книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

Пусть

тело А

(ри с.73) вращается вокруг

точки 0 .

Предсга-

2

вим тело

А в виде сово­

купности

п

элементарных

частиц.

Обозначай массу

I -ой частицы

от;

, ее

скорость

-

уГс

,

рациуо-

-вектор

i

-ой частицы, .

исходящий из точки

0 г г .

По определению кинетичес­

кого момента механической

системы относительно цент­

ра имеем:

Я =ZTГ *m .ir; =X ri*m L(io*r;)

•

;ч

где и> -

вектор

угловой скорости сферического

движения тела.

-

141

-

Свяжем о телом А систему отсчета

Ox.yz

,

начало

которой

совпадает о центром сферического движения тела.

Обозначим

проекции вектора

угловой скорооти

Со

на

оои

Ох

,

Оу

,

Oz через р

,

$

*

г

соответственно,

а

координаты

L -ой

элементарной частицы

в

системе

Oxyz

- через

х..

,

у.

, г.

,

Выражение кинетического момента

преобразуем следующим

образом:

_

—

—

—

к

^

£

j

^ = 2 7 * 4

р

9

г-

- Z 4

* .

у.-

г .

х .

у,-

г-

* •*

-

£

9

У.' "

ЛЛ ‘

f Р *■) С

+

**/

*

"Р *; У.- * ? * *

+

у

£"».■

(nf-px.z; - р . г.

* р с1)К =

i-f

Г

л

fj

л

Z +

= [ p Z ^ C y ^ ^ ) ~ ^ n , . x . y .

♦

is/

- p t i ^ X . y j T +

r ;-/

:*f

J g

+ [ r £ m. < * Л уЛ >- /е Й 4 х. - - « S ’ 4 Я * • ] к .

Так как суммы£ . т. (уД * Д ZT 4

С-*,1- * * ) , g

4

(*■?* у * )

t*/

выражают моменты инерции тела относительно,осей. 0Х

, О у, 0%,

обозначим их соответственно

через

Ух

,

У

,

У^

•

Суммы вида

«£»„,_ х .у . ^

| Г т .х . * . '

g

/г,-у, z .

-

142 -

- ^ ) u (

- W * - (I25j

ся главной осью инерции тела.

Например,

если ось Ох

такова,

что

^

то

она является главной осью инерции.

Сформулируем и докажем четыре теоремы, выражающие некото­

рые

признаки главных осей инерции тела.

Теорема 1 , Если тело симметрично относительно оси, то ось

симметрии является главной ооыо инерции тела.

Д о к а з а т е л

ь

с т

в

о .

Пусть

тело А (рис.74) сим­

метрично относительно

оси ВС, Свяжем с телом А систему отсче­

та

Oxyz t

ось

Oz

которой

совпадает

с

осью ВС,

а

оси

Ох

я

Оу

расположены произвольным образом.

Так как

тело сим­

метрично

относительно

оси

Oz

.

то для

произвольной.частицы

этого тела М, с ?лассой

я?

и координатами

t x t ,

,

Х{

)

можно указать

частицу

Л/, .

с

такой

же массой т

и с

коор­

динатами

хх

, у

) ,

причем будут

справедливы равенства:

_____

.

'

„ В

силу

этих равенств суммы

Х1~~-1 > У,-~У±,

z ( - —i

I

и

К ™ 4i Z.

iв <

i~(

Теорема 2. Если тело

симметрично относительно

плоскости,

то

любая ось,

перпендикулярная

плоскости

симметрии,

является глазной

осью инерция

тела.

Д о к а з а т е л ь

с

т

в о „

Пусть тело

А (рис.75) сим-

метрично относительно

плоскости

Q.

„ Свякега

с телом А систему от­

счета

Oxl/ z ,

оси

Ох

и Оу

которой

располо^г

кеш

в

плоскости

О.

,

ось

Oz

перпендикуляр­

на

плоскости

О.

t

а

начало.отсчета

0

зани­

мает

произвольное

поло­

жение. Так как тело

симметрично

относитель­

но

плоскости хОу

,

то

для произвольной

частицы

Вкс07С

этого

тела

с массой

т

и координатами (

х

. и .

. 2

мокко указать частицу Мг

с

такой

не массой

т

У , , * , )

и координа-

тами

(

^

о

Ь 'з t

2 .

) .

причем будут справедливы равенства:

х ( =•

х л.

,

у, =

yL

} Z,

=-£*.

- 3

сзлу этих равенств

суммы вида

I—. j .

гг),x.z

н

5>

т.

и .

? .

обращаются в

ноль.

V

* 1"%'

б\ft

~t.

Так как эти суммы выракают центробекнне

моменты инерции Я *

и

I то» действительно, любая ось ^

, перпендикуляр­

ная

плоскости симметрии тела, является главной осью инер­

сительно всех других осей пучка,

то

эта.

ось

является главной

осью инерции тела.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для произвольной

точки О

тела А построим правую прямоугольную систему отсчета

OxyZ

(рис.76).

Проведем через точку 0

произвольную ось

L

, орт

которой

обозначим

через ё .

Положение оси

L

относитель­

но системы

Охуz

будем за ­

давать

углами

d

и

Ji .

Через d

обозначим

угол

между осью Ох и проекцией

оси

А

на

плоскость х О у .

