Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Теперь уравнение перепишется так:

j</(0 <?-»"£

( / > - Z > ) s M < - I !

[ ^ ' - ^ ( i f - ^ - ' a . l ^ o ^

s = 0

A= 1

или

j</ (0

/ ) « Й 4 Л

U (t) e-vtdt

(0 л IP-

s=0

.5=0

(p-D)>

ase-p'dt+

—£>)f t -4]f=o

(2)

s = 0

k=\

Введем обозначение P ( r

i =

( p - A

) ( / ) - f t ) . . . ( r

t ) ,

где

p,, p2

— корни уравнения

Я (/>) =

0 — являются

функция

ми от t.

Положим теперь

у =

г/, +

... +

i/„ и выполним

следую

щие

преобразования:

оо

Уч р

e-p*dt

(

У.Р

— Г - р ,

Р — Р*

/> — />.

СО

У Ч Р

У,

e-p'dt

+ dt

1 /> — /)

e~p'dt

— \

_ р

dy„

СО

р .

•dt.

120

§ 4 . 5 .

Уравнение		(2)	теперь можно		записать	так:
"	(°°	dy			e-v'dt	+
					e-v'dt	+
						P — Pv
v=l	О
	О		Л	00	\|g
			v=l		\|g	_ D ) . ] a . -
			v=l	0	s=0
	a7	p —	f	S S	( y ( 8 - k > ( P - - D ) ' l - , « s ) * = o -		(3)
	a7	p —	P„	s=0	ft=l
				s=0	ft=l
Учитывая,		что	выражение, стоящее в			квадратной скобке в	пра

вой части последнего равенства, представляет собой полином от р,

степень которого меньше п, можем							написать
	J ] [ / J s - ( / > - . D ) s ] a s									Р(Р)	(g-l)fcv
	J ] [ / J s - ( / > - . D ) s ] a s				dt	р	—	pv	•	Е -
					dt	р	—	pv

										k=\
где	( g - i ) f t v	— вычеты функции
			я
			s=0
относительно			точки	р -— ph.
	Аналогично,
					Р(Р)
					Р —	Р,
	L	р—Рч		"5=0		Й=1				J	f=0
										J	f=0

где	(6_i)v и		0_i)v	соответственно				вычеты		функций	р ^ ^ и
			-s=0 fe=l
относительно			точки	/>=/>,

Н - 5 .	121

Теперь интегральное соотношение (3) можно переписать так:

П (ОО		dy4	Ре-?*	У, (°) Р
Ш		-ЗГ-РуУ*)	р - Р о d t +	p-pv(0)\
v = l	ч о
		v = l v 0
				- Л ( 0 )	(4)
	0	k =	l	- Л ( 0 )
	0	k =	l

Этому функциональному уравнению можно удовлетворить, по ложив

</v	(0) =	( & - , ) ,
[в двойной сумме, входящей	в (4),	произведена перестановка поряд

ка суммирования и переставлены местами индексы k и v]. Теперь

введем	новые	переменные	посредством			соотношений
					t
				л	\PV	(О dt
			1	л	6
тогда
dA„						-	] A,	(0	d'
dA„						0
	dt	2f ( < ) ( * - i ) ,	+
Легко	видеть	из предыдущего,		что	коэффициенты ( g - i ) v		k	при	мед

ленно меняющихся as будут малыми величинами. Поэтому при f(t) = = 0 мы сразу приходим к стандартной системе с малым параметром в правой части; это же имеет место, если f(t) отлична от нуля, но в рассматриваемом интервале t мала (пропорциональна малому па раметру). Если f(l) не мала, можно привести систему к стандартной обычными подстановками, положив, например,

-Jp, (О dt

?v (t) = A t —2 J(ft_a),f (0 е О

122.

