книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

мулами

(137).

Задача

36.

Из конструктивных соображений принято решение,

установить

блок радиоаппаратуры

(рис.86)

на

три амортизатора.

В системе

отсчета

Oxyz

,

показанной на рисунке, поло­

жения точек крепления амор­

тизаторов

задаются координа­

тами х, ,

u

;

yL ;

х 3 ,

. Центр, тяжести блока С

находится в точке с коорди­

натами jct

.и

</,

. Вес

блока

равен

Q

„

Определить

вели­

чины сил упругости, прило-

Рис.86

кенных к блоку от каждого

амортизатора

при статическом

положении блока, если.в

этом положении плоскость, к которой

крепятся амортизаторы,

должна располагаться горизонтально.

Р е ш е н и е :

Обозначим _силы упругости,

приложенные от

амортизаторов_к блоку, через F,

, Рк

. Покажем силы

,

К ,

Fs

и й

,

прилокенные к

блоку,

на

рисунке.

Так как

все они параллельны между собой и параллельны оси

0% ,

то

три из шести уравнений равновесия блока

представляют собой .

тождества. Тремя оставшимися уравнениями являются:

уравнение,

выракащее равенство нулю суммы проекций всех

сил на ось

Ог.

;

-

162 -

Кинетической энергией механической системы называется.

суш а кинетических энергий всех точек, входящих в

систему.

Согласно этому определению, если система состоит

из п ма­

териальных точек, то ее

кинетическая энергия определяется

формулой

=

т . v.

т - ц т .

где m -

масса тела,

у

- величина

скорости движения.

Если

тело вращается вокруг оси, то

величина

скорости лю­

бой его точки определяется по формуле:

,

где оо -

угловая скорость тела,

_/>;

- расстояние от I

-ой

частицы

п .2 . Работа сшш

Предлолоким, что имеется материальная

течка

М (рис.3 7 ),

которая движется по кри­

вой

L

и к которой при­

ложена сила

F

. Обозна­

чим радиус-вектор точки

М в

произвольном положении

через

r ( t )

г

а

приращение

его

за

время

d t

- через

d r .

Введем следующее

определение.

Скалярное

произведение

сшш , приложенной к неко­

торой

точке,

и дифференциала

данной сллы.

Обозначая элементарную работу

через 8 А

, имеем

<5/? = F-dF.

CU является

(139)

Единицей измерения работы в

н.м.

Из формулы (139) мовно получить два

других выражения для

элементарной работы. Ео-первых,

- S А =F, dx * F4d у 1- Fz dx. j

где

Fx , F4 ,

Ft

-

проекции

силы

F

на оси системы

отсчета

Ox</Z) d x t

d у,

d'i

~ дифференциалы декартовых координат точ­

ки приловения силы.

Во-вторых,

так

как р"=—

»

откуда dF= vctt,

__

„

d t

то

,

SA =F v d t

где

V" -

скорость

точки приложения силы F .

Интегральная сумма элементарных работ силы,

приложенной

к некоторой точке,

при перемещении этой

точки из одного пояс­

нения в другое, называется работой данной силы на указанном

перемещении.

Обозначим работу

силы

F

при перемещении.точка

М из

положения U

в

долоеение Ма

(сы.рис.87)

через А,а „ Для

определения величины

й (>г

мокко воспользоваться одной из

следующих формул:

,

г1*

=

(

—

(I40)

Й,л = j F dF

( F j x * Fyd y , F,.cU)= j

F-\FdtJ

где

Ь - дрокекутоккврвмени.

за который

точка

переместилась

из первого

полонения во второе.

В общем случае сила является функцией времени, долоаения

и скорости

точки,

к которой она приложена,

т .е .

функцией вида:

F = F (t,r:, v )

, или,

по-другому,

? = F (t,x,< /,z,x,u ,i)

. Следо­

вательно,

для вычисления интегралов

(140) необходимо знать

кинематические уравнения движения точки,

т .е .

зависимости вида:

r

=r ( t )

или х ^ х (-Ь ),

y * y (tj,z :Z (t) .

Рассмотрим некоторые

частные

случаи,

когда работу силы

жения точки,

к которой эта сила пиилоЕйна,

I .

Если

точка прилокения силы

движется по прямой и сила

постоянна (рис,8 8 ), то

t

.

d

i

_л

f

= [Fircos (Ft ir)d i - F cosm J v d t = F-s cojoi.

<•’

C

<?

-

164 -

Если

при этом

oi = 0

t го At l ^ F S

;'есл и

Ы. = —

„ т о

Д,.х =0;

если

„ то

Atl =-F-S' „

_ л

2»

Если сила перпендикулярна окорости точки,

tocos(F,v )* 0

Afl = j F t cos (F, ir )d t = 0.

