Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Уравнения (13)	легко	интегрируются,		и в результате на
ходим
, =	const;	9
, =	const;	t=— j*		а>20М
		а •		а>20М
		а •	+	5(Р)
		Рн Р «	+	5(Р)

где р н — начальное значение р.

Для вычисления последнего интеграла нужно знать зависимости 5 ( р ) . Поэтому мы в качестве примера рас смотрим, как это обычно делают, случай мягкой харак теристики лампы и положим

	5 = 5 я . — \| -		I	J Ра
[формула (5) п. 2.2.1)]. Тогда
	Y
= -	1	<4М ,		з ,	,	«4
						—	Р8
Введя обозначения
	COgAf
« +	<V 2		4	I Л »		I	2
и новую переменную		Z = l/p2 ,	можно		записать
	г	rfz		1		"SS—Y
	г	rfz		1	.	J :	;
							2 Y
	2
	Рн
и, потенциируя,	получаем
		1Г-ТГ
		~~2		Y
			Рн
Решая это уравнение		относительно		р\	находим
	, _ _		в

9Y + f V - Y > - 2 ? <

130	§ 5.2.

Следовательно,

2 t , 1 = P e K V e =

Рн

и окончательно

у	X
	X
	Y +
	Рн

X cos К * + 6).

Если условие самовозбукдения выполнено, то М < 0 и а < со^/И [/2, a р и у положительны.

Полученные формулы позволяют сделать некоторые выводы. Если р п — начальная амплитуда — мала, то ко лебания с течением времени нарастают, стремясь к ста

ционарному		значению р С т = К Р / У -				В процессе установ
ления	частота		автоколеба
ний не изменяется (в				приня
том приближении).						/	sf\		1
Характер нарастания					ко
								/ I	/
лебаний иллюстрируется					на	^•Д		/ 1 /
рис.	5.2.									t
В заключение к сказанно						—XJ
								1	I
му можно		добавить		некото				N W		-
рые соображения, не				влияю					* — U —
щие	на полученные			резуль
							Рис.		5.2.
таты, но имеющие некоторое
теоретическое			значение.

Пренебрежение сопротивлением г в предыдущих рассуждениях делает их недостаточно строгими. В связи с этим полезно вывести основное уравнение задачи, не делая этого пренебрежения.

Воспользовавшись уравнением (4), можем написать

2 ч dl>r-(w o-2 a 4-4 a 2 )"g

и с учетом этого соотношения из (5) § 5.2 находим

L /	4а2	2а	d		(14)
и, = Е — 2aL«a -+- м		?	dt	\| V	(14)

§ 5 . 2 .

131

Соотношение (3) можно				рассматривать			как уравнение, связывающее
«а с Ug и u'g. Таким образом,					можно		считать		(если уравнение (14)
разрешимо		относительно		и а ) ,	что	нам		дана	зависимость « а =
= Ф(ие,	u'g).
Следовательно,
и можно написать
				du g	" g +	du'g		u в-
Теперь	уравнение		(6) приобретает вид
и"	+	Ыг.ив =			со0 М	/
и"	+	Ыг.ив =	— 2 а						ди'	м " 0 .
									ди'

Здесь в правой части имеется член, зависящий от и"е, который мы перенесем налево и напишем

9 <ЭД N

1 + <м -ш^У"^

или

+ Со2«,	-2а	"о	ди.
'o"g-		2а	ди.
	2 , .	д *

				<о\М			д4>	л	<Эф
	=	— 2а		+
и,	наконец,
						2а
	и"е + w o "g							1 + 2а dug		Ju е •
					ы40М		йф
							ди'			(15)
							ди'
	Таким образом,			мы	пришли		к	дифференциальному		уравнению
второго порядка, у			которого правая					часть мала	и зависит лишь от
ug	и u'g (u"g	справа		не содержится), т. е. к уравнению,						которое мо
жет рассматриваться				методом ММА.
	Полезно	отметить, что если в (14) положить							а = 0 , то это урав
нение переходит в			ранее		полученное. Действительно, в					этом случае
				ф =	f	( ие,	£+
и,	следовательно,		дЪ/ди'		=	0;	дЪ/ди = df/da
			дЪ/ди'		=	0;	дЪ/ди = df/da

ы2пМ

132

§ 5.2.

