книги из ГПНТБ / Потеев М.И. Теоретическая механика. Динамика учеб. пособие для радиотехн. специальностей вузов

- 40

Уравнения (35) обладают рядом особенностей, ограничивающих их практическое применение. Из этих особенностей отметим преж­ де всего то, что число уравнений (35) определяется числом то­ чек, составляющих систему. Это часто оказывается недостатком уравнений (35). Например, рассматривая твердое тело как систе­ му материальных точек, невозмокно оговорить их число. В то ке время количество кинематических уравнений движения твердого те­ ла всегда вполне определенно.

Другая особенность уравнений (35) связана с тем, что среди сил, стоящих в правых частях этих уравнений, обычно имеются си­ лы, заранее неизвестные. К последним относятся реакции связей и так называемое внутренние силы. Понятие о реакциях было дано в конце параграфа 2 . Дадим определение внутренним силам.

При составлении динамический уравнений, описывающих двикение механической системы, удобно все оилы, прилокенные к каждой материальной точке системы, делить на следующие две группы: к первой группе относить те силы, которые характеризуют действия на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав данной системы; ко второй группе относить те силы, которые ха­ рактеризуют действия на точки системы со стороны других точек этой ке системы. Будем называть силы первой группы внешними, а силы второй группы - внутренними. Как будет показано в даль­ нейшем, такое разделение сил, приложенных к точкам материаль­

ной системы, существенно упрощает динамические уравнения,•описы­ вающие двикение системы. Это упрощение является следствием ак­ сиомы взаимодействия материальных точек.

Очевидно, в уравнения (35) входят и внешние, и внутренние оилы. Последние являются часто заранее неизвестными. В то ке время, в большинстве практических задач внутренние силы искомыми величинами не являются. Следовательно, их наличие в уравнениях (35) только услокняет эти уравнения.

Реакции связей токе обычно заранее неизвестны и весьма чаото не являются искомыми величинами. Следовательно, они, как и внутренние силы, часто усложняют уравнения (35).

Итак, к основным особенностям уравнений (35) относятся сле­ дующие их свойотва:

-41 -

1)число уравнений (35) огрецеляется числом точек в меха­ нической системе;

2) в правых частях уравнений i3 5 ; помимо внешних сил име­ ются внутренние силы, которые заранее часто неизвестны;

3) в правых частях уравнений (35) имеются реакции связей , которые заранее всегда неизвестны.

Вследствие этих особенностей при решении практических з а ­ дач с помощью уравнений (35) монет получиться так , что либо число неизвестных будет превышать число уравнений, либо среди неизвестных будут такие величины, которые непосредственно опре­ делять не требуется. Вот почему уравнения (35) на практике ис­ пользуются весьма редко.

Для решения практических задач в механике разработаны мето­ ды, позволяющие отвечать на конкретные вопросы о двикении мате­ риальной системы не с помощью уравнений вица (3 5 ), а с помощью некоторых других уравнений. Последние получаются из уравнений (3 5 ), но содеркат, как правило, только подлеаащие определению неизвестные величины.

Для решения задач динамики механической оиотемы, в частно­ сти, используются:

1)общие теоремы динамики,

2)принцип Даламбера,

3)принцип возмокных перемещений,

4)общее уравнение динамики,

5)уравнения Лагранка,

6)канонические уравнения Гамильтона,

7)уравнения Аппеля

инекоторые другие методы.

Вданном пособии излоаены общие теоремы динамики и уравне­ ния Лагранка. Последние называют еще уравнениями движения сис­ темы в обобщенных координатах. К общим теоремам динамики отно­ сятся теорема о двикении центра масс механической системы, тео­ рема об изменении количества двикения(здесь не приводится), тео­ рема об изменении момента количества двикения и теорема об из­ менении ниветичеокой энергии.

Другие методы решения задач динамики системы излагаются в

более полных руководствах по теоретической механике (например,

в [7 0П ,2 8 ,3 3 ])о

-42 -

§4. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

п Л . Центр масс механической системы и теорема о его цвикении

Пусть имеется система, состоящая из п материальных точек (рио.19). Рассмотрим двиаение этой оистемы относительно некото­ рой инерциальной оистемы отсчета Оху г. „ Обозначим маосу t -ой

Центром масс материальной оистемы называется точка, полонение которой определяется радиусом-вектором

•С п\ П

(36)

Особенность центра масс'механической системы состоит в том, что ускорение центра масс связано с силами, приловеиными к точ­ кам системы довольно простой зависимостью. Для определения этой зависимости найдем ускорение центра масс. На основании формулы (36) имеем

