книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

в форме %=\>.skeh, и, следовательно, общий интеграл этой системы

довательно, если последние выбираются достаточно ма­ лыми, любая из величин \iSk станет сколь угодно малой.

Рассмотрим теперь случай, когда все характеристи­ ческие числа %и будут иметь отрицательные веществен­ ные части (но не равные нулю). Каждый член выраже­ ния (8) представляет собой затухающую функцию вре­

Обратимся теперь к другому случаю, когда по край­

Все вышесказанное основано на предположении, что уравнения первого приближения, т. е. приближенные уравнения (5), полученные из точных отбрасыванием величин, порядок малости которых выше первого, позво­ ляют правильно судить об устойчивости состояния рав­ новесия системы.

Строгое обоснование этого предположения вытекает из работ знаменитого русского математика А. М. Ляпу­ нова, в которых показано, что уравнения первого при­

отрицательные вещественные части или когда по край­ ней мере одно из чисел Хъ. имеет положительную веще­ ственную часть. В тех случаях, когда среди чисел нет ни одного с положительной вещественной частью, но есть чисто мнимые или равные нулю, уравнения первого при­ ближения при решении вопроса об устойчивости стацио­ нарных решений применять нельзя.

Воспользовавшись наглядностью самого термина «устойчивость», мы до сих пор обходились без точного определения этого термина. В заключение настоящего

полняются условия существования решения системы (9).

Будем говорить, что положение равновесия устойчи­ во, если для любого R<p существует такое r^\R, что любое движение, имеющее своими начальными значения-

Перенумеровав контуры в каком-либо порядке, мы можем присвоить току, протекающему в некотором кон­ туре, номер этого контура. Так, например, в s-м контуре течет ток is. Введем теперь в рассмотрение количество электричества, перенесенного током is, начиная с неко­ торого момента времени to до текущего момента t, и обозначим эту величину через qs. Таким образом,

там контуров типа емкостей, сопротивлений и индуктивностей). Если действующие в контурах э. д. с. (постоян­ ные) равны Es, то уравнения цепи, написанные по методу

случай, который, однако, часто встречается при рассмо­ трении электрических систем. Пусть в каком-либо кон­ туре, например п-м, элементы емкостного типа отсут-

ний, будет содержать лишь п—1 неизвестную. Это со­ ответствует и физическим представлениям, ибо в конту­ ре, в котором отсутствуют емкости, ток в стационарном

в уравнениях отсутствует не один, а несколько «емкост­ ных» членов. Отметим еще случай, когда некоторый ток, например in, не создает индуктивного воздействия ни в одном из контуров цепи, в том числе и в собственном. Тогда уравнения (Г) не будут содержать величину i'n, и, следовательно, их нельзя решить относительно этой ве­ личины. Суть дела, однако, от этого не меняется, ибо можно представить себе следующую процедуру: решим систему (1) относительно i\, ['г, ..., i ' n - i и еще какойлибо величины, входящей в (1), тогда вместо (2) по­ лучим

Принятый здесь способ составления уравнений элек­ трической цепи по методу контурных токов отнюдь не является единственным. Так, например, если прибегнуть к методу узловых напряжений, то мы придем к системе уравнений, в которую будут входить узловые напряже­ ния, производные и интегралы от них. Однако здесь оста­ ются в силе предыдущие рассуждения (или аналогичные им). Возможны (и, как правило, применяются) и другие способы составления уравнений, когда одновременно вхо­ дят и контурные токи, и узловые напряжения, а, быть мо­ жет, и другие вспомогательные переменные.

Будем теперь искать частное. решение системы 8

форме Аиб = ибе^*; AuK = uK eT ' и т. д.

Тогда после подстановки и сокращения общего мно­ жителя ел* найдем:

, ы, - f и6 + у Ж ? = 0;

' " ' + ( - Ч - + ^ ) ^ + ^ И к - - с ' = 0.

Приравнивая нулю определитель системы, получаем уравнение для у. Можем написать:

Мы не будем выписывать полученное уравнение в раз­ вернутой форме и в общем виде, а ограничимся лишь тем случаем, когда можно пренебречь влиянием изменений коллекторного напряжения на ток коллектора. Полагая SK = 0, получаем