Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

- 20 -

Величина	А ,	показывающая удлинение прукины при поко
ящемся гр у зе ,	называется		статическим удлинением	прукины.
Из формулы (12) следует,			что иесткость прукины равна частно
му от целения веса		гр у за,	подвешенного к ней, на	статическое
удлинение прукины.
Используя понятие кесткости прукины, формулу (II) мокно
переписать в	виде	_	__
		F = - с ( л + х. ) L .

Заканчивая изложение вопроса об определении сил, приведем формулы, которые выракают силы, прижженные к электрону в элек трическом и магнитном полях. Эти формулы укажем, не затраги вая опыты и математические рассуждения, с помощью которых они получены.

Если скорость движения электрона намного меньше скорости света (3.10® м.секТ-^), то электрон мокно считать материальной точкой, масса которой постоянна и равна 0 ,9 1 .1 0 —ЯП кг . Сила, црилокенная к заряженной частице в электрическом поле, назы вается электрической, а сила, приложенная в магнитном поле, называется электромагнитной. Электрическая и электромагнитная силы, приложенные к электрону, выражаются соответственно фор мулами

		£	=	_	(13)
		F	=	e ( v x H ) ,	(14)
где	е - заряд	электрона ( е = - 1 ,6 Л O'719 кулон),			й - ско
рость	электрона,	Е	-	напряженность электрического	поля,

Н - напряженность магнитного ноля.

Напряженности электрического и магнитного полей зависят от источников этих долей и от того места в пространстве, для которого эти величины определены. Если напряженность поля (электрического или магнитного) одинакова для всех его точек, то поле называют однородным.

В электронном приборостроении весьма часто используется электрическое поле, расположенное между двумя заряженными алоспопараллельными пластинами, (рис.5 ), и магнитное поле,

			-	21 -
возникающее внутри соле
ноида при протекании по
его обмотке		постоянного
тока (рис.6 ).
Электрическое поле,
расположенное			между дву
мя заряженными плоскопа
раллельными пластинами,
практически однородно.
Напряженность			такого по
ля во всех его точках в
условиях вакуума опреде
ляется формулой
		Ё = U cT'J,		U -	электрическое	напряжение на
			г д е	U -	электрическое	напряжение на
пластинах,		d	- расстояние между пластинами,			J - орт оси Оу
(ом. рис.5 ).			У]		&
Выраже
ние (15)	го
ворит о	том,
что напря
женность				L
электричзско-				L	Рис.6

го поля прямо пропорциональна напряжению на пластинах, обрат но пропорциональна расстоянию между ниш и направлена в сторо ну отрицательно заряженной пластины. Так гак заряд электрона отрицателен, то согласно формуле (13) сила, приложенная к электрону в электрическом поле пластин, направлена в оторону

положительно				заряженной пластины.
	Магнитное поле внутри соленоида (см .рис.6) можно считать
однородным,				если длина соленоида б		в несколько раз		больше
его	диаметра			d	. Напряженность магнитного поля такого соле
ноида во			всех его точках определяется* формулой
	1					соленоида, п	-	( К )
где		-	ток,		протекающий по обмотке			число
витков		обмотки,			Е - длина соленоида,	I - орт оси	Ох	,

- 22 -

Выражение (16) говорит о том, что напряженность магнитно го доля внутри соленоида есть вектор, направленный параллель но оси соленоида в ту сторону, откуда течение тока какетоя происходящим против часовой стрелки. Величина напрякенности прямо пропорциональна току и числу витков обмотки и обратно

пропорциональна

длине

соленоида.

Из формулы (14) видно, что электромагнитная сила, прило

женная к электрону, зависит от скорости электрона. Эта сила

всегда перпендикулярна плоскости, содержащей векторы v

и Н ,

ж направлена в

ту сторону, откуда кратчайший поворот

от векто

ра

гг

к вектору

какетоя

происходящим по

часовой

стрелке

(рис.7 ).

Последнее следует из.

