книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

- 30 -

и . m Vp*SoL

lei U 2 + 2L)

Задача 3. Для отклонения электронного луча в электронно­

пространства менду катушками одинакова, направлена параллельно

отклоняющую систему для того, чтобы при протекании максималь­ ного тока I тах электроны отклонялись к краю экрана 3, парал­ лельному оси катушек АВ. Размер экрана по направлению, перпен­ дикулярному оси катушек, равен 8 . Магнитное поле в сечении, перпендикулярном оси катушек, имеет форму прямоугольника, у

- 31 - 0 .4 . Основное уравнение динамики для неинерциальных систем

отсчета

Введенное в § I основное уравнение устанавливает связь мекцу силами, прилокенными к материальной точке, и ее ускорением, измеренным в инерциальных системах отсчета. Поэтому оно назы­ вается основным уравнением динамики для инерциальных систем. Построим уравнение, связывающее силы, приложенные к материаль­ ной точке, с ее ускорением, измеренным в какой-либо неинер­ циальной системе отсчета.

Пусть материальная точка М (ри с.12) движется относительно

Рис.12

системы O'X'i/'Z' , которая является неинерцзальной. Пусть сама система О.ху.г, движется относительно системы Dxyz ,кото­ рая является инерциальной. Будем рассматривать движение точки

- 32 -

корением материальной точки, измеренным в неинерциальной сис­ теме отсчета, и силами, приложенными к этой точке, называется основным .уравнением динамики для неинерщальных систем. Слагае­ мые и 3>с имеют размерность силы и называются соответст­ венно переносной и поворотной (или кориолисовой) силам инерции. Эти силы пропорциональны величинам соответствующих ускорений и направлены противополоано им (см. рис.(2 ).

Основное уравнение динамики для неинерциальных систем оточета читаетоя следующим образом: ускорение материальной точки, измеренное в неинерциальной системе отсчета, равно частному от деления равнодействующей всех сил, приложенных к точке, сложен­ ной о переносной и поворотной силами инерции, на маосу точки.

- 34 -

иринимать движение системы счета, связанной с Землей.

Так как переносное двикение является вращательным вокруг оси и происходит с постоянной угловой скоростью, то перенос­ ное ускорение состоит только из нормальной составляющей. Оно определяется по формуле

о.в =й)х(.й>*Р)

где й> - вектор угловой скорости вращения системы С,луг. . Вектор Со направлен параллельно оси С, г и по величине

равен со . Вследствие этого имеем:

Теперь спроектируем обе части векторного уравнения (31) на оси С'Х и Cf у . При этом учтем записанные выше равенства и выражение силы тяготения

Они образуют систему двух дифференциальных уравнений четвертого порядка. Уравнения являются нелинейными, неоднородными, с по­

- 35 -

дифференциальных уравнении допускает дальнейшее упрощение. Так

Интегрирование этой системы затруднений не вызывает. Это предоставляется читателю сделать самостоятельно.

п .5 . Основное уравнение динамики несвободной материальной точки

Выше предполагалось, что на движение точки не наложено ни­ каких ограничений, т .е . что все три ее координаты могут ме­ няться как угодно. На практике же весьма часто встречаются движения, при которых перемещения материальных точек стеонены тем или иным образом. Рассмотрим, например, материальную точку М, качающуюся на нити (рис.14). Такая система называется мате­ матическим маятником. Двиаение точки М здесь ограничено. Огра­ ничение состоит в том, что координаты точки М не являются не­ зависимыми. Они должны все время удовлетворять уравнению

х ^ у > - е ^ о ,

где о - длина нити маятника.

- 36 -

Условия, ограничивающие перемещение материальной точки, называются связями. Примером связи является условие, состоя­ щее в том, что материальная точка при своем движении долина оставаться на заданной кривой или на заданной поверхности. Другим примером является условие, состоящее в том, что радиусвектор движущейся точки М (рис.15) все время должен совпадать

с радиусом-вектором точки С , также перемещающейся в прост­ ранстве. Такое ограничение налагается, в частности, на движе­ ние реактивного управляемого снаряда при наведении его на цель с помощью радиолокатора по так называемому методу накры­

матическом маятнике (см .рис.14) связь осуществляется с помощью нити. Эта связь состоит в том, что точка № должна все время находиться на дуге окружности, радиус которой равен длине нити.

Материальная точка, на движение которой наложены связи, называется кес-вогюдной. В противном случае точка называется свободной. Установим отличие динамического уравнения движения несвободной материальной точки от уравнения движения свободной точка.

- 37 -

Пусть имеется_свободная материальная точка М, к которой ярилоаена сила F (рис.16). Как известно, двивение такой точки описывается уравнением вица

нием (32). Чтобы составить динамическое уравнение двикения точ­ ки М при наличии указанной овязи, приложим к точке М некоторую дополнительную силу R (см .рис.16). Потребуем, чтобы ери поц-

- 38 -

Сила Р , т .е . сила, с помощью которой в динамическом уравнении двикекпя несвободной материальной точки учитывается наложенная связь, называется реакцией связи. В примере с мате­ матическим маятником реакцией связи является сила, приложен­ ная от нити к точке. 3 примере с управляемым реактивным снаря­ дом реакцией связи является управляющая сила (тяга двигателя или аэродинамическая сила).

Реакции связей существенно отличаются от сил, которые не являются таковыми. Это отличие состоит прежде всего в том, что реакции зависят от происходящего движения. Кроме того, реакции связей зависят от других сил, приложенных к точке. Вследствие этого реакции связей называют пассивнымд силами, а силы, не яв­ ляющиеся реакциями, называют активными. При формулировке задач механики оговорить величины и направления большинства реакций заранее невозможно. Пассивные силы являются, как правило, не­ известными величинами.

3 качестве примера найдем реакцию нити математического ма­

-39

кней, и реакциями связей, называется основным уравнением дина­

мики несвободной материальной тонки,

§ 3. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕЛЫ

Совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны, называется механической системой материальных точек. Примером является солнечная система. Здесь движения планет и их спутников существенно связаны друг с другом. Вторым примером является любое твердое тело, рассматриваемое как совокупность . элементарных частиц. При решении практических задач всегда ого­ варивают, какие тела или материальные точки включаются в состав рассматриваемой механической системы.

Одна из основных задач динамики системы состоит з установ­ лении связи мекцу кинематическими характеристиками движения от­ дельных точек ила тел, составляющих систему, и силами, прило­ женными к точкам системы. Уравнения, выражающие такую связь, могут быть получены прежде всего непосредственно с помощью ос­ новного уравнения динамики. Рассмотрим механическую систему,

системы. Нацримео, из этих уравнений можно найти кинематичес­ кие уравнения движения отдельных точек системы. Для этого до­ статочно спроектировать на оси какой-либо системы отсчета ле­ вые и правые части уравнений (35) и проинтегрировать получен­ ные дифференциальные уравнения. Естественно, ч ,о в с е гилы, при­ ложенные к точкам системы, должны быть при этом известны.