книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

второе через

^

, имеем:

<р=

* у,}

Соответствующее однородное уравнение имеет виц

\

*-2.nq,*- к г<£ = ( \

а его

общее

решение для случая,

когда п <к ,

было найдено

выше

и записано в

форме

где С,, Cj

(C,cosK,t <• CzsiM « ,t),

- произвольные постоянные, к,

,

Так как правая часть уравнения (91) является гармоничес­

кой функцией времени, то

частное

решение этого

неоднородного

мени.

Запишем частное

решение

уравнения

(91)

в форме

р

9-1 = 6 si/j (p t

*•<* - р ) ,

где

О

и

»

постоянные величины, подобранные таким обра­

зом,

что функция

<£.

,

будучи подставленной

в уравнение

(9 1 ),

обращает это уравнение в токдество0

Для определения величин

В

и

*

продифференцируем функ­

цию <^г

дважды по времени и подставим

полученные вырэкения

в

уравнение

(91),

Полечим

5 ( 7 - р х) sin(pt

«• 2nd pecs

c h sin (pt*ct.)

,

откуда,

обозначая

(pt+dc-js)

через

y ,

имеем

В (к*-р*)я1пТ *2nBpcosY - h sin fcesy ^ h, cosft sinY.

(93)

Ji

Это

уравнение

обратится

в

токцество,

если

величины б

и

будут

определены из

уравнений

8 ( 7 - р 1) =hccs& , 2.пЬр а hsinр

.

(93)

Последние получаются приравниванием коэффициентов при

s i n Y n

cosy в слагаемых,

стоящих в

левой

и правой частях урав~

нения

(92),

Из

уравнения

(93)

найдем

S = -==Л—

в =or-cto

q, =e ’ ( C e o s K't* Ct sin K,t) * b *in(pt ы - а )

(94)

гае

,1 7 е- r.~

6 =

к, =v л

' Г Т - р 1' ) * ? 4 rylp-1

i

с Q/Ч ^

2 п р

-

II

Выразим произвольные

постоянные

С,

и

Сд

через

началь-

,ше условия,, которые запишем в форме:

при

t

=0

»

(j,

= <j.c

„ Дифференцируя уравнение

(94)

по времени и подстав­

ляя

начальные узловая в

уравнение

(94)

и в

уравнение,, получен­

ное

при дифференцировании,

найдем

= С ( <- 6 sin(d-p) ,

< j . o = -С,п* Сг к, <•

5рсс$ ( м -j± ) .

Решая эту систему

относительно

С,

и

СА

»

будем иметь

С, - fc -G s M W -jj) ,

С. =

- — — -

(л. -js ), п sin fo( - ^ ) ] ■

Учитывая найденные выракения постоянных С,

и

Сл

, запи­

шем решение уравнения

(91)

окончательно

в

вице

'j» = е "^ С / С£* М f CaL'sinK,l)«-e'' (С‘с л \ 1

<■C/sm*,l)<-es;n(pt

(95)

w e

К , = | / * А - a * ’ , C , ' = £ .

,

C ^ 1 = ( £ , *

п ^ 0) к ' ' ,

C,*= - Ss^fol-,9) , С/ «- Вк''[рс<я(с<-/)г nsln (=(.-/)]

,

0 =

F

Уp =

arete

к4

-р l

196)

V( У -р 1У л ^ n ip i

и

4^

1

Уравнение (95) является кинематическим уравнением

движе­

затухающие колебания осциллятора,

зависящие от начальных ус­

ловий, Частота этих колебаний К(

определяется собственной

частотой гармонического

осциллятора к

и зависит от коэффи­

циента затухания п ,

Колебания,

описываемые первым слагае­

го осциллятора, т .е . от

величин п

и

к

,

и от

параметров

возмущающей силы, т .е .

от величин

А ,

р

я

ы

. Эти коле­

бания возникают только

при наличии возмущающей силы. Они

на­

зываются свободными сопровокдающкми колебаниями.

Наконец, третье слагаемое правой части уравнения (95)

описывает гармонические колебания,

частота

которых равна

час­

собственной частотой осциллятора

ft и частотой

возмущающей

силы р « Эту зависимость удобно

исследовать с

помощью гра­

фиков, построенных в безразмерной

форме. Введен следующие

обозначения:

J L

= Z

Л

= i>

к

к

у

Величина х.

,

равная

отношению частота вынужденных ко­

лебаний осциллятора

к его

собственной частоте, называется

величину называют коэффициентом расстройки. Величина

v> „

равная отношению коэффициента затухания осциллятора к

его

затухания.

X

Используя величины

и

0

,

перепишем формулы

(95)

в

вице

/7*

(97)

\/ ( I-z l)1 * -f й \г г

/

= a n t S

2 t e

(98)

7 7 7

Для получения формул (97) и

(98)

из

формул (96)

достаточ­

но поделить числители

и знаменатели

последних на

к ь

„ Так

как размерность числителя в правой-части

равенства (97)„

сов­

падает с размерностью

величины

В

,

то,

поделив

В

на {Нк*

получим безразмерную величину,

пропорциональную амплитуде

вы­

нужденных колебаний

осциллятора

5

„ Обозначая

эту

безраз­

мерную величину через

Д

0

имеем:

Л

Вх_4 _

4

(99)

h

VO'fc1)** 4-i>lz y

десятых

долей

единицы,

так как у них ж

к или

п « к .