- 43 -

П

Согласно аксиоме взаимодействия материальных точек, силы, прилокенпье к Каидой из взаимодействующих материальных точек, равны по величине и направлены вдоль прямой, соединяющей эта точки, в противополокнне стороны. Следовательно, все внутрен­

ным уравнением динамики. Но если в основном уравнении динамики под т понимается масса одной материальной точки, то в уравне­ нии (40) /7? есть сумма масс всех точек системы, Величина т в данном случае называется массой механической системы. Если в

- 44 -

динамики стоит геометрическая сумма сия, црилогенных к одной материальной точке, то в правой части уравнения ( i O ) стоит

Уравнение (40) является математической записью одной из об­ щих теорем динамики, которая носит название теоремы о движении центра масс механической системы. Сформулируем се в следующем виде.

Теорема. Ускорение центра масс механической системы равно частному от деления геометрической суммы всех внешних сил, при­ ложенных к точкам системы, на массу системы.

Иногда эту теорему формулируют по-другому, а именно:

центр масс механической системы двинется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, равная геометрической суш е всех внешних сил, прижженных к точкам системы.

Вторая формулировка теоремы вытекает из сравнения уравне­ ния (40) с основным уравнением динамики.

При использовании теоремы о движении центра масс механи­ ческой системы для решения практических задач рекомендуется следующий порядок действий:

1)описать состав рассматриваемой системы;

2)обосновать использование теоремы о движении центра масс;

3)изобразить систему в произвольном положении и показать все внешние силы, приложенные к точкам системы (внутренние си­ лы показывать не нужно),

4) составить уравнение, выражающее теорему о движении цент­ ра масс, т .е . уравнение вица (40);

5)выбрать и описать систему отсчета;

6)спроектировать левую и правую части векторного уравнения гида (40) на оси выбранной системы отсчета; при этом получаются

Дальнейший ход решения задачи зависят от ее постановки. Систе­

системы, и кинематические уравнения движения всех точек, кроме одной, найти кинематические уравнения движения этой точки;

3) зная кинематические уравнения движения всех точек системы

условий, можно найти зависимость координат центра масс системы от времени, т .е . найти кинематические уравнения движения центра масс.

Если по условию задачи движения всех точек системы, кроме одной, известны, а требуется найти движение и этой точки, то для решения следует воспользоваться определением центра масс0 согласно которому положение центра масс задается формулой (36). Проектируя левую и правую части равенства (36) на оси системы

т- масса системы.

Очевидно, с помощью уравнений (42) можно определить неиз­ вестные кинематические уравнения одной из точек системы. Для этого достаточно подставить в равенства (42) кинематические

- 46 -

уравнения движения всех других точек системы н кинематические уравнения движения центра масс системы, предполагается, что последние уже определены интегрированием уравнении (41).

Если задача состоит в определении неизвестной внешней си­ лы, приложенной к одной из точек системы, при условии, что из­ вестны все другие внешние силы и кинематические уравнения дви­ жения всех точек системы, то для решения следует также вос­ пользоваться уравнениями (41). При указанной постановке зада­ чи уравнения (41) являются алгебраическими, линейными. Это сле­ дует из того, что неизвестными в рассматриваемом случае будут

- 47

вольном положения и покакем все внешние силы, приложенные к

На основании этого заключаем, что центр масс системы при пере­ мещении груза 3 остается в покое.

Выразим абсциссу центра масс до перемещения груза и дооле него. Получим:

до перемещения

т лх , + т, х,

после перемещения

т г (xt - £ ) *■m 3 ( x s - В

mx +mi

где S - перемещение груза 3 относительно секции 2. Приравнивая правые части этих равенств, найдем

- 49 -

ступательного движения тела. Интегрируя их, можно найти кине­ матические уравнения этого движения.

п.З. Понятие о равнодействующей совокупности сиЛ

При составлении динамических уравнений движения твердого тела (в частности, при описании поступательного движения) час­

так можно поступить с весами элементарных частиц, составляю­ щих тело. Иногда такую замену можно осуществить при учёте сил сопротивления <жидкостей и г а з о в ) .

Сила, которая одна заменяет в динамических уравнениях не­ которую совокупность сил, приложенных к точкам твердого тела, называется равнодействующей. При. определении равнодействующей надо указать ее величину, направление и точку приложения.

Наиболее часто используется равнодействующая весов элемен­ тарных частиц, составляющих тело. Она называется весом тела. Из вида динамического-уравнения поступательного движения тела следует, что для того, чтобы при замене весов элементарных частиц одной силой - веоом тела - уравнение (44) оставалось