книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

Приведенные рассуждения показывают, что помимо

Обозначив решение невозмущенных уравнений (т. е. при

можем написать:

g2 (4)

Это — система линейных уравнений с постоянными коэф­ фициентами и с заданной правой частью. Будем сначала

где Ж,, /И2 , М3, Mt и Я—постоянные. После подстановки и обычных преобразований находим:

левая часть которого при достаточно больших % поло­ жительна, а при х = 0 приобретает значение

_12_ Г (14-4") ( i 4 - 4 L 4 - 5 ^ ) - ( 5 ^ ) 2 ] ,

т. е. отрицательна при соблюдении условия (2). Отсюда вытекает, что уравнение (6) имеет положительный ко­ рень, который обозначим через хо-

Левая часть (5) при достаточно больших % также положительна, а при % = %о равна

i-Xo [ ( 1 + 4-) 0 + Т-+S^)-(Sj/?)»] +

+ Х о % И ( б - 1 ) + в ( ^ - 1 ) ] + ( % - ) 2 ( / 1 - 1 ) ( в ~ 1 ) ,

причем здесь А и В берутся при значении % = ХоПервое слагаемое в этой сумме отрицательно, а другие два положительны, но при достаточно малых Сп (меньше некоторого С„0 ) вся сумма, очевидно, будет отрицатель­ ной. Отсюда следует, что при всех С „ < С „ 0 уравнение (5) имеет положительный корень %i>%o-

t; причем этот рост будет происходить тем быстрее, чем

лю, поэтому решение «невозмущенной» системы урав­ нений (1) § 7.2 неустойчиво и, как следствие, реализо­ ваться не может.

Все сказанное относится, конечно, лишь к рассмот­ ренному непрерывному решению, соответствующему заданным начальным условиям (при открытых первой и второй лампах). Если провести аналогичные выклад-

ки для случая, когда одна из ламп заперта, а другая открыта, получим характеристическое уравнение, ана­ логичное (5), но имеющее лишь отрицательные корни. Положив, например, % i > 0 ; ug2<—щ и проведя соответ­ ствующие выкладки, получим

х М В + Х т ? - И ( В - 1 ) + В ( Л - 1 ) 1 +

Это уравнение, как легко видеть, распадается на два квадратных уравнения:

решив которые можно убедиться, что они никогда не имеют корней с положительной вещественной частью.

Таким образом, непрерывные решения, полученные для участков, где одна лампа открыта, а другая закры­ та, устойчивы и могут реализоваться.

§ 7.3.

8

ПА Р А М Е Т Р И Ч Е С К О Е В О З Б У Ж Д Е Н И Е И УСИЛЕНИЕ

КО Л Е Б А Н И Й

8.1.Предварительные замечания

Внастоящей главе мы обратимся к рассмотрению процессов, которые возникают при изменении парамет­ ров электрического контура, его емкости или индуктив­

ности. Как будет видно из дальнейшего, при этом могут

вия внешних э. д. с. Для того, чтобы понять сущность этого явления, обратимся сначала к следующему при­ меру, иллюстрирующему процесс параметрического воз­ буждения.

собственные колебания, которые обладают малым зату­ ханием (предполагается, что сопротивление г мало).

На рис. 8.2 изображена кривая изменения напряже­ ния на конденсаторе «с как функция от времени t.

Допустим сначала, что мы можем изменять емкость конденсатора: уменьшать, раздвигая пластины, и увели­ чивать, сдвигая их. Предположим, кроме того, что эти манипуляции можно производить с любой скоростью, достаточно большой для того, чтобы время, приходя­ щееся на каждую из этих процедур, можно было счи­ тать пренебрежимо малым по сравнению с периодом колебаний.

Пусть теперь пластины конденсатора быстрб раздви­ гаются в момент, когда ис имеет максимальное значе­ ние. Из-за инерционных свойств катушки ток в контуре быстро возрасти не может, и уменьшение емкости про­ исходит практически при постоянном заряде.

Вследствие уменьшения емкости напряжение па кон­ денсаторе возрастает и, как следствие, увеличивается энергия конденсатора.

вождается отдачей энергии от внешнего источника коле­ бательному контуру.

Аналогичное явление будет, очевидно, иметь место,

тора сближать до исходного положения, то при этом никакой энергии ни подводиться, ни отводиться не бу­ дет. Следовательно, можно получить «накачку» энергии,

стающие колебания в контуре, если изменять емкость конденсатора в надлежащие моменты времени с доста­ точной амплитудой и с частотой, превосходящей при­ мерно в 2 раза частоту собственных колебаний контура.

К аналогичным выводам можно прийти, рассматри­ вая контур с неизменной емкостью, но меняющейся ин­ дуктивностью.

Обращаясь вновь к рис. 8.1, предположим, что ин­ дуктивность L уменьшается (например, из катушки быстро выводится стальной сердечник). Изменение L будет сопровождаться изменением тока в контуре i, но этот ток должен оставаться ограниченным, как бы быст­ ро ни изменялась L (бесконечным значениям i соответ­ ствует бесконечная энергия магнитного поля и бесконеч­ ная мощность потерь в сопротивлении).

Обозначая через Ф магнитный поток в катушке, мо­ жем написать

нуля) потоке Ф уменьшению индуктивности соответст­

в рассматриваемый контур периодически подается энер­ гия и колебания в контуре будут по амплитуде нара­ стать, если изменения индуктивности достаточно велики.

8.2. Контур с переменной емкостью. Рассмотрение методом ММА

Приведенные выше соображения поясняют процесс параметрического возбуждения колебаний, но недоста­ точны для того, чтобы получить необходимые количест­ венные соотношения.

Кроме того, очевидно, изменять параметры мгновен­ но невозможно, и в действительности емкости или ин­ дуктивности изменяются непрерывно.

Учитывая эти обстоятельства, мы рассмотрим более подробно колебательный контур с изменяющейся ем-

костью и постараемся получить условия, при Котбрых появление автоколебаний делается возможным (найти условия «самовозбуждения» системы).

Будем считать, что емкость изменяется по закону

Дифференциальное уравнение задачи напишется так:

Обозначая через q заряд конденсатора и учитывая, что uc~qlC, i = dq/dt, а также соотношение (1), уравне­ нию (2) можно придать вид

с высокой добротностью) и, как предполагалось, Q^2co0.

ческом возбуждении, как и в случае ламповых и тран­ зисторных автогенераторов, определяется нелинейными свойствами входящих в схему элементов. Уравнение (3) составлено без учета этих обстоятельств и, следователь­

никнуть автоколебания), необходимо исследовать устой­ чивость состояния равновесия (решения q = 0). Восполь­ зуемся для этой цели методом медленно меняющихся'