книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

НЧ А - О р г = | Му (Ft),

Сг * ( В - Д 1 р } = £ Мт CF,).

Уравнения ^130; связывают проекции вектора угловой скоро­ сти тела, совершающего сферическое движение, с силами, прило­ женными к его точкам. Эти уравнения называются динамическими уравнениями сферического движения, или динамическими уравне­ ниями Эйлера.

только от составляющих вектора угловой скорости, а и от углов

уравнениям.Эйлера следует добавить три кинематических-уравне­ ния Эйлера, Последние вырааают связь между проекциями векто­ ра угловой скорости на оси подвижной системы отсчета с угла­ ми Эйлера и при соответствующем выборе этих углов имеют фор­

(см.Кинематика, § 5 , н .З) Динамические уравнения Эйлера могут быть использованы,

например, для изучения движения антенн, совершающих сферичес­ кое движение,

я .4 , Динамические уравнения движения свободного твердого тела

Свободное тело, т ,е . тело, движение которого ничем нс ограничено, совершает обычно произвольное движение. В кине­ матике было показано, что произвольное движение твердого те­ ла можно представить е виду суммы поступательного и сферп-

получим шесть динамических уравнений движения свободного твер­ дого тела. В частности, уравнения, полученные проектированием уравнения (133), будут полностью совпадать с динамическими уравнениями сферического движения тела, т»е„ с уравнениями (130). Это следует из того, что теорема об изменении кинети­ ческого момента механической систеш относительно центра масс имеет такую не форму, как и теорема об изменении кинетическо­ го момента системы относительно неподвикного центра.

Добавляя к полученным при проектировании уравнениям кине­ матические уравнения Эйлера, окончательно получим следующую систему:

(134)

т- масса тела,

А, 6 , С - моменты инерции тела относительно главных

- 153

изучения двикения самолетов, ракет и космических .;ораблей.

п„5„ Уравнения равновесия твердого тела

Из системы (1 3 4 )р как частные случаи, могут быть получены динамические уравнения поступательного, вращательного и сфе­ рического движений» Если ке тело находится в покое или двихетоя поступательно о постоянной скоростью, то все первые и вторые производные величин x t , & , Zc , v , 6 , Ч> равны нулю, В атом случае система (134) принимает вид:

Уравнения (.135) называются уравнениями равновесия тверцо-

го тела.

В уравнениях равновесия твердого тела, вырахающих равен­ ство нулю сумм моментов внешних сил относительно осей, момен­ ты могут вычисляться необязательно относительно главных цент­ ральных осей. Так как твердое тело, находящееся в покое, мокно рассматривать как тело, совершающее сферическое движение вокруг любой точки тела, то уравнения моментов могут быть по­ лучены не из теоремы об изменении кинетического момента сис­ темы относительно центра масс, а из аналогичной теоремы для неподвижного центра.

Уравнения равновесия используются для определения реак­ ций связей неподвижных тел и для определения полоаения тела при равновесии. При составлении уравнений равновесия систему отсчета стараются выбрать таким образом, чтобы оси системы были параллельны или перпендикулярны реакциям, а начало отсчета - совпадало с точкой приложения одной из реакций. При таком выборе системы отсчета уравнения (135) получают­ ся наиболее простыми.

В чаотном случае, если все силы, приложенные к точкам тела, включая реакции, расположены в одной плоскости, то систему отсчета выбирают таким образом, чтобы две оси систе­ мы находились в плоскости расположения сил, а третья ось - была перпендикулярна этой плоскости. При таком выборе систе­ мы отсчета из шести уравнений вида (135) три обращаются в тождеств0 вида 0=0. Для решения задачи в этом случае могут быть использованы только три оставшихся уравнения. Например, если периенцикулярно плоскости расположения сил направлена

-155 -

п,6 .Задачи на равновесие твердого тела

Задача 27. Антенна радиоустройства, показанная на рис.80,

/V =7(71 S''1'*)1 * ( 71cos4 + Tf +Р )1- .

- 156

Подставляя в полученное равенство заданные величины и учитывая,, что Т, = Т, р найдем: А/ =710' н „

О т в е т : 710н,

Задача 28„ Антенна радиустройства, показанная на рис082,

составить уравнение равновесия диска 3 индукционного тахо­ метра» Считать, что вал I вращается с постоянной угловой ско­ ростью со 0 Показать, что в установившемся режиме угол пово­ рота стрелки 6 пропорционален угловой скорости вращения вала 10 Для заданной максимальной' угловой скорости вращения вала

I’ и для заданных значений <Я и Ф определить жесткость пружины 5 на кручение» При вычислении жесткости с учесть, что диск шкалы прибора 7 должен использоваться на 360.

- 157 -

Задача 30, Используя условие задачи 20 (стр. i Z5 ), составить уравнение равновесия подвижной системы магнито­

&Ca.Im<LX

Задача 31» Используя условие задачи 21 (стр. tZ6 ) соста­ вить уравнение равновесия п о д би вн о й системы электромагнитно­ го амперметра при измерении тока I в Определить полокение стрелки прибора на шкале мекцу нулем и максимальным отклоне­

вить уравнение равновесия подбивной системы электродинамичес­

О т в е т :

а Р - с = О

Задача 33» Подвижная система электроизмерительного прибо­ ра представляет собой тело 2 со стрелкой 3, вращающееоя воп­ рут оси /1В (рис.83). При включении прибора в электрическую цепь к точкам тела 2 прикладываются силы, суммарный момент которых является функцией измеряемого электрического парамет­ ра. Направления этих сил таковы, что тело 2 стремитоя повер­ нуться в сторону увеличения угла поворота стрелки » По­ вороту подвивной системы препятствует друкина 4 , момент сил

- 158 -

упругости пропорционален углу поворота подвижной системы, коэффициент пропорциональности равен С- „ Центр тяжести

подвижной системы С должен находиться на ее оси враще­ ния. Вследствие погрешности изготовления он оказался сме­ щенным на величину ОС = t „ причем угол между направлением ОС и стрелкой 3 оказался рав­ ным oL „

Считая, что прибор рабо­ тает в вертикальном положении, при котором ось АВ горизонталь­ на, составить уравнения равно­ весия подвижной системы прибо­ ра при включении прибора в цепь для случая, когда 0С=0,

и для случая, когда 0 С -£ . Определить погрешность показаний прибора л за счет смещения центра тяжести подвижной сис­ темы как функцию расчетного угла поворота стрелки % . Найти расчетный угол отклонения стрелки, при котором погрешность установки стрелки максимальна. Вес подвижной системы равен Р . Принять, что при нулевом показании прибора стрелка занимает