книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

представив ее в следующем виде

Q. =V ( F

д

+

f in

F

i n \

(158)

/

iTt

•у Ц .

' <•'*

3^- /

>

где FiXi F.^' Fu -

проекции силы

на оси некоторой сис-

темы отсчета

Олух.

,

п .4 .

Уравнения Лагранжа

Рассмотрим голономную механическую систему с идеальными

связями, обладающую

к

степенями свободы и состоящую из о

ния такой

системы

могут быть

построены в фэрме

о!Ь до

$п

i

( / = '.-г,

*Т*

«

J

J

%>%)•••, q,K

- обоб­

где / -

кинетическая энергия системы;

щенные координаты

системы; 6liQ , ... ,0 K

- обобщенные силы,

Для доказательства

воспользуемся системой основных урав­

темы и записанных в виде

(147).

Дадим системе

такое

возможное перемещение, при котором

Изменяются положения всех точек системы.

Приращение радиуса-

вектора

каждой точки системы при указанном перемещении равно

его

вариации.

Обозначим радиус-вектор

I

-ой точки системы че­

рез

F-

, а

его

вариацию - через SF-

„

Умножим скалярно обе

части каждого

из

уравнений (147) па . 5 г-

и сложим полученные

равенства по всем

i

от I до

я

, Получим

1 1 т, а - ^

; zf

*

•

(158)

»в^

k

с*

В правой

части

уравнения (158)

стоит суш а

элементарных

YIF.-sf. = £ QЦ- >

ci60)

П

‘

1

4 * ' * ‘

j -ой обобщен­

где Uy -

обобщенная сила,

соответствующая

ной координате..

Подставляя (155),

(ISO) и

(159) в уравнение (153), найдем

пли, меняя в

левой

части порядок

суммирования, получим

(I6 D

Уравнение

(161)

справедливо

для любой совокупности величин

f y . f y , . . . , 8

. Применим его

поочередно к

таким возможным

перемещениям,

при которых изменяется только

одна

обобщенная

координата, а все остальные остаются неизменными.

Получим сио-

тему уравнений вида

i=/

‘ до,- -

QJ-

( /в= (2 ,..,

к ).

(162)

ч

Покажем, что в левых частях уравнений (162) стоят функции

кинетической энергия

системы,

определяемые выражениями

j i

ЭГ _ ГГ

(163)

d t

dtj_-

—

- скорость

'Г = *

i-t

,

где 1\.

L-ой точки системы.

Величина

гг-

найдем дифференцированием функций

(154) по

времени.

Получи;

—

Ж-

<г ~у

д Ч ,

Л

Ъ Г~;

(164)

1

*

'Ц - Ь *

ЭТ

( 1 = {.2..:,П).

4

-

183

Вычислим производные, входящие в выражения (153):

ЬТ

А

—

д

г~»

-р

д Tv

m. V. * -T-г- = >

m. г£ .

•

*•

9л

<*'

*

*

7/

* 9 ,

d ът ' - а?, ^

- с/ Э/*- зг ’

ад,

db Ь}. Ь

'' дь

к

dt Зо0

В}, ft

-

Учитывая эти выракения, легко заметить, что Выран:ения

(163) равны соответствующим левым частям уравнений

(IS2) при

условии,

если

имеют место

равенства

d

ьр{

а д,

Л

ц

: я - Щ.

(j “ и . - , * ) .

(is5 )

Для доказательства

справедливое к :

этих равенств

с помощью

формул (Х54) и (164),

найдем:

d ьр. _ аУ,-

h + 3 V . -

Й ,

У Р Ь, <

9 V , -

d t

dcj, ty ,

4

at

? iK; _

Э1Г,

% +

У Р

X

.

Э V

, - п

дгРс

А дТ _ J J

(j =<.2,

(166)

d t

Ц .

