книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

тивления возникает только

при движении тела (в жлдкоотн или

г а з е ). Если тело совершает

поступательное движение, то сила

сопротивления направлена в

сторону, противоположную скорости

душны демпфером.; Для области околозвуковых

скоростей (300-

-400 м .с е к . ) сила сопротивления становится

пропорциональной

внутрь

неподвижного, во -втор ы х ,

оно

тормозит

движение ( з а

сч ет

ш ероховатости поверхн остей ,

находящихся

в соприкоснове­

нии,

з а

с ч е т молекулярного сцепления

и т . п , ) .

Исходя из э т о г о ,

ляющих; нормальной реакции f)

я касательной

реакции F

(смрнс„22)о Последняя называется силой трения.

Нормальная ре->

илоской поверхности. Это уравнение

заш лем в

виде

т а = F * N

*■Q ,

(46)

где т

- масса тела, а.

- ускорение его

поступательного

двикения,

F - сила трения,

N -

нормальная реакция опоры,

ось

Ох

направим параллельно плоскости опоры,

а

ось

Оу

перпендикулярно

ей.

Проектируя векторное

уравнение

(46) на

оси

Оу

ж Ох

,

получим

/У- G , ,

(47)

F = Qx - т ая

=

(48)

где

и

Q

-

проекция вектора

Q на оси Ох

а

Оу

в-

q

-

проекция ускорения

тела

на

ось

Ох

,

Из равенства (47) видно,

что

величина

нормальной реакции

N плоской опоры зависит от

других с и е ,

крялокешых к ?елу0

Нормальная реакция

плоской опоры равна

ко модулю сале,

е коте-

чае, если

Q.j

=0,

реакция

опоры также равна нулю.

Величина

силы

трения

F монет быть

исследоваш с помощью

равенства

(48). Для этого

можно, измеряя

координаты движущего­

ни, найти проекцию ускорения

тела

на ось

Ох .

Непосредственно из формулы (48) видно, что если тело, на­

ходящееся па плоской поверхности,

не

движется,то

ft, =0, и

сила

трения

F

равна

по величине

проекции суммы всех

других

сил

на

плоскость

опоры.

Если

Сд

=0,

то и сила трения равна

нулю.

При возрастании

растет

и сила трения. Как показы­

вают

эксперименты, сила трения з покое растет небеспредельно.

При некотором

предельном значении

Qx

,

зависящим от

материа­

лов

тел, чистоты

обработки и силы,

с которой одно

тело

прижи­

меньшей предельного

значения

Qx , а

при дальнейшем возрас­

тании скорости - остается практически постоянной. Поэтому

обычно

величину

силы трения в

движении выражают формулой

F = \ N ,

N

(49)

где

j

- постоянный

коэффициент,

- величина нормальной „

реакции

опоры.

Коэффициент

j

называется коэффициентом трения скольжения.

Он является безразмерной величиной,

которая зависит от мате­

риалов трущихся тел и чистоты обработки их поверхностей. С

учетом равенства

(47) формулу

(49)

читают следующим образом:

величина силы трения при движении тела по опоре равна произ­

ведению коэффициента

трения скольжения и величины силы давле­

ния тела на опору. Если тело на опору

не давит, го сила трения

равна

нулю.

Рис.23

тейнер С, которому с

помощью пирапатрона мгновенно сообщает­

ся скорость

„ Принимая, что

Л =20°, Л =25 м.сек"!^, а

коэффициент

трения контейнера о

направляющие постоянен и равен

j = 0 ,0 1 / определить

минимально

необходимую длину направляю­

236).

К этим силам относятся:

Р -

вес контейнера, N

-

нормальная реакция

направляющих катапульты,

F

- сила трения.

Динамическое уравнение движения контейнера

запишем в

форме

а = т ' 1 ( Р +f j + р ) , .

где а

- ускорение

контейнера,

т

- его масса.

Выберем систему

отсчета

Оху

(рис.236),

начало которой

П одставляя

внр а к е ш е

t ( в

кинематическое уравнение ,

определим минимально необходимую

длину направляющих к атан у л ь -

тн,, при

которой

контейнер

о с тан а в л и в а е тся н еп осредствен н о у

верхн его

с р е за

В . Имеем

Р

2й

min

гд е

£min -

минимальная длина катапульты »

П одставляя

в

вы рааения

Д, bt и

tmin

зн ач ен и е

величия

Hj

,

А

I

j

,

заданные

в условии за д а ч и ,

получим

tf

= 2, 7i

сек.

,

imin = J J ,S n .

§ 5.

ТЕОРИИ 05 ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКИ! МОМЕНТОВ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕШ

п Л „

Моменты силы

отн осительно

цен тра г о с е

Моментом силы

отн осительно

к ак о го -л и бо

цен тра

н азы вается

векторн ое

произведение

р ац н у оа -век тор а точки

дрвлоаенш я с и л а ,

исходящего

из

данного

ц ен тр а ,

и енлн»

Из определения момента силы отн оси тельн о цен тра следует,

что

э ?а_ вел ач й н а

я в л я е тс я век тор н ой , Буден

обозначать момент

силы

Fi

отн оси тельн о центра

0 сшволом

Mt( Д )

„По опре­

делению,

-

-

=

г д е

r j

— р ад и у с -век то р

точки'

ярилопения сш ш

Fi

,

воходеднй

из цен тра

0 ,

Единицей изм ерения момента

силы отн осительно

ц ен тра в СИ

я в л я е тс я

Ном,

Г еом етри ческая сумма

моментов

веск ол ьк н я

си л ,

вы часленннх

относительно одн ого

и

то го

sse

ц ен тр а, н азы ва ет ся

гдвдгами монен-

том

эти х

сил отн оси тельн о дан ного

ц ен тр а.

