том, какие колебания установятся в систе­ ме, выходит за рамки рассмотренной здесь линейной теории и может быть изучен, лишь с учетом факторов, ограничивающих амплитуду автоколебаний и опреде­ ляющих их устойчивость.

8.4. Параметрическая система под воздействием внешней силы. Одноконтурный параметрический усилитель

Явление параметрического возбуждения колебаний приводит непосредственно к идее параметрического уси­ лителя. Подобно тому, как в случае электронных ламп

ству— малым внутренним шумам.

Это дает нам возможность рассматривать в дальнейшем лишь уравнение (3) в сочетании с (5), не обращаясь больше к (4). Полагаем теперь

и соответственно

где а» — близкое к со, вещественное число, которое под­ лежит окончательному выбору в дальнейшем.

Теперь уравнение (3) может быть переписано так (пос­

ле сокращения множителя - | - е ' 0 > , < ):