книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

й для определения уг и уз получаем квадратное уравне­ ние

у*+ (a2+Yi)'Y + a i+'Yi( a 2+'Yi) =0 . корни которого имеют вид

Условия устойчивости состояния равновесия (вещест­ венная часть и уз отрицательна), очевидно, запишутся так:

a 2 +'Yi>° ; ai + Yi(a 2+Yi) >0 .

Подставляя сюда значения соответствующих величин, от­ брасывая все то, что имеет порядок малости выше пер­ вого и производя преобразования, получаем

Для того чтобы схема могла выполнять функции авто­ генератора, выбирается М < 0 , и тогда условие (12) при­ обретает вид \M\<rC/Ss, а условие (13) выполняется автоматически.

Таким образом, выражение (12) является единствен­ ным необходимым и достаточным условием устойчивости состояния равновесия. Условие неустойчивости этого со­ стояния, которое называют условием самовозбуждения, очевидно, будет выглядеть так: \M\>\rCJSe.

Все предыдущие результаты мы получили, основы­ ваясь на приближенном вычислении корня у, причем предполагалось, что емкость Сэ достаточно велика. Одна­ ко вопрос о том, в какой мере полученные результаты пригодны при реальных параметрах схемы, остается от­ крытым. В § 1.7 приводится метод, позволяющий произ­ вести оценку погрешности при приближенном вычислении корней, и показывается, что полученные выше результа­ ты пригодны при реальных параметрах генераторов по­ добного типа (хотя, может быть, и не во всех случаях).

1.6.Генератор на туннельном диоде

Две простейшие схемы генераторов на туннельных

т Рис. 1.3.

которой возникают колебания, расположена на спадаю­

ним диод эквивалентной схемой, состоящей из парал­ лельно соединенных чисто активного элемента, обладаю­

1 Этот метод составления уравнений изложен в книге Конторовича М. И. [1].

Состояние равновесия будет устойчиво лишь в том слу­

io

1.6.2. Параллельное питание

Перейдем теперь к схеме с параллельным питанием, также изображенной на рис. 1.3. Дополнительно отме­ тим, что Ri и Rz образуют делитель напряжения, С0 — блокировочная емкость, которая обычно велика.

Можем нарисовать следующую вспомогательную схе­ му (рис. 1.6) и ввести операторные импедансы, соответ­ ственно равные

Переходя от преобразованных функций к оригиналам,

что и в предыдущем параграфе), для Аи получаем сле­

Характеристическое уравнение, соответствующее этому дифференциальному уравнению, следовательно, имеет вид

причем

a ° = V (а° + d«s)> a ' = 77 (а> +

Рассмотрим обычный случай, когда блокировочная емкость С0 велика. Коэффициент ао будет сколь угодно мал, если блокировочная емкость достаточно велика. Это дает основание предполагать, что наименьший по моду­ лю корень характеристического уравнения также мал, и при определении величины этого корня можно прене­ бречь всеми членами уравнения, содержащими у в степе­ ни более высокой, чем первая. Тогда

в предыдущей задаче, найдем из квадратного уравнения

Учитывая, что все слагаемые, стоящие под знаком ради­ кала, за исключением аь малы, приходим к выводу, что (7) является необходимым и достаточным условием устойчи­ вости. Следовательно, условие самовозбуждения | 5 | >

>(Ca + C)r/L.

1.7.О приближенном нахождении корней уравнений

иоб оценке погрешности

Во многих задачах, связанных с исследованием устой­ чивости состояния равновесия, мы сталкиваемся с необ­ ходимостью находить корни алгебраических уравнений высоких степеней, а иногда и трансцендентных уравне­ ний, точное решение которых в явной и конечной форме невозможно или неудобно. Однако на основании некото­ рых соображений, связанных с физическими представле­ ниями, а иногда с оценкой отдельных членов, входящих в уравнения, удается сравнительно легко найти прибли­ женное значение корня, а затем уточнить его, пользуясь тем или иным приемом. Всегда в этих случаях возника­ ет вопрос о погрешности найденного решения и о пре­ делах пригодности полученных формул. Учитывая эти обстоятельства, остановимся сейчас на одном методе на-

хождения корней уравнений и на оценке погрешности, которая при этом может возникнуть.

Пусть дано уравнение

где <D(Z) —функция от комплексной переменной Z, ана­ литическая в некоторой области S. В дальнейшем ищет­ ся корень уравнения (1), лежащий внутри S. Составим теперь последовательность величин Zm, определяемых ре­ куррентным соотношением

£*т ^m-1

Если максимальное значение, которое приобретает величина

Ф ( Е , ) - Ф & )

при произвольных gi и ^2, лежащих внутри S, обозначить через Т, то можно написать

| Zm+i Z m I <^ 71 | Zm —Zm —i I .

Если теперь напишем последовательность неравенств

\Z2-Zi\^T\Zt-Z0\;

\Z3-Z2\^T\Z2-Zl\;

I Z M — Z n _ i I ^ TI Zn _i—Zn _21, а затем перемножим их, то найдем

| Z„—Z„_! I ^ Г—11 Zt—Z0 1.