книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

iUx -

в случае п гармонический осциллятор, не совершая коле­ баний, о, течением времени стремится приблизиться к положению

Согласно этим корням общее решение уравнения (87) можно запи­

ные условия в функцию (33) и в выражение ее производной, по­

получим окончательную запись кинематического уравнения дви­ жения гармонического осциллятора при наличии вязкого сопро­

получим следующую форму кинематического уравнения движения осциллятора в рассматриваемом случае:

Рис.56 видно, что при наличии малого вязкого сопротивления гармони­

ческий осциллятор, введенный из лолокенпл статического равно­ весия, совершает колебания, которые с течением времени прег-

риодически становится равной нулю. Эта периодичность опреде­ ляется частотой л, . Промежуток времени, через который коор-

'/ к 1-

Величина 7] называется периодом свободных затухающих колебаний. Этот период отличается от периода свободных неза­ тухающих колебаний, который выракается формулой

колебательного движения гармонического осциллятора при нали­

Отсюда видно, что указанное отношение не зависит от выбора момента времени Ь . Поэтому оно монет быть использовано для хазактеристики быстроты затухания свободных затухающих колебаний гармонического осциллятора. Величину е " ' называют декрементом5^^.этих колебаний. Обозначая декремент через Э0 имеем: Х> = е . Очевидно, чем больше декремент, тем скорее прекращаются свободные колебания гармонического ооциллятора.

Наряду с декрементом для характеристики быстроты затуха­ ния свободных колебаний используется величина, называемая

к) Слово "декремент" происходит от латинского .decrementum “ означающего убывание. ’

- 104 -

£ =* £п Х> = tn е ”т' - пТ,

Относительно логарифмического декремента так хе, как и

а .4 . Вынукденные колебания гармонического осциллятора в случае, когда возмущающая сила является гармонической функцией времени

Пусть к гармоническому осциллятору кроме восстанавливаю­ щей оилы и силы вязкого сопротивления приложена еще одна си­ ла - сила, являющаяся периодической функцией времени. Такая оила будет постоянно выводить осциллятор из положения стати­ ческого равновесия, заставляя его колебаться. Сила, приложен­ ная к ооциллятору и являющаяся периодической функцией времени, называется возмущающей.

ное уравнение движения гармонического осциллятора, к которому приложена возмущающая сила, изменяющаяся до гармоническому закону, записывается в форме

- 10:3 -

Приведем примеры осцилляторов, движение которых описывает­ ся дифференциальными уравнениями указанного вида.

Пример I . Построим дифференциальное уравнение движения подвижной системы электродинамического вибростецца. Послед­ ний является одним из видов установок, предназначенных для испытаний различных устройств на воздействие вибраций.

Схема. электродинамического вибростенда показана.на рис. 57а. Испытываемый блок 4 устанавливается на столе 3. Стол

О

F

Н

Q

■и м

р

й

х

б)

жестко соединен со штоком 5, к никней части которого при­ креплена цилиндрическая катушка б» Катушка располагается в кольцевом зазоре электромагнита 2 , создающего постоянное магнитное поле. Шток 5 удерживается в пространстве плоскими пружинами I . Для оозцання вибраций по катушке 6 пропускают переменный ток звуковой частоты. Этот ток, протекая по ка­ тушке 6 . создает переменное магнитное поле. В результате в за ­ имодействия постоянного магнитного поля электромагнита 2 о переменным магнитным полем тока, протекающего по катушке.6 „ возникает электромагнитная сила, прилокеиная к катушке б9 Величина этой одды пропорциональна току0 протекающему по ка­ тушке 6 . В частности,, если ток, протекающий по нощшиней

- 107 -

исследования электрических колебательных процессов,, Чувстви­ тельные элементом шлейфового осциллографа является вибратор (шлейф) о Вибраторы осциллографов бывают двух типов - петле­ вые я рамочные.

На рись58о показана схема петлевого вибратора шлейфового

Рисо 58 осциллографа. Исследуемый ток или ток, связанный с исследуе­

мой физической величиной известной зависимостью, пропускают по тонкой ленточке I . Ленточка изготавливается из немагнит­ ного материала, С помощью ролика 5 и прукины 6 ей придается форма петли. Петля опирается на две изолирующие призмочки 2„ в центре ре наклеено маленькое зеркальце 3, Зеркальце распо­ лагается между полюсами постоянного магнита 4, Все устройство помещено в корпус, залитый маслом.

При протекании по петле тока ее ветви в 'результате взаи­ модействия тока и магнитного поля перемещаются в противопо­ ложные стороны, и зеркальце поворачивается вокруг вертикаль­ ной оси. Вращение зеркальца зависит от тока, протекающего по петле, В частности, если этот ток является переменным, \о зеркальце совершает колебательное движение, (Максимальное от­ клонение зеркальца от равновесного положения незначительно

(3-5 градусов).

- 108 -

Ллл регистрации характеристик исследуемого процесса на зеркальце направляют тонкий лун света от лампочки 7 . .Отражен­ ный луч вычерчивает на движущейся фотсленте 8 кривую, вид которой зависит от тока, протекающего по петле вибратора.

Лля построения дифференциального уравнения движения зер­ кальца вибратора изобразим его в произвольном положении (рис„58б) и покажем силы, приложенные к зеркальцу. За счет взаимодействия тока, протекающего по петле, с магнитным по­ лем магнита 4 к зеркальцу прикладываются две силы, равные по величине, но направленные противоположно. Такую совокуп­

величине пропорциональны току, протекающему по петле. Направ­ лены же они по перпендикулярам к силовым линиям магнитного поля, которое в рабочей зоне петли можно считать однородным.

При отклонении зеркальца от равновесного положения за счет натяжения пружины 6 к зеркальцу прикладывается еще одна

момент сил сопротивления относительно оси вращения пропорцио­

Учитывая это и принимая во внимание сказанное выше о величи­

Для рассматриваемого примера особый интерес представляет случай, когда ток, протекающий по петле, изменяется по гар­ моническому закону. Полагая, что I » l0 sin p t , окончательно запишем дифференциальное уравнение цвикения зеркальца вибра­

-* -

Таким образом, если к гармоническому осциллятору кроме восстанавливающей силы и силы вязкого сопротивления приложе­ на еще возмущающая сила, являющаяся гармонической функцией времени, то дифференциальное уравнение движения осциллятора

циальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи­ циентами. Решение этого уравнения состоит из двух частей: общего решения соответствующего однородного уравнения и част­ ного решения уравнения (91). Обозначая первое через „ а