книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

- 170 -

мозится, камера I двинется вниз.-Внутри камеры при ее пере­ мещении сбрасывается контейнер 5, подвергаемый испытанию перед падением в лунных условиях.

Определить вес груза 4, при котором ускорение контейнера 5 относительно камеры I равно ускорению свободного падения на Луне. Найти также зависимость скорости камеры I от ее

ободу. Ускорение.свободного падения на Луне в_шесть раз мень­

а также определения свободной и несвободной материальной точ­ ки. В частности, связями были названы условия, ограничивающие перемещения точек. Механическая система, состоящая только из свободных материальных точек, называется свободной. В против­ ном случае система называется несвободной. Примером свободной механической системы является солнечная система, примером не­ свободной системы - кривошипыо-полэуяный механизм (смрис.92а).

- 173 -

Основной особенностью уравнений (147) по сравнению с урав­ нениями- -(146) является наличие в них реакций связей. Послед­ ние, с одной стороны, обычно неизвестны, с другой, далеко не всегда подлежат определению. Наиболее часто встречаются зада­ чи, в которых по известным активным силам Fu E3l, . . . 1Fn требуется найти движение системы (как правило, несвободной).

Построим такие динамические уравнения движения несвобод­ ной системы, в которых реакции связей отсутствуют. Предвари­ тельно введем понятия идеальных связей, обобщенных координат

иобобщенных сил.

п.1 . Возможные перемещения механической илитемы л идеальныа

но-ползунный механизм (смрис.92а), математический маятник (см.

часто фигурируют системы, в которых изменение координат огцель-

- 174 -

ных точек ограничено только условиями влца (148). Таете сис­ темы называются голономными. Нике будут рассмотрены только они.

Будем различать стационарные и нестационарные связи. Ста­ ционарными будем называть такие связи , в уравнения которых время входит только неявно (через координаты). Нестационар­ ными будем называть связи, в уравнения которых время входит явно. Примером системы со стационарными связями является кри- вошидно-долзунный механизм, а примером системы с нестационар­ ными связями является математический маятник, длина нити кото­ рого изменяется во времени.

Любое бесконечно-малое перемещение точки, совместимое со связями, зафиксированными в данный момент, называется возмож­ ным перемещением точки. Возможным перемещением системы называ­ ют любую совокупность возможных перемещений отдельных точек системы.

Для примера рассмотрим математический маятник, длина нити которого переменна (пис.95). Пусть в произвольный момент вре­ мени t точка М занимает положение М, и

движется вправо, а нить укорачивается. Обоз­

ся действительным бесконечно малым переме­ щением. Теперь прецстазим, что в момент времени t связь, наложенная на точку М перестала зависеть от времени. Это озна­

При ограничении вица (150) точка М шлеет возможность совершить бесконечно малое перемещение из положе­ ния Ы' в положение . Перемещение точки по цуге М, М, и яв­ ляется тем перемещением, которое выше было определено как воз­ можное.

- 176 -

Следовательно, она перпендикулярна вариации S f радиуса-век­ тора точки М. Значит, работа такой реакции на возможном пере­

точно гладкими, то силой трения можно пренебречь.. Работа же нормальной реакции Л на возможном перемещении SF равна ну­ лю и, следовательно, связь, осуществленную в виде гладкой по­ верхности, можно рассматривать как связь, удовлетворяющую усло­ вию (151). Если соприкасающиеся поверхности шероховаты и силой трения пренебречь нельзя, то ее можно включить в число актив­ ных сил. Работа оставшейся составляющей реакции (нормальной реакции) на любом возможном перемещении будет равна нулю.

Рассуждая аналогично, можно показать, что реакции подшип­ ника (рис.97в) и подпятника (рис.97г) также удовлетворяют усло­ вию (151). При этом силы трения токе следует отнести к актив­ ным силам.

Можно доказать, что идеальными являются связи, обеспечиваю­ щие неизменность расстояний между материальными точками. Такие связи накладываются на частицы твердых тел. Следовательно, лю­ бое твердое тело можно рассматривать как механическую систему с идеальными связями. И вообще, следует отметить, что весьма многие системы, встречающиеся на практике, можно считать сис­ темами с идеальными связями. Это связано с тем, что конструк­ тор всегда стремится создать в разрабатываемом изделии хорошо отполированные и смазанные трущиеся поверхности. При обеспече­ нии этих условий работа сил трения оказывается настолько малой по сравнению с работой других приложенных сил, что в первом приближении работой сил трения можно пренебречь и говорить о практически гладких поверхностях.

п .2 . Обобщенные координаты

Обобщенными координатами системы точек или тел называются независимые между собой параметры, определяющие положение сис­ темы в пространстве. В качестве обобщенных координат могут ио-

- 177 -

пользоваться, например, декарювы7 сферические и цилиндричес­ кие координаты, углы поворота тел, а такие длины отрезков пря­

одной обобщенной координатой. В качестве такой координаты мо­

- 178 -

Любая свободная система обладает числом степеней свободы, равным 3 п , где п - число материальных точек, входящих в сис­ тему.

Связи уменьшают число степеней свободы системы. Поэтому любая несвободная система обладает числом степеней свободы, меньшим Зл . Это означает, что число обобщенных координат, оп­ ределяющих положение несвободной системы, всегда меньше Зл . Очевидно, каждая степень свободы материальной системы соответ­ ствует возможности изменять одну из обобщенных координат сис­ темы без изменения других.

При движении системы ее обобщенные координаты непрерывно изменяются. Изменение обобщенных координат во времени описы­

в виде функций времени, называются кинематическими .уравнениями движения системы в обобщенных координатах.

Для характеристик;! быстроты движения материальной системы используются производные от обобщенных координат по времени . £ . Эти производные называются обобщенными скороетями системы.

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности соответ­ ствующей обобщенной координаты и образуется целением последней на размерность времени. Если обобщенная координата является

С помощью графического изображения системы в произвольном положении можно всегда установить овязь между декартовыми и обобщенными координатами. Эта связь выражается уравнением вида: