книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

- 92 -

Описанный в примере 2 метод экспериментального определе­ ния осевых моментов инерции тел называется методом физическо­ го маятника, или методом маятниковых колебаний. Этот метод, в частности, удобно использовать для определения осевых люмен тов инерции блоков радиоаппаратуры. Знание моментов инерции блоков радиоаппаратуры необходимо, например, при проведении виброисяытаний и при расчетах амортизаторов (см.§ 10).

- 93 -

идеальное уравнение можно перепиз агь в виде

х. + кгл =О , где к -

Сравнивая полученное дифференциальное уравнение с уравне­ нием (7 7 ), заключаем, что гру з, укрепленный.на пружине и со­ вершающий малые колебания вдоль оси пружины, является гармо­ ническим осциллятором. Собственная частота этого осциллятора равна корню квадратному из отношения жесткости пружины к массе груза.

Рассмотренный пример имеет весьма важное практическое зна­ чение, В частности, к схеме "груз на пружине" сводятся систе­ мы, которые представляют собой блоки или отдельные детали, ук­ репленные на амортизаторах. Если амортизированный блок или амортизированная деталь совершают поступательное движение вдоль какой-либо оси, то они могут рассматриваться как гармони­ ческие осцилляторы, собственная частота которых определяется по формуле

я

Список примеров гармонических осцилляторов можно было бы продолжить. Но уже из рассмотрении:; примеров видно, что гар­ монический осциллятор является весьма простой моделью реально существующих и широко распространенных систем.

Одним-из основных свойств, присущих всем гармоническим осцилляторам, является наличие такого действия на осциллятор, которое при любом полонении осциллятора стремится установить его в положение статического равновесия, В качестве такого действия в математическом и.физическом маятниках выступает действие Земля, а в системе, состоящей из груза, утепленно­ го на пружине, - действие пружины. Силы, приложенные к осцил­ ляторам при указанных действиях на них, называются восстанав­ ливающим:-! силами. Учет восстанавливающих сил в дифференциаль­ ных уравнениях движения гармонических осцилляторов приводят к появлению в лев- х частях этих уравнений слагаемых вида где к* - постоянный коэффициент, ^ - координата, определяю­ щая положение осциллятора.

- 94 -

Д-2» Свободные незатухающие колебания гармонического осциллятора

Гармонический осциллятор, к которому прилоаена только восстанавливающая сила, при наличии начальных условий, отлич­ ных от нуля, совершает гармонические колебания. Установим за ­ висимость параметров этих колебаний от начальных условий. Для этого найдем решение дифференциального уравнения двикения гар­ монического осциллятора, к которому приложена только восста­ навливающая сила. Это дифференциальное уравнение является ли­ нейным, однородным, второго порядка, с постоянными коэффициен­ тами и записывается в форме

кинематическое уравнение колебаний гармонического осциллятора, к которому прилокена только восстанавливающая сила, имеет виц

но в выражения (82) произвести замену коэффициентов согласно

равенствам: ^ c* /JsinoL , /JccsaL • В выражении

-95 -

(83)величины й и л. фактически являются произвольными по­

Из соотношений (83) и (84) видно, что параметры колеба­ ний гармонического осциллятора, к которому приложена только одна восстанавливающая сила, зависят от начальных условий и параметров самого осциллятора. Причем от начальных условий зависит только амплитуда и начальная фаза колебаний, частота зе от начальных условий ке зависит и полностью определяется параметрами осциллятора.

В дальнейшем будут рассмотрены колебания гармонического осциллятора, к которому помимо восстанавливающей силы прилокены какие-то другие силы (например, силы сопротивления, раз­ личные возмущающие силы). В отличие от колебаний, которые бу­ дет рассмотрены нике, колебания гармонического осциллятора, к которому приложена только одна восстанавливающая сила, на­ зываются свободными незатухающими колебаниями.

Для возникновения свободных незатухающих колебаний гармо­ нического осциллятора достаточно вывести его из состояния ста­ тического равновесия или ке в состоянии статического равнове­ сия сообщить некоторую начальную скорость.Свободные незатухаю­ щие колебания осциллятора являются гармоническими. Центр этих колебаний совпадает с положением статического равновесия ос­ циллятора.

Свободные незатухающие колебания гармонического осцилля- тора-это идеализированные колебания. Не одна реально сущест­ вующая система таких колебаний не совершает. Последнее связа­ но с тем. что в любой реально существующей системе имеется сопротивление цвикеышо. & око приводит к затуханию колебаний, вызванных отклонением начальных условий осциллятора от нуля.

НоЗ. Свободные затухающие колебания гармонического осциллятора

Рассмотрим колебания гармонического осциллятора с учетом сопротивления, пропорционального первой стап еш скорости д в е -

- 96 -

кения. Такое сопротивление встречается на практике довольно часто и называется вязким. Наличие вязкого сопротивления при­ водит к тому, что в левой часта дифференциального уравнения двигания гармонического осциллятора появляется слагаемое, полокительное по знаку и пропорциональное <j. „ Покааем это на примерах.

кально вниз (см .рис.526), а начало отсчета 0 совместим с по­ ложение:.. статического равновесия точки М» Тогда для произволь­

где с - жесткость пружины, -> - величина статического удлинения пружины, 6 - коэффициент пропорциональности, х - абсцисса точки М.

ваемого гармонического осциллятора и равна квадрату этой час-

баний математического маятника с учетом сопротивления воздуха» Относительно последнего будем предполагать, что оно пропор­

пластины, движущихся в магнитном поле. Покажем силы, приложен­

w^

-X -

Таким образом, действительно, при наличии вязкого сопро­ тивления в левой части дифференциального уравнения цвикения гармонического ооциллятора появляется слагаемое, которое име­ ет полокительный знак и пропорционально ф , В общем виде дифференциальное уравнение цвикения гармоничесного осциллято­ ра при наличии вязкого сопротивления мокно запиоать в форме

<j. <- к *9 = £>. (87)

Уравнение (87) является линейным, однородным дифферен­ циальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен­

личие .в уравнении (87) слагаемого, содеркащего ф , говорит о том, что цвияение системы тормозится вязким сопротивлением. Следовательно, если движение системы будет иметь колебатель­ ный характер, то колебания будут затухающими.

Колебания гармонического осциллятора, к которому пркло­ кены только восстанавливающая сила и сила вязкого сопротив­ ления, называются свободными затухающими колебаниями.

Установим связь меяду параметрами свободных затухающих колебаний гармонического осциллятора и параметрами самого осциллятора. Определим такяе условия, при которых гармони­ ческий осциллятор мояет совершать свободные затухавшие коле­ бания, Для решения посгавленной задачи проинтегрируем диффе­