того, что

заряд

электрона

является

величиной отрицательной.

Так как электромагнитная си

л а, приложенная к электрону в

магнитном поле, всегда направле

на перпендикулярно скорости, то

эта сила вызывает только нормаль

ное ускорение электрона (рис.7 ).

Это означает, что магнитное поле

изменяет

скорость электрона

только по направлению и не влия

Рис. 7

ет на ее величину,

п.2„

Определение

движения материальной

точки по силам,

приложенным к ней

Покажем, что, зная все силы, приложенные к материальной

точке, можно определить зе движение, т .е . найти кинематичес

кие уравнения движения точки.

Последние в декартовых коорди

натах имеют вид

X = х ( t ) 1

y - y ( t )

(17)

* z(t)

приложено п

Пусть

к материальной

точке

М массы

сил:

F ,

, . . . .

(р и с.1 ). Свяжем с телом,

относительно кото

рого

требуется

определить движение точки М,

систему отсчета

- 23 -

Oxyz . Будем считать ее инерциальной. Построим для точки М

основное		уравнение			динамики:п		_
					а = т~*Z1 Fi			>			(18)
где	а	-	ускорение		точки м‘ относительно системы					Oxyz
Спроектируем обе части векторного уравнения (18) на оси
системы			Oxyz . Получим
				х	l*t	F		,
					l*t	LX		*			(19)
											(19)
				г	= r n ' f i	F	>
где					ТЛ		>
где				- вторые производные по времени от декартовых
F	F. ,F			координат точки М в системе					Oxy z	,
F	F. ,F			- проекции сил,			поилокенных к		точке	М,	на оси
1Л* iy '			IZ	системы Oxyz .
				системы Oxyz .
Система				(19) относительно			искомых функций (17)				является

системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого по рядка. В зависимости от вида функций F.x , F. , Fu урав нения (19) могут быть линейными или нелинейными, однородными или неоднородными, с постоянными или с переменными коэффи циентами.

Уравнения вида (19), устанавливающие связь между вторыми производными от координат точки по времени с силами, прило женными к ней, называются дифференциальными уравнениями двикения материальной точки.

Если дифференциальные уравнения движения материальной точ ки являются линейными, то задача определения кинематических уравнений движения называется линейной задачей механики. В противном случае задача называется нелинейной. Линейные зада чи механики позволяют точно проинтегрировать уравнения (19) и определить функции (17) в аналитической форме. Ндя решения не линейных задач обычно используются приближенные методы интег рирования (линеаризация, построение решений в вице степенных и тригонометрических полиномов, численное интегрирование). В ааотолщее время многие нелинейные задачи решаются методами математического моделирования.

- 24 -

Предположим, что нам удалось проинтегрировать систему уравнений (19) и получить общее решение

		у = У	•••	,с .) ,		\|	(2° )
где	С	z =z(t,c„	■■■	Л )	'	j
		,, Cfi	- произвольные			постоянные.
	Изменяя'в уравнениях (20)			значения		постоянных Cf ,
С	, мокно построить		целое семейство		кинематических уравнений
цвикения, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (19).
Для того,		чтобы решение задачи		определения			движения точки по

силам, приложенным к ней, было однозначным, обычно оговарива ют так называемые начальные условия. Под начальными условиями понимают координаты точки и ее скорость в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Начальные условия записы

вают в вице:
при t * 0	х = х
х = х .	х = х		]
У=У,	У=Ус	>	[	(21)
г - zp	z - z,	•	J
Сформулированные начальные условия используют для опреде
ления постоянных С( , с	, . . . .	Сб	, т .е .	для выбора како

го-то конкретного движения из семейства движений, возможных

при данной совокупности сил,		приложенных к точке,
Для определения величин		с , СА , . . . ,	С обе	части
каждого из	уравнений.(20) дифференцируют по времени.			Затем в
уравнения	(20) и в уравнения,	полученные при	дифференцирова

нии, подставляют начальные условия согласно равенствам (21). При этом получаются уравнения вида