Примером является

электромагнитная сила» Она выражается

формулой

(1 4 ),

из

которой

следует,.что эта сила все время

перпендикулярна

скорости

электрона,

3 .

Найдем выражение работы силы тяжести.

С помощью рисун

89 имеем

*1

Я*

Аи =j(Рх dx + Руofy*Pt.dz) = - р J ch = -P(z<-z,) =9 (г.- Z j .

_

Hi

Z>

работа силы

тяжести

Полученный результат-- означает, что

не зависит

от

вица

р

траектории

точки и от

ее перемещения в го­

ризонтальном направле­

нии. Работа этой силы

зависит только от из­

менения наложения точ­

ки по высоте. Будем

называть

величину

( 2 , - 2 j

падением высоты.

Обозначая её через&h ,

имеем

2 1

С2!г,

Atl =А Р-лИ •

Итак,

работа силы

тяжести на каком-либо

\

М

перемещении точки рав­

на произведению модуля

Р

этой силы и падения

Ма ^ . ¥ М

высоты

при указанном

перемещении.-Эта работа

положительна, если па­

дение высоты больше ну­

ля, т.е .есл и конечное

Р и с.89

положение

точки блике

-166

-

clx.^-fSin(ri-'?)d4' = -yct'f',

of1 = 0.

С учетом этих равенств получим

?*

F

лы

F

относительно

оси Oz . Следовательно,

А,л ~ \ М Л( Р ) ^ .

Если

MX(F)= comt

v’(

то /?,.i ■

)

.

Слова-

ми,

если

сила приложена к точке тела,

вращающегося вокруг

оси,

и момент этой силы относительно оси вращения является

величиной достоянной,

то работа силы равна произведению момен­

та силы и приращения угла поворота тела на рассматриваемом

перемещении,

6,

Покажем, что сумма работ всех внутренних сил, приложе

ных к точкам твердого тела, равна нулю. Для этого рассмотрим,

две

элементарные частицы М, и МА , принадлежащие телу_Л (рис„

9 1 ).

Обозначил силы взаимодействия

этих

частиц через F^

и F/ , ,

Согласно

ак­

сиоме взаимо­

действия ма­

териальных,

т о ч е к , „

Обозначим ра­

диусы-векторы

точек М,

и М,

исходящие

из

центра

0,

че­

рез

г,

И

Fj. ,

а их

дццфере1щиалы соответственно через

dr, и

drx

„

Пред­

полагая,

что тело А является абсолютно

твердым,

т ,е Р

считая,

что

расстояния между любыми двумя его

точками остаются в

про­

цессе движения неизменными,

найдем:

J

й =Ft\ - d r г

dF

=

- dFs_;

через J

<> Клеем

/ - Ft - ^

,

откуда

e l f ■

«Л= - cfr,. ,

и, следовательно,

S Д *

dj> .

Так

как вектор

f

монет изменяться

только цо

направ­

лению,

то dj> 1J>

„

Векторы

о

.и F,\

коллинеарны,

поэтому

dj> 1 F‘x

,

а

значит,

§Д =0.

Вследствие того, что элементарная работа сш! взаимодейст­

вия двух точек твердого тела равна

кулю,

то

и суш а

работ

всех внутренних сил, прилокенных к

точкам

твердого

тела, на

любом перемещении танке равна нулю,

Аналогичный вывод мокно сделать

и для материальных сис­

а)

б)

Рис,92

механизм, а на рис .926-система,

состоящая из двух грузов,

на кривошип или ке силы

дейогвия одной части нити на другую

в некотором сечении S - S

„

t =

й )■ V; = £

(m-a.yVi .

Выразим произведения

с

помощью основных уравне­

ний динамики, составленных для всех

точек

системы. Эти урав­

нения запишем в форме _

m; a.: = F * i - F ‘

( I = /

, £ , • • • ,

п ) (

где F-e t F '

-

равнодействующие всех

внешних и внутренних сил,

прилокенных к

i

-ой

точке системы.

Теперь

.

„

т = £ f. 4 : + £ f; - v; .

( i 4i )

;er

*

переместилась из од­

Предполоким, что механическая система

ного полокения в другое. Пусть это перемещение произошло за

время

Ь .

Проинтегрируем обе

части равенства (141) по вре­

мени в

пределах о т tнуля до

t

^ Получим

Тх -Т,

* £

t g

jp .- ? . d t ,

(142)

где T( , Тг

-

значения кинетической

энергии системы в началь­

ном и конечном положениях.

В правой части полученного соотношения стоят суммы работ

всех внешних и внутренних сил,

прилокенных к точкам системы.

Обозначим их соответственно

//Д

и

, Окончательно равен­

ство (142)

запишем в

форме

й е.

*

Аt,г

(143)