Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

- 70 -

вдающегося тела, найти кинематическое уравнение движения это го телр , то надо составить дифференциальное уравнение в форма

проинтегрировать это уравнение, сформулировать начальные усло вия, определить произвольные постоянные и подставить найден ные значения этих постоянных в общие интегралы,

Првкце чем рассмотреть примеры использования динамическо го уравнения вращения тела вокруг оси, познакомимся более под робно с моментом инерции тела относительно осп,

п .6 . Вычисление моментов инерции тела относительно оси

Из динамического уравнения вращения тела вокруг оси сле дует, что угловое ускорение твердого тела обратно пропорцио нально моменту инерции тела относительно оси вращения. Чем меньше момент инерции тела, тем с большим угловым ускорением будет вращаться тело, И наоборот, чем больше момент инерции тел а, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инер ции тела относительно оси характеризует инертность тела во вра щательном движении,

Соглаоно определению, моментом инерции твердого тела отно сительно какой-либо оси называется величина, определяемая фор мулой (6 5 ), Если тело имеет правильную геометрическую форму, то вычисление момента инерции производится с помощью интегрально

го	исчисления.	Для этого массу элементарной частицы				выражают
в	форме дифференциала		d m ^ ^ d #	, где f	-	плотность
материала, из		которого	изготовлено тело	(или его	ч асть ), d V -

элементарный объем. Заменяя в формуле (65) суммирование интег рированием по объему тела, получим

	Если тело является однородным, то последняя формула прини
мает	ВИД	~	Г * / , /
	„	Z *	r \ f d v -
	„		оо
	В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однород
ного	отерняя	относительно	оси, перпендикулярной стеркнга и про

- 71 -

ходящей через его конец (рис,32)„ тарный объем, удаление которого

от	оси Z	обозначим через f ,
а	толщину -	через	dj>	„ Обозна
чим площадь		поперечного		сечения
стержня через S			„ Тогда элемен

тарный	объем стержня будет выра
жаться	формулой: d.V * S d j>	,

и для определения момента инер ции стержня относительно оси s получяи:

Выделим в стержне элемен-

Рисо 32

7		-	-Lr-й i l -	m l
7		-	J Г ьс '
где т - масса	стераня, t	~	его длина,
В качестве	другого примера	вычислим момент инерции одно

родного круглого диска относительно осе, перпендикулярной шюс-

пости	диска и проходящей		через		его	центр (ри с.3 3 ).		Выделш(э
диске элементарный объём в виде
кольца, радиус которого обозна
чим через j> , а ширину -			через dp.
Обозначим толщину диска через $.
Тогда	элементарный объём будет
выражаться формулой: ctv’Zfrj>$dJ>i
и для определения момента инер
ции диска относительно оси				г
получим:						Рис„33
	^			* I	= - M r
где	m - масса	диска,	г-	-	его	радиус„
В таблице I		приведены выражения моментов					инерции некото
рых однородных тел правильной геометрической							формы.	Моменты

инерции тел неправильной геометрнчесной форма обычно опреде ляются экспериментальным путем» Формулы, вопользуемые ярн етоы, будут выведены в дальнейшем.

При вычислении моментов инерции очень часто используется следующая теорема.

Теорема Гюйгенса-Штейнера? Момент шерцни твердого тела от носительно какой-либо оси равен моменту инерции тела относи—

- 72 -

Таблица I

Осевые моменты инерции однородных тел правильной

геом етрической формы

- 73 -

П родолжение

- 74 -

тельно оси, проходящей через центр масс тела параллельно дан ной оси, плюс произведение массы тела и квадрата расстояния нейду указанными осями.

Для доказательства теоремы свякем с телом (р и с.34) две

системы отсчета	Ох ух. и 0,xi yi z i , соответствующие	оси кото
рых параллельны	мекду собой, Прецполоким, что ось Ог	прохо

дит через центр масс тела С. Будем задавать полокение оси 0,х,

относительно	системы		Ох ух		координатами		х	и	у	,	а рас
стояние мееяу	осями		Oz	и	0t z t	обозначим через			S	,	По оп
ределение момента инерции				тела относительно оси и с						помощью
обозначений,	показанных на р и с.34, имеем:
\ = 2 4 / „ f		' %	(х'<		X	т.	(У;-!/)2]			=
=					- 2 x £ m x . - 2 y Y l пп.у. =
ьв<’			* е *			I a f	i %f	*	*
&		*			П .
= 7 * т s - 2 x ^ 2 т.х. - 2 и 2 Z у :										(67)
*		i«/			С«Г					(67)
*		i«/			С«Г