5.2.1. О б устойчивости стационарного колеёаний

(стационарного решения) в одноконтурном ламповом генераторе 1

Обратимся вновь к дифференциальным уравнениям (13) § 5.2, описывающим установление колебаний в одноконтурном ламповом генераторе. Для нахождения стационарных решений этих уравнений нет необходимости находить их интеграл, достаточно положить в них

dp[di = Q. Тогда непосредственно получаем М < 0	и
S = —rC/M = rCI\M\,	(1)

т. е. тот же результат, который мы нашли во второй главе.

Для того чтобы решить вопрос о том, может ли на самом деле реализоваться амплитуда р, определяемая уравнением (1), несбходимо убедиться в том, что соответствующее решение устойчиво. Если ограничиться лишь уравнениями (13) § 5.2, это исследование можно произвести следующим образом. Пусть стационарное значение ампли туды равно ро. Допустим, что эта амплитуда получила некоторое ма

лое приращение е, и положим		р = ро + е.			Поскольку			е является функ
цией от р, можем написать,		удерживая			лишь		величины порядка е,
					dS
S	(Ро + е )	= 5	(ро) +		"dj-	е.
Следовательно, первое	уравнение		(13) § 5.2			даст
			ы20М	о ,		ч	d	S
"(Ро	+
				s	(Ро) +		~ЙГ 1

Учитывая (1) и отбрасывая величины порядка е2 , непосредственно получаем

ы20М

4\М\

Величина

0,5p0cog | М

\ dS/dp,

которую

мы

обозначаем

через а,

от

времени не зависит. Тогда можем написать

е =

Aeat,

где

А —'Произ

вольная

постоянная.

Отсюда

видно,

что

при

а<0 е с

течением

времени

убывает

и,

следовательно,

р стремится

к р 0 . Это

значит,

что

стационарное

ре

шение

(колебание)

будет

устойчиво

по

отношению

амплитуде и при этом устойчи

вость

будет

асимптотической

(так как е—>-0).

Теперь

обратимся

соот

ношению

dQ/dt = Q.

Из

него

вытекает, что аргумент 0 от

времени не зависит и может

иметь произвольное

постоянное

значение.

Следовательно,

ча

стности,

приращение

вы-

Рис.

5.3.

1 Здесь термин «стационарное решение» понимается в смысле

независимости

«амплитуды»

от времени.

5 . 2 . 1 .

Званное каким-либо внешним фактором (действовавшим в течение некоторого конечного промежутка времени), не будет с течением вре мени ни нарастать, ни убывать. Это значит, что наше решение (ко лебание) устойчиво и по отношению к фазе, хотя эта устойчивость не является асимптотической.

Таким образом, для того чтобы полученное решение было устой чиво и могло реализоваться, необходимо сделать а < 0 . Считая, р 0 величиной положительной, приходим к выводу, что для этого должно соблюдаться условие

		dS/dp<0		при р = ро-						(2)
Этот результат может быть иллюстрирован посредством рис. 5.3.
Пусть, например,		уравнение	(1)	имеет	два решения		р а	и рь,	соот
ветствующие двум		точкам	пересечения		кривой S(p)		и	прямой,		па
раллельной оси абсцисс, проведенной на					высоте	rCj\M\.
Из изложенного вытекает, что колебание с амплитудой									р = рь
будет	устойчиво и	может быть физически реализовано. Решение								р =
= р а	устойчивым	не является и,		следовательно,		реализовано				быть

не может.

5.3. Регенеративная схема. Устойчивость

одночастотного режима

В третьей главе мы рассмотрели одночастотный ре жим регенеративной схемы и нашли стационарные ре шения соответствующих уравнений. Однако вопрос о том, могут ли быть эти решения (колебания) в действительности реали зованы, оставался, по су ществу, открытым, ибо устойчивость решений не была исследована. Здесь мы постараемся воспол

нить этот пробел.