§4.5,

4.5.1. Уравнения второго порядка

Полученные выше соотношения довольно громоздки, если их рассматривать в общем случае. Однако в наиболее часто встречаю щихся случаях, когда порядок исходного дифференциального урав нения невысок, эти формулы выглядят значительно проще. В каче стве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго по рядка

	d2y	dy
	IF + 0 l	~Ж + a"y	=	'
причем (i\	и aa — медленные функции от		/.	Найдем сначача рч из
уравнения
	P = p2	+ aip + a0	= 0.
Очевидно,	что

Вычислим		теперь	(g _ ,),,,;	для этого	напишем
		[Рг — (Р — -D)2 ] Д 2 " f [Р — (Р — £>)] й 1					—
		d	(Р — Pi) (Р — Pi) _		dp2	dax	dpx
		dt	p—	Px	dt ^	dt	dt
(в нашем		случае	a 2 = l ) , и >	следовательно,
/	\	_	1	dP* — -		1	^ '
							dr

Аналогично,

f - l ) l ,2 =

( g - i h , i =

4 . 5 . 1 .

123

Таким образом, получаем следующие уравнения:

Дальнейшие преобразования очевидны.

П Р О Ц Е С С Ы У С Т А Н О В Л Е Н И Я И УСТОЙЧИВОСТЬ У С Т А Н О В И В Ш И Х С Я К О Л Е Б А Н И Й

5.1.Предварительные замечания

Впредыдущих главах мы рассматривали установив шиеся колебания в автономных и неавтономных авто

колебательных	системах,	однако вопросы,		связанные
с процессами	установления		колебательных	режимов,
а также с устойчивостью		этих	колебаний, в них не за
трагивались.

Переходя к рассмотрению этих вопросов, мы должны будем, как и прежде, ограничиваться приближенными решениями, так как нелинейные дифференциальные уравнения или линейные уравнения с переменными ко эффициентами, с которыми мы здесь сталкиваемся, как правило, точно проинтегрированы быть не могут. Здесь нам будет полезен метод медленно меняющихся ампли туд, изложенный в предыдущей главе.

В дальнейшем для определенности, подобно тому, как это делалось в предыдущих главах, будут рассмат риваться схемы, содержащие в качестве нелинейного элемента трехэлектродную электронную лампу. Однако получаемые результаты будут иметь значение и в тех случаях, когда в автоколебательных системах исполь зуются не трехэлектродные лампы, а какие-либо другие приборы (лампы с числом электродов, большим трех, транзистор), конечно, при условии, что остаются в силе допущения, сделанные ранее при выводе и решении уравнений.

В следующем параграфе мы остановимся на вопро сах установления колебаний, а в дальнейшем займемся изучением устойчивости установившихся режимов.

5.2. Установление колебаний в ламповом генераторе

Обратимся к схеме лампового генератора с транс форматорной обратной связью, изображенной на рис. 5.1,

§ 5 . 2 .

125

и будем теперь изучать	режим установления			колебаний
в этой схеме
Подобно тому как это делалось		в гл. 1, можем			на-
£-	писать	уравнения		задачи
	(обозначения		видны из		ри-
"\|	сунка):
	» a = f . ( " g .		«а)!
	ил = Е -			(L±+ry,	(1)
	ил = Е -			(L±+ry,
	i = га	- f С	W
Исключая из последних трех уравнений величину i,
находим
«-=-Л , 4('-+с ! зг			1		(2)

«.=*-(i -lr+0('-+c i &>J

dt	(3)

Подставив (3) в первое уравнение (2), получим

I	d
иЛчт
или окончательно
d*u„		du„				di,
dt2	'	й	Т \|	g	о	dt
Причем здесь, как		обычно,
		m * = l / L C ,		<x =	r/2L.
Подставляя во	второе		уравнение		(2)	величину
из (3), получаем	уравнение

(4)

dujdt

(5)

1 Задача об установлении	колебаний в	ламповом генераторе
(с учетом нелинейных свойств	характеристики	лампы) впервые была
рассмотрена Б. Ван-дер-Полем	[1].
126		§5-2.

которое позволяет	найти	непосредственно	величину иа,
если известны ia и	ug.	Мы воспользуемся		(5)	лишь
в дальнейшем, а сейчас обратимся к другой, хотя					и при
ближенной, но более простой связи между « а и				ug.
Второе и третье	соотношения системы		(1)	дают

«a = = £ - f ^ - w g — ir,

итак как сопротивление контура г мало, в первом при ближении имеем

Теперь

; a = f , ( W g ; £ + - j j j - " g ) = f ( « g ) .