Для упрощения яолученного выракения воспользуемся определвнйбм центра масс механической системы, согласно которому абсцисса & ордината центра масс определяются Формулами

		-	75	-
I I ™	*			IT ™ . y.		(68)
-х =				Ус'
				Ус'
Так ка^( в данном случае				центр	масс находится jsa	оси	Oz е
то в^системе Oxyz		х ^ 0 1 у^=о .			Следовательно, Yirn.x. -		О
и Т1гП;уь =С	,	а выражение (S7) переаиеьзаетбя' в				вица
		[7	= У	* m S x .
Теорема Гюйгенса-Штейнера доказана. Следствием этой тео
ремы является го,		что из совокупности параллельных осей ,					про

веденных в теле и его окрестности, та оси, которая проходит

через центр масс тела,			обладает наименьшим моментом инерции.
В связи	с	этим центр масс тела иногда называют его		центром
инерции,	а	любую ось,	проходящую через центр м асс,	централь
ной осью.
При	использовании		теоремы ГюЙгеноа-Штейнера необходимо

знать положение центра масс тела. Покакем, что центр маоо од нородного тела, имеющего плоскость, ось или центр симметрия,, находится соответственно в плоскости, на оси или в центре сим

метрии.		Пусть, например, однородное тело симметрично относи
тельно		оси		Oz	(р и с.3 5 ).	Это
означает; что частице М с
массой				и с	координатами
( x , , y , , Z ' )				соответствует		час
тица	М,		с	такой ке массой
и с координатами (хд , (/я , ZL ) ,
удовлетворяющими равенствам
х =-х.			Уг-У,		z K = z .
„	Отсюда,			следует, что суммы
& Х И		z l		т.у-	будут равны
нулю, а		тогда согласно (6 8 ) бу
дут	равны		нулю координаты			х,
и		центра масс. Значит,					Рис.35
действительно,					при наличии у
однородного				тела оси симметрии центр маос			находится нэ этой оон»

-76 -

Вслучаях, когда однородное тело обладает плоскостью или центро.м симметрии, рассуждения будут аналогичными. Таким об разом , центр масс однородного шара совпадает с его геометри ческим центром, а центр масс однородного прямоугольного па

раллелепипеда находится в точке пересечения его диагоналей.

В качестве примера использования теоремы Гюйгенса-Штейне ра определим момент инерции тонкого однородного стеркня отно сительно оси , перпендикулярной стержню и проходящей через его

середину.	Обозначим эту ось			через	2	(о к е .3 6 ).			Так	как ось I
				является осью симметрии стеркня,
				то , следовательно, она проходит
				через центр масс и является цент
				ральной		осью. аЛомент инерции стер 1-
				ня относительно				оси	z	обозначим
				У	*
				“и	*				что	момент
				Выше было показано,					что	момент
				инерции рассматриваемого стеркня
				относительно оси				z,	,	проходяще?
				через конец стеркня и перпендику
				лярной	ему,		определяется формулой
						Уz.	О
где гп -	масса	стеркня.		С - его длина.
По теореме Гюйгенса-Штейнера имеем
		7	- 7	,
о т к у д а		t,	с*.
о т к у д а
	7	■ т о	?.— т с	- — т с		<=—	т с
	JL

По7 . Об учете в динамическом уравнении вращательного движения тела сил тяжести. Центр тякести

При рассмотрении динамики поступательного двикения тела было показано, что совокупность весов элементарных частиц, составляющих? тело, может быть заменена одной силой - весом тела» Вес тела равен геометрической сумме весов элементарных частиц. Точка приложения веса тела при составлении динамическо

- 77 -

го уравнения поступательного щзигения тела не имеет принци пиального значения.

Покакем, что при составлении динамического уравнения вра щения тела вокруг оси совокупность весов элементарных точен, составляющих тело, такке монет быть заменена одной силой - весом тела, но точка прилозения этой силы долина быть заранее оговорена.