Рис. 5.4.	Схема,	подлежащая
рассмотрению,			изображе
на на рис. 5.4. Соответствующие	обозначения		ясны из

рисунка. Дифференциальные уравнения задачи могут быть написаны так:

	(О
i =	C d 3
	dt
134	§ 5.3.

или, положив		to^=l/LC; a — r/2L,	получим
Кроме того,
или
	- MC [.J (* - M § ) - 2a § _ Л в =
Будем подобно тому, как это делалось раньше				(гл. 3),
рассматривать		случаи воздействия синусоидальной		э. д. с.
e = Emcos&t	в	предположении, что	частота внешней си

лы близка к частоте собственных колебаний, т. е. отно

сительная расстройка (бсо/соо) = (со—соо)/соо есть	величи
на малая.
Амплитуда вынуждающей силы Ет, анодный	ток га

и параметр та считаются малыми в соответствии с сооб ражениями, которые высказывались в предыдущих главах.

Учитывая все это, мы можем в формуле (3) прене бречь соответствующими членами и написать

		ua = E + 4 v				(4)
Таким образом, анодный ток i a , зависящий					от сеточ
ного и анодного		напряжений,	можно, учитывая		(4),	рас
сматривать	как функцию от сеточного напряжения ug,					т. е.
k =	U ("g ,	"а) = f1 ( и в . Я	+	X " "g )= f («g)-		(5 )
Теперь обратимся		к уравнению	(2)	и перепишем	его	так:

причем правая часть этого уравнения является малой величиной, зависящей явно от / и от ug.

§ 5 . 3 .

}35

Удобно (6) написать в виде

d*aa

dt2 -Х-т2и ~ш Ет cos Ы—

ы2дМ

(7)

Это уравнение отличается от (6) § 5.2 лишь дополни тельным членом в правой части а>2Ет cos юг-|-(ш2 —«>2 )ug ,

и к нему можно применить аналогичную методику для составления укороченных уравнений. Не повторяя по дробно рассуждений, приведенных в § 5.2, можем поло

жить Ь(р) =/52-Ьсо2, Ug — yi + уг			и в	результате	написать
dyi	и	4-	а>20М
dyi

	. g	1
	" ^ l ° V e ' » C O S C D /	+	(a	ш2)и 1.	(8)

Положив теперь ij, = 0,5Ae'mt и повторив соответствую щие рассуждения, приведенные в § 5.2, получим

со^М

1 + a

где Ф — функция, удовлетворяющая при любых t условию

(9)

Таким образом, правая часть (8) представляется в форме

		+ Ф2 .
где Ф 2 — функция,	удовлетворяющая	условию	(9).
Согласно методу ММА можем укороченное уравне
ние для комплексной амплитуды А написать так:
	u>2QM		1*4 p
dt	s + 4	2(0	2<о

§ 5.3.

Учитывая малость бсо —со—о)0, можем приближенно по ложить (Оо=,1о, тогда

§ = = - Л

(

+ ^ 5

/ 5 ш ) - ^ £ т .

(10)

Теперь пусть

А —ре'6,

где р и 6 — вещественные

функции

от

t. Тогда

dt—{dt

d t ) e '

и,

следовательно,

(10) приобретает вид

d? I

• d9

= -

{

I ы Ш 0

, ; s

-Em

—m

. (11)

^ +

I ? ^

* + —

S +

} t » ) - l -

T » e

Отделяя

вещественную часть от

мнимой,

получаем

два уравнения:

-dJ=~P[a+~S)

2 - 5 1 П б ;

(оЕт

(

№

Отсюда можно получить стационарные решения, поло

жив dpjdt = 0, dQ/dt = 0.
Обозначив соответствующие	значения р и 0 через ро
и Оо, можем на основании (12) написать
[ , со2/И о , ч 1	ыЕт . „

P > = _ ^ c o s 6 0 .

Исключив бо, получаем уравнение для определения амплитуды колебаний:

Р? ; ( « + ^ 5 ) 2 + ( H s ] = 4 - ^

о4)

которое совпадает с соответствующим уравнением, по лученным в третьей главе при рассмотрении регенера тивной схемы.

