книги из ГПНТБ / Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике. (Автоколебательные системы)

ображения можно высказать для более общего случая, что будет более подробно изложено в § 4.4.

Следует отметить, что в методе последовательных приближений, в его первоначальной формулировке, та­ кая же малая погрешность обеспечивается лишь при условии, что [it мало, т. е. для времен гораздо меньших, чем при применении метода ММА.

В дополнение полезно сказать, что во многих зада­ чах, связанных с процессом установления колебаний, длительность процесса зависит от величины [i и тем больше, чем меньше р,. Поэтому необходимо не огра­

в его первоначальной форме такой возможности не дает.

Сказанное выше по поводу метода ММА при над­ лежащих условиях может быть строго доказано. Ви­ димо, наиболее общая формулировка задачи и строгое доказательство того, что решение уравнений первого приближения в методе ММА (укороченных уравнений) для времен порядка L/[i могут быть сделаны сколь угод­ но близкими к решениям точных уравнений, если [i выбрать достаточно малым, имеется в книге Н. Н. Бого­ любова и Ю. А. Митропольского «Асимптотические ме­ тоды в теории нелинейных колебаний».

В некоторых специальных случаях (при наличии устойчивых стационарных состояний) укороченные урав­

изъять из Fft(i' и отнести их к первому слагаемому Ми. Вид уравнений (4) § 4.2 в этом случае остается преж­ ним, с той лишь разницей, что теперь Mh явно будет зависеть не только от Л, но и от /. Однако легко видеть, что предыдущие рассуждения останутся в силе и уко­ роченные уравнения по-прежнему сохранят вид (8)

§4.2.

4.3.Уравнения со свободным членом в правой части

Рассмотрим теперь уравнение, имеющее вид

и отличающееся от (1) § 4.1 только наличием f(t) в пра­ вой части. Эта функция в дальнейшем предполагается периодической с периодом Т и может быть представ­ лена в виде ряда Фурье

Будем искать его периодическое решение с периодом Т. Полагая

s=—oo

после подстановки в (1) получаем

ds, так как ее знаменатель нигде в нуль не обращается.

(3) причем Ф — функция, образующаяся из F после под­ становки у = уо + Ь,. Полученное уравнение (3) имеет та­ кой вид, как и (1) § 4.1.

4.3.2. Резонансный случай

Здесь одна из комбинаций |со/г—so)| равна нулю или имеет порядок малости ц. Теперь уже (1) § 4.3 не имеет периодического решения, так как один из коэффициен­ тов (2) п. 4.3.1 обращается в бесконечность (или велик) В этом случае уравнение (1) § 4.3, вообще говоря, не будет иметь решений, остающихся ограниченными при стремлении \\ к 0. Учитывая это обстоятельство, обычно считают, что «резонансный» член в (1) § 4.3 сам имеет малую амплитуду (порядка малости р,), что во многих случаях вызывается требованием существа рассматри­ ваемой физической задачи.

Пусть, например, член с номером г является резо­ нансным. Тогда напишем

Таким образом, мы вновь пришли к уравнению ви­ да (1) §4 . 1, рассмотренному раньше.

Полезно отметить, что указанный здесь способ рас­ смотрения неоднородных уравнений не является един­ ственно возможным. Практически удобно поступать иначе, как это будет видно из последующих глав.

4.4.Обобщение предыдущих результатов.

Получение второго приближения

Впредыдущих параграфах рассматривалось уравне­

ние и-го порядка вида (1) § 4.1 и было показано, что его можно привести к системе п уравнений первого по­ рядка с малым параметром в правой части. В дальней­ шем будем эту систему называть стандартной. Далее составлялась система укороченных уравнений, дающих решение задачи в первом приближении. Теперь, уже исходя из заданной стандартной системы, постараемся более точно сформулировать условия, при которых мо­ гут быть получены решения первого приближения, и по­ кажем, как могут быть получены более точные решения.

Пусть имеется стандартная система вида

Ищется непрерывное решение системы (1), обращаю­ щееся при t = t0 в заданную вектор-функцию A(ta). Не уменьшая общности рассуждений, можем в дальнейшем положить /0 = 0.

Будем считать, что в рассматриваемом векторном пространстве существует надлежащим образом опреде­ ленная «-мерная область D, содержащая A (to) в каче­ стве своей внутренней точки, в пределах которой функ­ ции CPi и Ф2 удовлетворяют следующим условиям при всех t^to:

что |5<*>(0—Я( Л , (0)|<#<*>—Д, k=\, 2, . . . . n, и Л — не­ которое сколь угодно малое, но отличное от нуля поло­

деляющего разность между решениями точных и укоро­ ченных уравнений при одинаковых начальных условиях,

и укороченных уравнений будет величиной порядка ма­ лости ц.

При некоторых условиях оценка (7) оказывается значи­ тельно менее грубой, чем (6).

Следует обратить внимание на то, что сказанное от­ носится лишь к конечным интервалам времени t, хотя и сколь угодно большим при достаточно малых ц. Если рассматривать фиксированное [х и все 0 = £ ^ < о о , то соот­ ветствующие теоремы будут формулироваться иначе и требовать дополнительных условий. Сейчас мы на этом

лежат внутри этого интервала. Заметим, что условия (3) обычно выполняются в тех случаях, когда Фг представ­ ляет собой, грубо говоря, функцию, осциллирующую около среднего значения, равного нулю.

Однако этот случай не является единственным. Пусть, например, имеется функция (векторная) F(A, t) такая,

что на всем интервале 0 ^ / < L / L I она сама и все ее пер­ вые частные производные по компонентам Л ограничены, тогда

где l^lmax — наибольшее значение нормы вектора F. Аналогично получаем для этого случая и второе нера­ венство (3). Таким образом, при интервале 0 ^ / < L / L I функции, ограниченные вместе со своими первыми част­ ными производными, умноженные на малый параметр ц, также принадлежат к классу М0. Отсюда, в частности, следует, что входящие в правую часть слагаемые, имею­ щие порядок малости р 2 (и при выполнении других ука­ занных условий), при составлении укороченных уравне­ ний также могут быть отброшены.

4.4.1. Построение уравнений второго приближения

Для получения уравнений второго приближения по­ ложим A=Ai + ^a, где А и а — векторы-столбцы а ( 0 ) = 0 . Подставляя в (1) §4.4, получаем

Подобно тому, как это делалось раньше в Начале настоящем главы, умножим обе части рассматриваемого уравнения на е^? 1 и проинтегрируем по t в пределах от 0 до со. Можем написать

о

и, следовательно, после преобразования уравнение приобретает вид

ооп

Оs=0

Учитывая, что

где b — произвольная функция от t; D — оператор дифференцирова­ ния, можем написать