Вид фазовой характеристик:; понятен непосредственно из фор­

мулы (9 8 )0

Это график

арктангенса,

для определения вица

ампли­

тудной характеристики на основании формулы (99)

имеем:

1)

при

z

=0

А =1

для любых \)

;

2)

при

z

=1

Л =

(2 OzT'

;

3}

при z

-

А - » 0 .

Особый интерес представляют случаи,

когда амплитуда

вынук-

эффицаент расстройки

0

Оря больших значениях

z вместо формулы

(99) мокяо исполь­

зовать более простую зависимость:

А = Z ' “

,

которая получает­

ся e s формулы (99), если считать,

что Z > 3

а

что величина i

имеет поояцои сотах и десятых долей единицы,.

Таким образом, голи требуется,

чтобы амплитуда вынукденных

целить требуемый

коэффициент расстройки гармонического осцил­

лятора» Тогда по

найденному значению

2

и по заданному значе­

нию частоты возмущающей силы р

мокно определить, какой долина

быть собственная

частота осциллятора

к

. Для этого достаточ­

но воспользоваться формулой:

р

чениях

коэффициента

расстройки

2

, чуть меньших единицы»

Величина отклонения резонансного значения коэффициента рас­

стройки

зависит

от

безразмерного

коэффициента затухания

i)

,

г . е» от

вязкого

сопротивления осциллятора.

Установим связь

мек-

ду резонансным значением коэффициента расстройки и безразмер­

ным коэффициентом затухания,

а такке выведем (формулу, опреде­

ляющую значение коэффициента динамичности при резонансе.

Для

получения указанных

зависимостей

найдем значение

2

, при ко­

тором величина

максимальна.

S

Обозначим подкоренное выражение в формуле (99)

через

„

Очевидно,

максимуму

величины

Л

соответствует минимум величи­

ны

S

.

Имеем:

S

=(4-Z*)l +A i)iz l

,

=- 4 x . ( f - Z l)

* 6 d lZ.

Следовательно, значение

2

„ при котором

S

экстремально,

мокно найти из уравнения: -

4 z

( f - z l ) <■&

= с

„

Корни это­

го

уравнения:

Z , ‘ 0 ,

2 *

„ Корень

Z,

,

соответст­

вует случаю,

когда

р

=0.

Никакого

практического

интереса

этот случай не представляет. Корень

2А

имеет

смысл только

Слово резонанс происходит от французского

слова

„ resonons "

- дающий отзвук»

-

П7 -

при условии, что \)1< y

, т .е .

О < 0,707.

При 0> 0,707

понятие (резонанса теряет

смысл, ибо при таних

значениях

графики амплитудных характеристик

представляют

собой моно­

тонно убывающие кривые.

Виц этих кривых показан

на рис„60о

При

\)-< 0,707

и z -v/T ^F величина

S минимальна, а

ве­

личина

Л

максимальна.

Это следует из

того, что при

Z =J{-Zi>T

S

Резонансное значение коэффициента динамичности определи»

ется формулой

,Ар

/

(100)

Z i V /- г1"

вытекающей

из равенства

(99), если в последнее подставить зна­

чение коэФхициента

расстройки

2

= J f T F .

(Ю1)

Таким образом,

если

требуется, чтобы гармонический

осцил­

мерного коэффициента

затухания.

Чем больше сопротивление

движению осциллятора,

тем меньше

амплитуда вынужденных ко- .

лебаний при резонансе,

и, наоборот,

чем меньше сопротивление,

тем больше амплитуда»

В пределе,

при i)= 0, величина

-» «=

(ри с.5 0 ).

На практике, если сопротивление достаточно мало, то при­

нимают, что резонанс наступает при

z =1, т .е . при р = * »

кого

осциллятора в

этом случае имеет вид

п

*■ «*£ = $ (4 } ,

(102)

где

- коэффициент затухания осциллятора, А

- его собст­

венная

частота,

j ( ^ ) - периодическая функция времени»

ции j ( £ )

будем

предполагать,

что она

удовлетворяет

услови­

ям

Дирихле,

При соблюдении этих

условий

функцию | (

0

можно

представить

рядом Фурье, т .с .

рядом

{ W

=

cos s p t

*

h ‘ sin Sp>t) ,

(103)

где

т

J

J

h ' - - ^ } ( t ) d t ) h ^ Z \ } ( t ) c o ^ p t d i , h l 4 y t t ) s i n s p t < j t .

(Ю 4)

0

«

О

Здесь

через

T

обозначен период функции j ( i )

„

Если

ввести обозначения:

hs = )/(h's ) l f ( h ^ ) \

sfnoL^a

,

с о з л ^ - А »

г

то

ряд (103)

можно записать в

форме

*

w

(105)

Отдельные члены

этого ряда называются гармониками.

Раз­

личают гармоника первого, второго а

т.ц „

порядков.

Порядок

гармоники

определяется величиной

S

„

Подставляя выражение (105)

в

уравнение (1 0 2 ),

волучим

•‘^ h , * - ^ h , s i n ( s p t * A t ) .

(106)

Так как дифференциально® уравнение

(106) является якгвй-

е н м , то его

частное

решение ш к ет быть найдено в гиде

сумш

частного

решения

уравнения

<107)

и частных решен':й уравнений вида

о, *2п^<-

°h3Sin($P& f r e

i s )

( Х С

8 )

( s

• ••)

Частное решение

уравнения (10'?)

^

о п аи вает

некоторое

постоянное смещение гармонического осциллятора

от