книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

F*

■(я F„ MJF)T+MJF)j *MJF)R .

О другой стороны0

M JF) *[ M ,(? )] J *[tf.(F )] J *[fio(F )],j •

Из сравнения правых частей полученных соотношений следует, что проекция момента силы относительно центра на ось, проходя­ щую через этот центр, равна моменту данной силы относительно этой оси.

в,2 о Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра

Введем следующие определения.

Количеством движения материальной точки называется произведение массы этой точки а ее скорости. Так как скорость точки является векторной величиной, то количество двакення материаль­ ной точки такне является величиной векторной. Количество два­ кення материальной точка обозначают буквой Ц . По ©пределе-

Кинетическим моментом (или моментом количества двикеш я) материальной точки относительно какого-либо центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки, исходящего из это­ го центра, и количества движения точки.

Кинетический момент материальной точки относительно центра

- 61 -

является векторной величиной,, Будем обозначать кинетический момент, ^ i -ой материальной точки относительно центра 0 симво­ лом К . о По определению,

какого-либо центра называется геометрическая суш а кинетичес­ ких моментов всех точек системы, вычисленных относительно то­

момента сил относительно центра для вывода одного из динами­ ческих соотношений, которое носит название теоремы об измене­ нии кинетического момента механической системы относительно неводвианого центра» Сформулируем эту теорему в следующей ви­

део

Теорема» Производная по времени от кинетического моменте механической системы относительно какого-либо неподвижного центра равна главному моменту всех внешних сил системы относи­

темы»

образует главный момент всех внутренних сил, прилоаенных к точкам системы, относительно центра 0 . Выше было показано, что второй глазный момент равен нулю. Окончательно уравнение

Уравнение (55) является математической записью сформули­ рованной в ш е теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. Эта теорема говорит о том, что одно из уравнений, описывающих двизение системы, kosho получить, приравняв цроиззодную до времени от кинети­ ческого момента системы относительно неподвижного центра главному моменту всех внешних сил, прилоаенных к точкам сис­ темы, При этом главный момент внешних, сил цолкен быть вычис­ лен относительно того не центра, что и кинетический момент

системы.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра используется для исследования динамики систем, в которых алеются сферические движения. В частности, в дальнейшем эта теорема будет использована для вывода динамических уравнений сферического движения твердого тела

го момента равна главному моменту внешних сил, вычисленному

Так как /7; = * 50 первое слагаемое в правой части равенства (56) равно нулю. Произведения /т»- K-i выразим через оилыа прилогенные к точкам системы. Для этого воспользуемся сиотемой основных уравнений динамики, составленных для какдай нз п точек материальной системы. Так как система Ох,у, z ( является неинерциальной, то эти уравнения эапишем в форме

фф - переносная и поворотная силы инерции, приложен­

ет ообой главный момент всех внешних сил системы, вычисленный относительно центра масс системы С0 Обозначим его через Мр 0

55 -

ленный относительно центра масс оистемы С. По доказанному вы­

тельного движения механической системы, вычисленный относи­ тельно центра масс системы, связан с силами, приложенными к точкам системы такой же зависимостью, как и кинетический мо­ мент системы, вычисленный относительно неподвижного центра в инерциальной системе отсчета.

Уравнение (59) является математической записью теоремы, которая называется теоремой об изменении кинетического момен­ та механической системы, вычисленного относительно центра масо в системе отсчета, движущейся поступательно до отношению к инерциальным системам. Сформулируем эту теорему следующим об­ разом.

Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы, вычисленного относительно центра масс в системе отсчета, движущейся поступательно по отношению к инер­ циальным системам, равна главному моменту всех внешних сил, вычисленному относительно центра масс системы.

Эта теорема используется, в частности, для построения ди­

ся инерциальной. Составим по теореме об изменении кинетичеокого момента материальной сиотемы относительно центра динамичес­ кое уравнение движения данной системы и спроектируем это урав-

- 67 -

Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется произведение модуля проекции количества цвиае-

кинетический момент точки относительно оси. В частности, ки­ нетический момент материальной точки относительно оси мсвет

Алгебраическая сумма кинетических моментов всех материаль­ ных точек, входящих в систему, относительно какой-либо оси на­ зывается кинетическим моментом механической .системы_отноозтель~

- 69 -

Введем следующее определение. Сумма произведений масс воех элементарных частиц, составляющих тело, и квадратов расстояний от них до какой-либо оси называется моментом инер­ ции тела относительно этой оои. Последний обозначается через

Уг , где подотрочный индекс указывает ооь, относительно которой вычислен момент инерции. Согласно определению имеем

(65)

Из формулы (65) видно, что для любой оои момент инерции твердого тела является величиной постоянной. Единицей измере­ ния момента инерции в СИ является «г-м *

Используя понятие момента инерции тела относительно осн, перепишем выравение кинетического момента вращающегося тела относительно оси вращения в форме

вращающегося вокруг оси, с силами, приложенными к его точкам. Оно называется динамическим уравнением вращения тела вокруг оси и читается следующим образом; угловое ускорение тела, вра­ щающегося вокруг оси, равно частному от деления суммы моментов сил, приловенных к точкам тела, относительно оси вращения на момент инерции тела относительно этой оси.

Нетрудно заметить, что динамическое уравнение вращения те­ ла вокруг оси аналогично основному уравнению динамики, т .е .

Вследствие этой аналогии порядок решения основных задач динамики для тела, вращающегося вокруг оси, совпадает с поряд­ ком решения ооновных задач динамики материальной точки. Так, например, если требуется, зная силы, приложенные к точкам вра-