зуется

для изучения движения голономных систем,

К полонательным особенное тягл уразнений лагранка относятся:

минимальное количество уравнений, равное числу степеней сво­

боды; отсутствие необходимости в определении реакций связей;

широкие возможности выбора обобщенных координат,

которые могут

иметь различную физическую природу; единообразие операций

составления уравнений

двикения.

Уравнения Лагранка могут быть обобщены и использованы для

исследования электромеханических систем.

В соответствующей

форме они называются уравнениями ЛагранжаМаксвелла

(см,напри­

мер,

[1 9 ] ).

д„5« Порядок решения задач с

помощью уравнений Лагранка

При использовании уравнений Лагранка рекомендуется решать

задачи в следующей последовательности:

1,

Описать состав исследуемой механической системы.

2,

Изобразить систему в произвольном половении и показать

активные силы, приложенные к ее точкам.

3,

Установить число степеней свободы системы

к

и выбрать

обобщенные координаты

^

, . . . , ^ .

4»

Вычислить кинетическую энергию системы Т -

как

функцию

обобщенных координат и обобщенных скоростей, т .е .

как

функцию

cj,t ,

(j,K, q ,', (j,t, ■

).

50

Найти 2 к частных производных от

кинетической

энергии

т„е„ вычислить величины —

и Д Г

для всех

/

от I

, о « .

>?,

4 i

1

6,

Продифференцировать

по времени частные производные.от

кинетической энергии системы

по обобщенным.скоростям,

т.о»

определить

производные

К

)„

7» Используя один из способов, описанных в п.З данного па­

раграфа, найти обобщенные силы

О,,

Ог>о соответствующие

всей системы (IS5)

будет равен 2 к » Интегрируя систему (166)

с учетом начальных

условий, можно определить кинематические

уравнения движения

системы ь

обобщенных координатах, т »е ,

уравнения вида

b =% ( i )

С / = / Л • • . ,« ) ■

Если зависимость обобщенных координат системы от времени

известна, т»е. если

известны кинематические уравнения движе­

ния системы в обобщенных координатах, а неизвестными являются

кими» Если при этом

число неизвеотных сил

не превышает числа .

степеней свободы системы,

т »е 0

числа уравнений в системе (1 6 6 ),

то неизвестные силы

могут

быть

определены

решением последней»

Рис.99

Рис.100

Как известно, она определяется формулой

F = -\m r -~ 1F

,

где

X-:- - постоянная тяготения Земли,

т

- масса материаль­

ной

точки

(космического аппарата), л-

-радиус-вектор

точки,

исходящий

из

центра Земли.

Очевидно,

движение точки С будет происходить в плоскости,

проходящей через центр Земли и содержащей вектор

тг0

»

В про­

тивном случае, для того, чтобы точка С

двигалась

не

только в

телей).

Так как точка С будет двигаться

только в

плоскости,

то

для задания ее положения достаточно выбрать две обобщенные

координаты.

В качестве обобщенных координат,

определяющих положение

точки С, выберем полярные координаты

л

и 'Р

(рисЛОО),

Ве­

личина г*

показывает удаление

точки

С от центра Земли 0,

а

величина

У

-

угол между осью

Ох ,

проходящей через

началь­

ное положение

точки С, и направлением

радиуса-вектора

точки

жа имеют виц

дТ

ЬТ

d

q

d t

Эл

Эл

’

j i

дТ _ д Т

0

d t

дФ эу3 "

‘

где Т -

кинетическая

энергия точки С,

QhtQ -

обобщенные силы,

соответствующие обобщенным координа­

там

л

а V

„

-

Величина

Т

выражается формулой: Т=

где

v

-мо­

дуль скорости точки С в произвольном положении.

Выразим величину

V-

через обобщенные координаты

r

, 'f

и их производные

по времени. Для этого представим

движение

точки С в вице суммы двух

движений: движения точки С по радиу­

су-вектору л

и вращательного движения радиуса-вектора

^