т. е. анодный ток оказался функцией только одной пере менной— сеточного напряжения. Следовательно, урав нение (4) можно переписать в форме

и"

-\-ш2и

= - 2 а 4 -

(6)

Если 2а и / ( % ) — м а л ы е

величины

одного

порядка ма

лости, получаем

уравнение

того же типа, как и рассмот

ренное в четвертой

главе

с малым

параметром

ц = 2а.

К нему можно применить метод медленно

меняющихся

амплитуд.

В соответствии с изложенной в

предыдущей

главе

методикой перепишем уравнение

(6)

в виде

(р"' -(- w) Mg = — 2арр,

где

F =и	-\—~f(u		)
g	g 1	2а 1 v	g'
ИЛИ
	2ар
	> +	C0\|

§5.2,

127

Учитывая, что

р 2 + ( й 2

2 V / > — / < о . 1 Р + 1<»о

получаем

Полагая далее, что

и переходя к оригиналам, получаем

^—i%yt = -*F; )

Теперь в соответствии с методом ММА положим

	У 1 = - 1 - V 0	' .	y 2	- ^ 4	^ / v -	(9)
Так как	сумма У\. + уг=иё—			величина		вещественная,
должно	иметь место	соотношение			А2 = Ах*,	которое на
ходится	в согласии с	тем	фактом,		что второе уравне

ние (8) отличается от первого лишь знаком при члене, содержащем мнимую единицу.

Если положить		Д =?е'\	где р и 6 — вещественные
числа, то	можно	написать
wg	= pcos(wo/ + 8);		/ ( % ) = / р cos ((оо^ + 0)].	(10)

Разлагая (10) в ряд Фурье (считая р и 9 постоян ными) и учитывая определение средней крутизны 5(р) , можно написать

/ (и ) =*?S (р) cos (<oJ -f- в) -f- гармоники =

= -i-P S(p)e' <-'+<»> +-LpS(9)e-,{tt*+e)	-f-гармоники.
Тогда F можно получить в виде
+	ф ( р > 6 > t ) , (П)
WftiVl

128

§5 . 2,

причем Ф(р, 8,/) при любых	/ > 0 удовлетворяет условию
J Ф(Р, 6,	t)e-^dt

где С — константа (при интегрировании р и б считаются постоянными).

Подставляя теперь (9) в первое уравнение (8) и учи тывая (11), находим

		аЛ, 1	и>2М	+	2е	ф.
dt		аЛ, 1	S(?)	+	2е	ф.
dt
Отбрасывая „осциллирующий" член				2е	'т °'ф,		получаем
уравнение
dAt	_	аЛ,	со2 М				(12)
dt		аЛ,					(12)
dt
Э Т О И есть	искомое		укороченное	уравнение			для А\,

Для Л2 можно составить аналогичное соотношение, ко

торым мы, впрочем, можем не пользоваться	в	дальней
шем, в силу того, что Л1* = Л2 .	в	тригономе
П р и м е ч а н и е . При разложении функции (10)	в	тригономе

трический ряд мы считаем величины Ai и А2 фиксированными (по стоянными) и, рассматривая эту функцию как периодическую, по существу, исходим из соображений, связанных с теорией рядов Фурье.

Такой метод рассуждения может показаться противоречивым, поскольку в действительности величины Ai п А2 являются функция ми времени t. Для того чтобы устранить могущие возникнуть сомне ния, достаточно учесть следующие соображения.

Пусть имеются две однозначные функции 'tpi(0 и фг(0. причем

каждая	из них зависит		еще от	параметра А. Если в некоторой дву
мерной области S значений t п. A (pz(t)=*pi(t),						причем это равенство
имеет место при произвольных				фиксированных А,			принадлежащих		S,
то, очевидно, что		равенство сохранится и в				том случае, когда			cpi
и фг рассматриваются			как функции двух переменных t и А.
В частности, поскольку последнее равенство имеет силу								при лю
бых А, / е 5 , оно сохраняется и при А, зависящем							от t.
Преобразуем		уравнение			(12), положив		Al = peii.	Тогда
dAt						<о20М
dt							S(P)
Отсюда	вытекает,		что
					и>1М
	£ — р [ н			-	S(?)			(13)
	£ — р [ н			-

	dt		и >
§ 5 . 2 .							9—12		129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