книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

£ =

(109)

т

М

С

W

I I

И Й / 1Л /

А

- /

о

Т 2Т ЪТ

V

А

)

S)

X -

У

а5

произвольное положение (рис„61в).

Покажем силы, приложенные

к точке М:_ Р

-■

вес

гр у за ,

Ft

- сила уцругости верхней'

пружины, Fi

- сила

упругости

нижней пружины,

Q.

- сила со­

противления,

Основное уравнение динамики точки М запишем в

форме

a

+

+ а ) ,

( п о )

где

а. - ускорение

точки М,

m

- ее

ыасой..

Выберем систему отсчета, ось

Ох

которой

направлена вер­

тикально вниз, а начало совпадает

е положением статического

равновесия гр у за .

Проектируя левую а

правую часта

уравнения

(110)

на ось

Ох

,

получим

x . * m ' ( P - F , - F k - Q ) .

(ХВД

-

122

-

Величины

F

,

F

и

Q

выражаются формулами:

Ft =c(i s » x ) , Fx - с ( л +*- a x ) . Q = Sx ,

где

A

- величина

смещения груза в

статическом

положении,

л

- абсцисса

груза в

произвольном

положении,

д х

- в е т ч и ­

на смещения толкателя от наинпзшего положения.

Так как для положения статического равновесия груза спра­

ведливо

равенство:

Р - 2 с д

, то с учетом выражений (112)

перепишем уравнение ( I I I )

в

виде

2с

х *2пх *■ К1х ■=т " дх ,

где 2п

( И З )

т

Величина

д х

является

периодической функцией

времени.

лой

,

где

Т а —

, О 4 t 4

Т .

Ах = у

t

,

•

Представим

д х

рядом

(103)„

Для этого

по формулам (104)

имеем;

J

h0 = - ^ \ £ i d t = H .

о

?

/ij

= у -

j y

^cos SiJ* ^

=

С

h

*

* -Л-i-iii. sinbtot d t

= - —

•

'

J T

5TS

С учетом

(103)

уравнение

(И З )

запишем в

вице

уравнения

(114).

1

Частное решение, обусловленное наличием в правой части

уравнения

(114) постоянной величины

2т

, имеет виц

X

- J L

'

*

2 т к г ~ 4с

S -го

а частные решения,

обусловленные

наличием гармоник

где

5 .

Н _

t

) „ _

■ 2 т и > .

5

TTSm

У *

« k£- S *« J£

акселерометра,

показанного на рис.62,

представляет собой груз

I ,

скользящий

по оси 2 и скрепленный

с

двумя одинаковыми цру-

кинами 3

и 4.

Ось 2 параллельна продольной осп самолета»

Корпус

акселеромет­

ра

5 заполнен

вязкой

жидкостью, тормозя­

щей двякенае груза.

Масса груза I

равна

т

, жесткость

каждой

прукины

равна

с ,

сопротивление

жидкости

двикению гру­

за

пропорционально

скорости

движения гру­

за и при единичной скорости

Рис»62

равно 8 .

При сборке акселерометра обе пружины получают пред­

варительное сжатие. В процессе работы акселерометра сжатое

положение

пружин сохраняется.

Найти уравнение затухающих колебаний груза при мгновен­

ном возрастании ускорения самолета от

нуля до

5. ,

если са­

молет совершает прямолинейный горизонтальный

полег0

Показать»

- 124

-

что по окончании переходного

лроцеоса (т .е » при

смеще­

ние гру за от первоначального

положения пропорционально

уско­

О т в е т : л = ^ p - e " V

e o S/c ,t * £ s » n ^ t > J

,

где

при

т

п =

> к.

><.=

х ■

‘ 2с

дечником 3

и электро-г

магнита

4.

Груз

I

и

сердечник

датчика

3

жестко

скреплены

между собой

и могут

сво­

бодно

сколь­

зить

вдоль

оси 5 , рас-

поло кенной

параллельно

продольной

РиСобЗ

оси само­

рости движения груза»

В цепь индуктивного датчика и электро­

магнита включены усилитель 7 и амперметр 8» Масса груза с

сердечником равна т

» сопротивление жидкости движению груза

при

единичной скорости

равно 8

При отклонении груза от нулевого положения с индуктивно­

го датчика на вход усилителя поступает напряжение

= aL,x ,

где

<*-, - коэффициент

пропорциональности, ос - смещение гру-

зЭа Выходное напряжение усилителя пропорционально входному;

=oti Ufa ,

где сС

- коэффициент усиления усилителя. По

цепи

электромагнита

и амперметра

протекает ток

I =

,

где

R

- сопротивление обмотки

электромагнита.

Электромагнит

стремится возвратить

груз в нулевое положение,

действуя на

груз

с

силой

F = d,,I

t где

- постоянный коэффициент.