т

Череэ j ,

обозначим угол меж­

ду

плоскостью х 0у

п осью

L

о Определим формулу, вы­

ражающую момент инерции тела

относительно оси

А

через

моменты инерции относитель-

Рис.76

но осей

сиотемы Oxyz .

По определений момента

инерции

где

п

- число элементарных частиц,

составляющих

тело,/г?, -

масса

L -ой

частица,

j x -расстояние

от

i -ой

частицы до

оси А

(см .рис.7 6 ).

Обозначим радиус-вектор

i -ой

частицы,

исходящий из точ­

ки 0,

через

г;

- ,

а координаты

i -ой частицы в

системе Oxyz

через

х.

,

у.

с

г. .

Величину y>v

представши в

виде:

Г

К

f i = 1 Г й « I =

г.ь

%i I d i COSр

£|'Пр

=

- X ; S > n o ( , C O S ^ ) i + ( £ ; c 0 S e U o s j S

S < d f i ) j *

t ( X ;

S i n d c o s f - l j £ C O SoiC O SJi) i t l =

= [ ( #

sinJb -X,- s;rtd cose)* + ( z : COS4C0SJ, - x- s/яja)**

-в- ( X ; S/noUO&JS - y;

£

COSdCOSJi')iJ

Теперь для момента инерции тела относительно оси

имеем:

*1

^

С / '= 'g m ; l ( y £ s io j> - Z ; b in * c o s ^ ) L+ ( z ; c o s * c o s ip - x i. s i n j , ) 1 *-

+ ( * £ SlndCOSJ} - y .C P S rtC O S jl)* '] ~

s: CosV « Л 21 ^ (

j’^ + Z*) <■ SinidCes‘e2jrt7; (x /*Jr.'4) f

J

iKI

.

“

fl

<*f

n

* S<«> £ > ;

0» * *y /> - «#* 2 * cos V

£

Г*;Х. У; -

;st

n

^

i*(

n

~ coaciSifl2й £ 1Л7.л1^- “ s/чd s i n Z p

]C Ч- У;Х. .

Окончательно

7, = 3 COSotCOS^ *J aih^otCOS^jJ«■7гs/пya-

(126)

- & y S i t t Z d C O ^ J i - J ^ Q O & d S l n U j - 7уг Sind HintJ> .

Полеченная формула выракает момент инерция тела относи­

тельно

произвольной

оси

L

через моменты инерция относи­

тельно осей системы • Oxyz „ В это

выранение входят моменты

инерции тела относительно осей системы - Oxyz

и центробен-

формулы (126)

видно,

что величина

является таккр функ­

цией углов oL

и JS

»

Найдем условия,

которые являются необходимыми для того,

чтобы момент инерции тела

относительно оси

U

был величи­

ной экстремальной»

Для этого вычислим частные

производные

функции

по «I

и по J>

и приравняем их к нулю.

Получим:

= - 7 „ И п 2 ^ . с о $ У > * 7 y S i t t 2 K C 0 S ^ -

- 2

c o s 2 d c o ^ s

c o m i n Z f e = 0 ,

^

Zjb - Cfy Sin lo (Sl/i -2jb + yz S'm^ j ,

+

7<ySiMiHsin2ji -27Лу«о9с1соз2^ -2J sinot c o b Z jL = 0 .

Пусть ось

такова,

что момент инерции относительно

ее, т .е .

величина

3*

,

по сравнению с

моментами инерции

относительно

системы

Охцк

задается

углами

oL =0

и j3

=0,

то из необходимых условий экстремума

вытекает, что

при

Ч - Ч л *

долкно быть:

ЧхГ~ Ч ^ О

, А это

означает,

что

если из

пучка

осей, проходящих через

произвольную

точку

тела,

выделить ось,

относительно

которой момент инерции

тела

экстре­

2

4

»

а '

“ У*

где

Уу

„

Jt

-

моменты инерции

тела

Л относительно осей Оу

и. О.г

соответственно» 7yi - центробежный момент

инерции

тела А.

Потребуем,

чтобы величина

была равна нулю» Тогда

долгно

быть справедливо равенство

~Зс)

<• Dy ic.os2cL

= (7 .

Следовательно» для того, чтобы

величина З^г, была равна

нулю»

необходимо, чтобы угол

оС ,

т ,е ,

угол между осями Оу

и

Оу,

t

определялся соотношением

В частном

случае,

если 3fyi

=0,

то

оС =0, т ,е „

система

ных осей, инерции,

В другом частном случае» если

= 7Z 0

то

= -}р- , т .е ,

главными осями инерции являются биссектрисы

углов

меацу осями

Оу и Ох, „

можно провести, по. крайней мере»

одну тройку взаимно перпен­

дикулярных главных осей инерция.

До3, Динамические

уравнения сферического движения твердого

тела

Пусть движение

тела А (рис,78) ограничено таким образом,

Z

что оно дакет совершать

только сферическое

дви­

жение вокруг точки О,

Это может быть осуществ­

лено, например, с помощью

сферического шарнира.

Пусть к точкам тела А

приложены силы: F,

5

Fn , Установим связь

между кинематическими па­

раметрами сферического

движения тела и силами,

Рис,78

приложенными к его

точ-