х* = х (0, с „ ^ , с г , с . ,	CS>C<) :
У . в У(0, с„	■Сс>>	(22)
■■■	1 ^ >	(22)
X' =х (0, с.	Л Ь
Уо*У(0, С, ,	Л Ь
Уо*У(0, С, ,	■ С. ),
г. =£(<№>	. С , ) ,

- 25 -

составляющие сиотему шести алгебраических уравнений с шестью

неизвестными: С	, Сг ,	С(	.	После решения этой сис
темы и подстановки	выражений	С(	,	ct , . . . , Се через на

чальные условия в уравнения (20) искомые кинематические урав нения движения точки записываются в вице

у	У ..*.,	У.’ *-.)■
г =	z(t,xo>y*>	У.’ *-.)■
Эти уравнения опиоывают движение данной материальной точ
ки в случае, когда	к ней приложены силы Ff ,		Fn и
когда начальные условия определены равенствами			(2 1 ),
Таким образом,	для определения движения точки по оилам,
приложенным к ней,	необходимо:

1)выбрать и описать оиотему отсчета, относительно кото рой требуется найти движение точки;

2)изобразить точку в произвольном положении;

3)перечислить механические действия на точку и силы, при

ложенные к ней;

4)показать эти силы на изображении точки в произвольном положении;

5)составить динамическое уравнение движения точки в фор ме основного уравнения динамики;

6)спроектировать обе части динамического уравнения на оои выбранной системы отсчета, выразив все величины, завися

щие от координат точки и их производных, через эти параметры;

7)охарактеризовать полученную систему дифференциальных уравнений;

8)проинтегрировать эту систему;

9)сформулировать начальные условия;

10)определить значения произвольных постоянных, соответ ствующие начальным условиям;

11)записать в окончательной форме решения дифференциаль ных уравнений; эти решения являются кинематическими уравнения ми движения точки,

- 26 -

Рассмотрим примеры задач на определение движения мате риальной точки по силам, приложенным к ней.

п .З. Задачи, связанные с работой электронно-лучевых трубок

Электронно-лучевые трубки находят широкое применение в телевизорах, осциллографах, радиолокационных и других радио технических устройствах. Электронно-лучевая трубка (рио.З)

Рис. 8

представляет собой стеклянный вакуумный баллон I , внутри кото рого помещена электронная пушка 2 , излучающая узкий пучок электронов 3 (электронный луч). Электроны направляются в сто рону флюоресцирующего экрана 4, на котором в точке падения электронного луча образуется световое пятно. Электронный луч может отклоняться в двух взаимно перпендикулярных направлениях с помощью отклоняющих систем 5 и 6 . Отклоняющие системы созда ют электричеокое или магнитное поле, при прохождении через ко торое электроны изменяют свои траектории. Световое пятно, обе гая экран, создает на нем видимое изображение.

Задача I . При отсутствии сигналов в отклоняющих системах элентрокно-лучевой трубки (рис.9) все электроны, вылетающие

Рис, 9

из пушки I , долины упасть на экран 4 в одной точке. Так как электроны вылетают из пушки не точно в одном направлении, то их необходимо как-то собрать в одной точке экрана. Приведение электронов к одной точке экрана осуществляется с помощью катуш ки 2, расположенной вокруг горловины 3 и создающей внутри ее магнитноеполе. Процесс приведения электронов к одной точке экрана называется фокусировкой электронного луча.

