книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

-110 -

нонических эсей (соответствующие коэффициенты имеют знак минус) цс-атр поверхности является шкеимумпи, в направле­ нии других - минимумом.

Если один из коэффициентов, например Ъ,0 , равен нудв, то под определение центра фигуры здесь подходит любая точка на оси Х г ( - значение параметра оптимизации в любой точке на оси З С а ) . Этот тип поверхности можно рас­ сматривать как предельный тля первых двух случаев, когда

ходится на бесконечности, перенеся начало координат в ка­ кую-нибудь подходящим образом выбранную точку 0' вблизи центра, получаем уравнение параболы

где & г - крутизна наклона возвышения. Зтот тип поверхностч опять-таки мохно рассматривать как предельный для пер­ вых двух случаев, когда центр фигуры отнесен на бесконеч­ ность. Локально говерхность отклики здесь представляет со­ бой возрастающее розвышение ( " г р е б е н ь " ) .

Прг обработке результатов реального эксперимента вряд ли можно встретиться с последними двумя предельней слу­ чаями. Практически возможен случай, когда це^тр фигуры удален за пределы той Сласти, ь которой варьировались U-J- ременнне, а один из коэффициентов, ЗЦ, или З Ь г 2 , мало отличается от нуля. Тогда поверхность отклика, в зависи­ мости от наклона возвышения, будет аппроксимировать стаци-

Ч- *i i

Отсюда получаем следующую связь между старыми н новыми координатами :

—115 -

где

Видповерхности отклика устанавливаем по знакам канони­

- поверхность типа мииимахс.

иетодика выбора оптимальных режимов зависит от вида по­ верхности отклика. Если поверхность отклика представляет со­ бой эллиптический параболоид, выбор оптимальных режимов не представляет затруднений. В случае задачи на максимум опти­ мальные условия будут соответствовать координатам центра по­ верхности, если знаки канонических коэффициентов отрицатель­ ны и центр расположен внутри изученной области. Если, канони­ ческие коэффициенты имеют знак плюс, то оптимальные условия будут на границе изученной области факторного пространства. При выборе оптимальных условий допускается некоторая экстра­ поляция с обязательной экспериментальной проверкой.

Если поверхность отклика - гиперболический параболоид, то определение оптимальных режимов усложняется,

Рассмотрим три метода внбора оптимальных режимов.

В соответствии с поставленной задачей в новой системе координат выбирают ось, вдоль которой параметр оптимизации меняется в желаемом направлении и с максимальное скоростью (канонический коэффициент имеет соответствующий знак и мак­ симален по абсолютной величине). Затем, задаваясь различными значениями параметра оптимизации, вычисляют соответствующие им режимы и подвергают их опытной проверке. В связи с сим­ метрией поверхности отклика каждому'значению параметра оп­ тимизации соответствует два режима.

Поиск оптимальных условий без исследования поверхности отклика обычно дает возможность выявить только один из этих режимов, причем экспериментатор даже не подозревает о су­ ществовании второго режима, который может оказаться весьма интересным с точки зрения оптимизации процесса. В качестве примера рассмотрим применение этого метода к задаче с двумя факторами. Уравнение в канонической форме в этом случае имеет следующий вид'х

Положим, что в задаче требуется определить условия по­

лучения продукта, характеризуемые максимальным значением

Ч

Переход от координат Х - к координатам х^, т . е . к коди­ рованным значениям факторов, осуществляют по следующим фор­ мулам перехода:

bin, \ J - 0,5 ( • ) - c o s y ) ;

cos у — 0 , 5 ( 1 + c o s y ) .

В рассмотренном выи1е случае Х г « О, поэтому формулы перехода несколько упрощаются

х , = ( I , + x 0 , ) с о ь у - i № s i n , y •, x t « ( X , + x 0 1 ) b i t t y + x o a c o s y .

При решении задачи на минимум параметра оптимизации за­ даются значениями ^ 0 и движутся вдоль оси, соответст­ вующей отрицательному.каноническому коэффициенту. В этой слу­ чае из зависимостей ( 4 . 7 ) и ( 4 . 8 ) получаем

•х, - х и c o s y - ( X l + x o a ) bin \f ,

После расчета кодированных значений факторов для перехо­ да к их натуральным значениям используют формулу кодирования

где X - неопределенный множитель Лагранжа,

Количество уравнений в системе ( 4 . 9 ) равно числу факто­

ров. Реаение системы ( 4 . . 9) может быть осуществлено только

при заданных значениях X . Выбор значений неопределенных

множителей Лагракка зависит от типа задачи. В случае задачи

на максимум параметра оптимизации рекомендуется выбирать ве­

использование параметра Хорля дает возможность сузить

интервал изменения значений неопределенного множителя Лагран­

При этом изменение параметра оптимизации в желаемув сто­ рону соответствует измзнению X. в направлении от параметра Хорля к соответствующему каноническому коэффициенту.

На практике обычно задаются несколькими значениями не­ определенного множителя Лагранжа и затем, после решения