Найти уравнение

затухающих колебаний груза

I

при мгно­

венном

возрастании ускорения самолета от нуля до

а , еоля

самолет совершает прямолинейный горизонтальный полет. Пока­

за т ь ,

что по окончании переходного процесса смещение груза

от

О т в е т : х в

-£' п1(

с

м

Vr *,*)] ,

oC,otAot J

4

где

п =| ^

»

гик.

m к

яри

t

а°

а

rrj

а .

ot,

Задача

20,

На ри с.64

показана

схема магнитоэлектричес­

кого амперметра, предназначенного

для измерения величины

постоянного тока. Подвинная система

прибора состоит из пря­

моугольной рамки I . изготовленной из

алюминия,, и стрелки 4,

системы прибора 'f

, а момент сил сопротивления, возникающих

при взаимодействий

вихревых токов в рамке с магнитным полем

моментов равны соответственно

с и

в

, причем

величины б

и 8 таковы, что при изменении

тока,

протекающего

по обмотке

рамки, последняя совершает свободные затухающие колебания.

Построить уравнение движения подвижной системы прибора

при включении его в электрическую цепь.

Принять,

что до вклю­

порционально

току, протекающему по обмотке рамки I ,

Ширина

рамки равна

а

, момент инерции подвижной системы

прибора

относительно

оси вращения равен

7 Л .

Ответ :

'f =В б А /ас 'I /7-е ni(cc%K,t *~ $inK,i)] (

где

______

при

П = 2 У ;

; к =У у > '

.

Задача 21,

На р и с.65 показана

схема электромагнитного

амперметра.

Измеряемый электрический ток пропускают по обмотке

неподвижной

катушки I , имеющей щель 2. Подвижная система при­

териала, стрелки 5 и поршня воздушного

демпфера 7 . Подвижная

система укреплена на растяжках 4 .

При протекании по обмотке катушки I

электрического

тока

I сердечник 3 втягивается в щель 2 с силой, момент которой

относительно оси вращения подвижной

системы прибора пропор­

ционален квадрату тока,

к о э ф ф и ц и

е н т

пропорциональности

равен

а . Повороту подвижной

системы

препятствуют растякки

4 и

-

127 -

демпфер 7 . Момент

сил упругости рас-

тякек

пропорциона­

лен углу

поворота

поцвихной системы,

коэффициент про­

порциональности

равен

6

. Сопро­

тивление

демпфера

пропорционально

скорости

цзикения

поршня и равно в ,

когда

скорость порш­

ня равна

единице.

Поршень

демпфера

Р яс .65

находится на расстоянии г

от оси вращения поцвикной систе­

О т в е т : **£[1;-(1;-2?)еп\ с о ^ +%*ък,т)] %

где

Sr-1

Пс |-г - , к , =/кА- V к = у ^ Г ; 8гг * < 4.с7л

-

128 -

тушка стремится

повернуться

в сторону увеличения пока­

заний прибора. Момент сил

зваимоцействил магнитных по­

лей катушек

пропорционален

мощности исследуемой цепиР,

коэффициент

пропорциональнос­

ти равен

а

„

Повороту поцьпкноп катуш­

ки препятствуют растякки 3 и

демпфер 6„

Момент сил упругос­

ти растяжек

пропорционален

углу поворота подвижной сис­

т е м , коэффициент

пропорцио­

Рисо66

нальности

равен

с

„ Сопро­

но оси вращения равен

„

Найти уравнение затухающих колебаний стрелки прибора при

включении его в цепъ,

если до включения подвижная система

щих колебаний

поцвиакой системы от параметров прибора.

.

г№

О т в е т ;

'f>~ae',P[i-enl(«>sKj*Tri*inKli)] ;

J L

,

.

п =

Задача 23.

Для измерения угловой

скорости вращения вала

диска

3 . вала 4 Р стрел­

ки 6

и шкалы 7 о К ва­

лу 4

прикреплен один

против полюсов магнита»

прикладываются силы» равные между осо­

бой и направленные

в ту

se сторону» что ж скорости полюсов» ..

Величина каждой из

этих

сил определяется формулойi F =d.<$'~v (н)е

гд е .

ос

- коэффициент пропорциональности» Ф - магнитный

по­

ток»

V

- скорость движения полюсов магнита относительно

дос­

ка vB

М / С 8 К ;«

Момент силы упругости пружины 5 пропорционален углу закру­

чивания пруеины» При закручивании прунины на угол в I рад»

этот

момент равен с

i( . j z'f j

- Момент инерции вала 4 с доской

3 и стрелкой 6 ревен

Зд'

Расстояние между

полюсами магнита -

равно

I

»

Найти кинематическое уравнение движения стрелки прибора

при вращении вала I

с угловой скоростью из

» Принять» что в

начальный момент вал 4 находился в покое» а угол поворота

стрелки

был равен нулю» Показать» что по окончания переходно­

рости вращения вала

I»

О т в е т

¥ =

i& % ‘ со ( f - e

’’YeosK.fc* ^r-sin n , t ) ]

,

где

\= т *

с

При У•

лФ*е*

Ms

X «Ч/Ту-

,2 с

а о ,

V»;

Задача 24» На рие»68 показана схема индукционного датчи­

ка» предназначенного

для измерения параметров вибраций» Дат­

чик состоит из

постоянного магнита 4» двух винтовых пружин 8

и 5» катушки 2

и корпуса I» Датчик

устанавливается непосред­

ственно на вибрирующем основании 6»

При наличии вибрацийос­

в ее обмотке индуцируется ЭДС» определяемая формулой?

5 £ $

где В - ш цущ ня поля магнита» £ -длина проводойка»

Ф =