Электрон М массы т влетает в магнитное поле катушки со скоростью г? , направление которой определяется углами ot, и узс „ Построить кинематичение уравнения движения электрона в магнитном йоле катушки, принимая, что внутри поля к электрону приложена только одна электромагнитная сила, определяемая фор

мулой		F = е (v-x Н )		,	где е	- заряд электрона,		v- -	ско
рость его		движения,	Н	-	напряженность магнитного			поля.	Счи
тать	магнитное поле		однородным,			напряженность	Н -	направлен
ной	параллельно оси		трубки в сторону экрана.				Уравнения построить
в системе		отсчета Oxyz ,			показанной на рис,9.
	Р е ш е н и е .		Так как систему отсчета				Охух.	можно счи
тать инерциальной, то основное уравнение динамики для точки II
запишем в		вице			_
			а	= nrC’F ,


или,	используя вырааение электромагнитной силы F ,					- в виде
			5 .- е . т ' \ iг * Н ) .			(2з)
Раскрывая векторное				произведение (ir * R ) через		проекции
V и	Н на оси системы			Oxyz , спроектируем векторное урав
нение	(23) на оси этой системы. Получим
	* =	,	у = 0 ,		г = - к х ,	(24)
где				к = - е Н т '1.
Система (24) являетоя системой линейных однородных диффе
ренциальных уравнений о				постоянными коэффициентами,		шестого

порядка. Второе уравнение этой системы интегрируется независи

мо qT двух других,	причем решение его имеет вид
	у -	o,i ‘	с4 ,		(25)
где С', ct - произвольные		постоянные.
Продифференцируем первое			уравнение	системы	(24) по времени
и подставим в него	третье уравнение. Получим
х = - к \х	,		откуда	х * к 1х	* о.
Это - линейное	однородное		дифференциальное		уравнение треть

его порядка. Корни его характеристического уравнения соответ

ственно		равны:		j>t ■=О ,			д , =» lk		. Следовательно,
	Cs ,			х	=Сз *		С4 CDS «t * Cf Sin Kt			,	(26)
где	Cs ,	C	,	Cf -	произвольные постоянные.
	С помощью первого уравнения системы									(24)	найдем, что
				Z = С. - С sit? Kt				t- c^cosKt ,			(27)
где	С.	-	произвольная постоянная.
	Для определения					постоянных				С6	воспользуемся на
чальными условиями, которые запишем в виде:
при	t = 0					a
		X	= 0	,	X	a		COSci.^COSJ}0
		у = О ,			у =			C O S ' о ( >
		г	=		*	= 4 *			•
	Дифференцируя по времени							уравнения (25)—(27) и подставляя

в них и в уравнения, полученные при дифференцировании, началь

ные условия,	найдем
о	= с.	,	и = к с.

			- 29 -
откуда					С, =	к
	Ч		в!/ 1	V * ■	С, =	к
	с* = - * « * '			Сг ■=V«« К
Окончательно искомые кинематические уравнения движения
электрона з магнитном поле фокусирующей катушки задишутоя в
виде	=		К SinKt - V- н'CDS Kt + у- *
X	=		К SinKt - V- н'CDS Kt + у- *
7у	= V.»у		•£ %
z	=		K"cDSKt +	K f i n K t	- г / „ я "	'
где
		c<4Vo cos^0 ,		V01 =• V Sind,		,
	«	£ eo*»«. «‘"А ,		я = - e Hm'1.
Задача		2 .	Для отклонения электронного луча в электронно

лучевой трубке используется отклоняющая		система, состоящая из
двух длоско-яаралледьных пластин I	и 2 ,	к ноторым приложена
разнооть потенциалов U \рис.Ю ).	Электрон М массы т влетает

					Рио. 10
в электрическое поле менду пластинами со скоростью											, направ
ленной вдоль оси трубки.						Сила,		приложенная к электроду в
электрическом поле меацу пластинами, направлена в сторону по-
локительно заряженной шхастины и равна										по величине
		F - и \|е\| d~'		t	Где е		-	заряд		электрона, oL -	расстоя
ние	между пластинами.								U	, которую надо
	Определять разнооть				потенциалов						пршго-
кить	к пластинам для того,					чтобы электрон отклонился к краю эк
рана	3.	Длина пластин		равна			£	,	удаление пластин от		экрана
- L	,	ширина	экрана -		8	„ Силу тякести и электрическое поле
вне	пластин не		учитывать!"

<<< < Предыдущая 1 23 / 263 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