Если найти некоторое значение ро [уравнение (14) может иметь не одно решение], то посредством (13) най дется соответствующее значение 0о (оно определится, конечно, с точностью до целого числа, умноженного на 2к).

§ 5.3.

137

Перейдём теперь к вопросу об		устойчивости		у с т а н о
вившихся	решений. В соответствии	с	общей методикой
положим	р = р0 + £, 6 = 8о + т), где	1,	г) — вещественные
функции	от t, которые по абсолютной		величине	можно

считать как угодно малыми, по крайней мере при до статочно малых t. Учитывая малость | и ц, можем в пер

вом приближении

написать

sin(е0

+ Г|) =sin Эо + т] cos

60;

eos(0o

+ r)) =cos80 —r\ sinflo;

5(po + g)=S(p0 )+S'(po)6,

причем здесь S'(po) = dS/dp

при р = ро-

На

основании

этих

соотношений

равенств

(13)

можно первому уравнению

(12)

придать

вид

-jf=

У V 2

° s К -

*L — (5 +.P0 S') + а

и, учитывая,

что

со Ет

cos 8о = —28соро,

написать

его

еще

так:

§ - = -

P > - e [ ^ ( S

p.S')

« ] .

Произведя

аналогичные

преобразования со

вторым

уравнением (12),

найдем

dr\

t s

и2/И

Р о ^

= — 5§ш -

т]Р Л a -

f - g - S

Рассматривая

случай

М<0

и введя

обозначение

х = со2 1М|/2а,

можем

полученной

системе

уравнений

при

дать вид

^ . = & x [ * ( s + P o s ' ) - i ] ; - тнуц 1

Частное

решение

этих

уравнений

r)i

будем

искать

в форме

5, = Ж е т ' ;

ц^Ые1',

(16)

где М,

/V и у — постоянные

величины.

Подставляя

(16)

в (15) и сокращая

общий

множитель е т /

получаем

M { Y + « [ 1 — х (5 + poS') }}-/V6cop0 = 0;

Мбсо + ЛГр0 [у+<а(1—xS)] = 0.

138

5.3.

Для того чтобы эти уравнения имели решения, от личные от тривиального, необходимо и достаточно, что бы определитель этой системы был равен нулю. Таким образом,

Po{Y+«tl->«(5 + po5/)]}[Y + a(l-'<5)]+po(6co)2 =0

или

Po S')y +

т . +

2 а ( 1 -

5 -

а2

(1 -

xS) [ 1 -

х (5 +

P o S')] +

(So)2

= 0.

(17)

Отсюда

получаем

два значения

у;

Y , . , = - « ( l - » « 5 - - r P . S ' ) = t

± j / a 2 ( l _ x S - - ^ P o S ' ) 2 -

(1 — xS) [1 — х (S-f- P o S')] -

(5ш)2'

(18)

и, следовательно,

общий

интеграл

системы (15)

имеет

вид

1 = М1еъ{

+ М2еъ';

т] =

' +

Л^е7 ''.

(19)

где Л1ь М2 ,

A^i И N2—константы,

две

из

которых

про

извольны.

Отсюда

видно,

что для

устойчивости

(асимптотиче

ской) полученных ранее стационарных решений необхо

димо и достаточно	выполнить		следующие два	условия:
1 -	xS -	-J- P o S'	> 0;	(20а)
та2(1—х5)[1—x(S		+ po5')]+ (8со)2 >0.		(206)

В дальнейшем рассмотрении ограничимся мягкой харак теристикой лампы, т. е. будем считать, что S(p) —моно тонно убывающая функция от р и, следовательно, наи


большее	ее значение		соответствует р = 0 .		Рассмотрим
теперь два случая.
1. x S ( 0 ) < l ,		т. е. условие самовозбуждения для				рас
сматриваемой		системы	не выполняется.	Учитывая,		что
х, 5 и	ро — величины		положительные,	а	S'^,0, легко

приходим к заключению, что в этом случае условия (20) всегда удовлетворяются.

§ 5.3.

139

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