О бозначая главный

момент с а а

F,, Fa,...,F„

отн оси тельн о

центра

0

ч ер ез

Ис

,

имеем

- 56 -

Докааем, что главный момент всех внутренних сил,

прилокен-

ных к точкам сиотемы, равен нулю.

Для доказательства

рассмот­

рим произвольную пару материальных

точек Mt

и

Мt ,

входя-

щих в какую-либо систему (рис.24).

Обозначим радиусы-векторы

точек

М'

и

,

исхо­

дящие из центра 0, че­

рез F

и

; радиус-

вектор точки Mt , исхо­

дящий из точки ML , -

через f

; силу,

прило-

кенную к

точке

Mt

при

действии

на нее точки

Рис.24

Мг -

через

;

силу,

прилоаенную к

точке

/V.

при действии

на нее

точки

М ,

-

через Fi../

Согласно

аксиоме взаимодействия материальных то-

чек, F {

4

. Учитывая это, имеем;

1 и

' i.i

л х F ' =

L

К<

= ^

f - F:

. j л f;l

Но векторы

f

и

направлены

по одной прямой.

Сле­

Введем понятие момента силы относительно

оси. Предвари­

тельно из начала и конца вектора

F

(рис.25) опустим дерпен-

___

дикуляры на некоторую плоскость

ъ .

Вектор

F

, начало

и конец

которого

совпадают с проекциями

начала

и конца вектора

F

на

плоскость

И

,

называется

проек­

цией вектора

F

на эту

плоскость.

Поотроим перпендикулярно плос­

кости

Tt

ооь

Z

, точку

пересе­

чения оси с плоскостью обозначим

через

0 (см .рн с.25). Из

точки О

-

57 -

опустим перпендикуляр

на

направление вектора

t

„

Расстоя­

ние между осью

Oz

и направлением вектора

F '

,

измеренное

по этому перпендикуляру, называется плечом вектора

F '

«Н а

рисунке плечо

обозначено

через

h

,

Моментом силы относительно

оси

называется произведение

модуля

проекции силы

на плоскость,

перпендикулярную

оси ,

к

плеча

этой проекции,

взятое со

знаком и+в , если

направление

Будем обозначать момент силы

F

относительно оси

Z.

симво­

лом Mt (F) .

По определению, с учетом обозначений

на

р и с,25

имеем

,

. ,

M ( F ) = {t} F - h .

частным образом.

Так, например;

1) воли сила

параллельна о с а , то шмент

силы относительно

оси равен нули;

2) если направление

силы пересекает о с ь ,

то момент суш

относительно оси

равен

нулю;

из определения гломента оалы относительно оси.

Для примера решим следующую задачу.

Задача

7.

(предложена проф.Г.И.Мельниковым).

Параллельно

циферблату

башенных часов

(рис.26) дует

ветер со

скоростью

V’ м /сек.

Сила

давле­

ния ветра

на

боковую

поверхность

стрелки

часов определяется

где

к

-

коэффициент

пропорциональнос-ти,

$я- проекция боковой

поверхности

стрелки

на плоскость, дерпеиди-

кулярную направлению

Рис. 26

движения ветра.

Найти

моменты силы давления

ветра и веса стрелки относительно оси вращения стрелка

Ог

как

функция угла отклонения стрелки

<£

от

верхнего

вертикаль­

ного положения. Считать, что сила давления и вес приложены к

середине

стрелки.

Длина стрелки равна

В

(и)„

ширила =

& (м ),

вес

стрелки -

Q (м ).

Р е ш е н и е .

Поканем на рисунке силы

F

и Q

Так

как

обе

эти силы расположена в плоскости я Оу

„

перпендикуляр­

ной оси

Oz

в то находить проекции сил

F

и

0

на эту

плоскость не_нукно. Непосредственно из рис.26 следует„ что

плечо силы

F

равно 0,5

cosot (м ),

а

плечо силы

Q

-

0 05

ЙЗ|'пс’.

(м ). Направления обеих сил в

первой

четверти тако­

вой стрелке. Следовательно,

оба момента (для первой четверти)

должны быть отрицательными.

Выражая проекцию боковой поверх­

ности

стрелки

на плоскость,

перпендикулярную направлению дви-

некая

ветра,

через размеры

стрелки и угол Ы. 0 получим;

MJQ) = ~ 0 J Qg S i n a i

Ы н ) ,

Mz (F) = -gjxg^v-tlcos^lcosoL (»«).

Нетрудно

проверить,

что эти формулы правильно выракают

моменты сил

0. и F в

трех других четвертях»

Иногда требуется выразить

момент силы относительно оон

Нетрудно показать, что

в этом случае мокни

пользоваться

формулами вида:

M j F ) * y F z - i F v

M j F )

=zFx

- x F z

,

(50)

M J F )

=*Fv - yF^

моменты силы

относитель-

где M J F ) , M V( F ) ,

M J F )

но осей системы отсчета

Охи z.

х ,

rv

Р

“

проекции

силы

F

на

оси системы Oxyz, ;

у

X

- координаты

точки приложения силы

F

в

оистем-з

отсчета

Ох ух.

«

Докакем, например, справедливость последнего из трех ра~

венств

(50).

Для рассукцений

воспользуемся рисунком 27. Здесь

через

г '

обозначена

проек-

.........

.....

ция на

плоскость хО у

неко­

торой

силы

F

, через х

а у

- абсцисса к ордината точки

приложения этой силы»_через

h - плечо

проекции

F

»

Покажем, что момент силы

относительно

оси Ох.

монет

быть вычислен по третьей из

формул (50).

Непосредственно

из

рис.

27 имеем:

х = ОМ-cos/ , у =ОМ s i n / ,

Fn = ,£, F cos a. ,

F,. ^,£,F'sin

,