Непосредственно из динамического уравнения вращения тела

вокруг оси, т .е . из уравненм			(6 6 ) ,	следует, что			совокупность
весов элементарных	частиц	Р	_(	t =1 , 2 , . . . , п			)	мокно запе
нить однбй силой -	весом	тела	Р ■=£	Р.	,	если	момент силы
относительно любой	оси равен		сумме" моментов			сил	Р{	относи

тельно этой ке оси. Воспользуемся этим условием для определе

ния координат точки приложения силы							А .
Свякем с				телом А систему отсчета			0-*yz		(рис.3 7 ).	Обоз
начим	координаты
i -ой	элементарной
частицы		тела		в	этой
системе		через		х ,		,
у- , Z-		, а	ее		вес	-
через	А .		Обозначим
точку	приложения веса
тела	А	через			С,	а
координаты			этой		точ
ки - через				,	j/{	,
Zc о Если предста
ви ть,	что’ тело				А
вращается вокруг .од
ной из	осей		системы
Ох у г	,	то	при за				PjjC.37
мене в	динамических						PjjC.37
уравнениях вращения совокупности сил							А	(	i =1 , 2 , . . . ,	л )
одной	силой			Р		необходимо удовлетворить равенствам
									( 69)

М А Р ) - ± М Х(Р ;).

		- 78	-
Выразил моменты сил		Р	и Р,	относительно осей	систе-
мы O x y z	через координаты		точек	прилоаения этих сил	и их
проекции на	оси системы	Сх y z		. Получим:
				(70)

Так как	силы А	и	Р	направлены в одну и ту ке сторо'
ну (к центру	Земли),	то	имеют место равенства:

(Р?0х ) =(Р; Сох) , С Р ?0д)*(р. ?0д) , (pCbz) - (Р; ?0£)

Учитывая это , перепишем уравнения ( / 0 ) в форме:

(71)

где CX ,CV I C	- кооинусы углов мегцу_осями	Ох , Оу	, Oz	и
	направлениями сил Р и	Р£ .	-xt ,	ус ,
Уравнения	(71) составляют относительно	координат	-xt ,	ус ,

Ze систему трех алгебраических неоднородных уравнений. Особен

ностью	системы (71) является т о е	что все определители	системы
раьну	нулю. Но система является	совместной, ее решение	имеет

вид;

Для того , чтобы убедиться в справедливости решения (7 2 ), достаточно подставить это решение в уравнения (7 1 ),

Формулы (72) определяют координаты такой точки тел а, к которой при составлении динамических уравнений вращения тела надо црилоЕйтв вес тела Р » Последний при этом заменит зсю

- 79 -

совокупность весов элементарных частиц, составляющих тело* Точка тела, координаты которой определяются формулами

(7 2 ), называется центром тяжести тела.

Если умножить левые и правые части равенств (72) на соот ветствующие орты и затем сложить, то получится формула, опре деляющая радиус-вектор центра тяжести тела. Эта формула имеет

ВИД	г	■=Р	J*		,	(73)
	г	■=Р			,	(73)
где г-, -	радиус-вектор		I	-ой	частицы тела.
Полезно	сравнить	формулу		(7 3 )	с формулой ( J 6	) , опреде

ляющей положение центра масс. Сравнивая указанные формулы и

учитывая равенство	Р - т д	„ можно отметить, что полокения
центра масс и центра тяжести одного и			того же тела совпадают.
Если тело однородно и симметрично, то			центр тяжести, так же
как и центр м асс,	находится	на оси, в	плоскости или в центр®
симметрии.

п .8 . Задачи, связанные с конструированием лентопротяжных механизмов магнитофонов

лентопротяжные механизмы магнитофонов служат для равномер ного перемещения магнитнойленты при записи и воспроизведения звуков, а также для ускоренной перемотки ленты в обоих направ лениях.

Задача 8 . В транзисторных магнитофонах для приведения в движение лентопротяжных механизмов используются микроэлектро двигатели постоянного тока, В таких двигателях главный момент

электромагнитных			сил,	приложенных к точкам ротора,		относи
тельно	оси вращения определяется соотношением: М, ~ fi0 - d со						,
где А/,	и оС	-	постоянные величины, со		- угловая скорость
вращения ротора.
Определить		изменение		угловой скорости	вращения ротора		в
период разгона		двигателя,		если момент инерции ротора		относи
тельно оси вращения известен и равен					0 Момент С ’Л трения
в подшипниках		принять постоянным я равным по величине				МС	,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