книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

имеет нанболыгую дисперсию среда всех нормированных линей­

нормированная линейная комбинация'с наибольшей дисперсией,

- 23t-

Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверж­

дения: суша дисперсий главных компонент равна оумме-дис-

-гы-

тературе по вычислительной математике (см.например, книгу

меряются в одних и тех же единицах. Если они измеряются в различных единицах, то нужно всегда помнить, что главные компоненты не инвариантны относительно масштаба изменения тех шкал, по которым отсчитываются переменные. Некоторые исследователи предлагают избавляться от неинвариантности переходом к стандартизированным переменным

Квадратичная ошибка служит параметром масштабности функции распределения и на первый взгляд представляется вполне е с ­ тественным стандартизировать переменные, деля их на эту в е ­ личину. Однако этот прием нельзя обосновать строго, так как произвольно уравниваются величины, несущие разную информа­ цию.

Приведем пример применения метода главных компонент в задаче ктссификации летающих тлей ,[2б] . Нужно было разбить этот вид насекомых на подгруппы по варьируемоети их морфо­ логических признаков. Было измерено 19 различных признаков, которые оказались весьма сильно коррелированными между с о ­ бой; так, коэффициенты парных корреляций по многим призна­ кам достигали 0,90 - 0 , 9 9 . Компонентный анализ показал.что можно ограничиться двумя первгми глазными компонентами, на

-гы-

которые падает 85,5? от обшей дисперсии. Первая компонен­ та задается различием в размерах насекомых, вторая в зна­ чительной степени связана с числом яйцекладок. Графически результаты представлены на рис . 9 . 1 . Здесь ясно видно, что

+Компонента 1

14

г! +

Рис.9.1 обследованных насекомых можно разбить на четыре хорошо различимые группы.

Метод главных компонент пригоден и как прием для ортогонализации матрицы независимых переменных в регрессионном анализе. Одна из самых больших неприятностей многомерного регрессионного анализа, выполненного по схеме пассивного эксперимента, заключается в том, что не все независимые переменные можно включать в рассмотрение (часть независи­ мых переменных опускается хотя бы потому, что они трудно поддаются надежному измерению). Это неизбежно приводит к смещению в оценках коэффициентов регрессии - оно может ока­ заться столь сильным, что регрессионный анализ потеряет всякий смысл. Коэффициенты регрессии, вычисленные по глав-

ным коглпонентом, в этом сыысле оказываются более устойчи­ выми, если, конечно, оэш главные компоненты вычислялись по наиболее важным независимым переменным. Например, в ста ­

тье П.Ф.Андруковича [ 4 ^ методом главных компонент была про­ изведена ортогонализации матрицы независимых переменных, затем коэффициенты регрессии вычислялись по всем главным компонентам и компоненты с незначимыми коэффициентами рег ­ рессии отбрасывались.

в

- 2 5 5 -

Коэффициенты t^.^ называются нагрузкой с -й переменной на j -й фактор, иди нагрузкой J -го фактора на L -ю переме-

менную. Вначале ради простоты будем полагать, что факторы 4 j взаимно независимы. Далее предположим, что случайные

Разработаны приемы, позволяющие определять минималь­

ное число простых факторов, необходимое, для объяснения ко­ вариационной матрицы (подробнее см. [19]).

-2 о 6 -

то г д а в матричной форме основная теорема запишется

оо

Если нам удалось произвести факторизацию с помощью некото­

ти показателей, характеризующих механические свойства метал­

носительяое удлинение, об ^ - ударная вязкость;

Изучению подвергалась выборка из 79 сортов сильно ле ­

гированных сталей. На основании статистического анализа,-

на деталях которого до здесь останавливаться не будем, бы­

ло показано, что результата можно представить двумя факто­

рами.

Далее выяснилось, что переменные 6 д ж <&t линайно-за- висаш, и поэтому одна из них - 6 Д - бела в дальне8ивм| •

опущена.

Ф а к т о р I

Ф А К Т О Р 1

Рио.9.2

Па рис.9.2 в координатной системе, задаваемой двумя

факторами, исходные переменные представлены 5 векторами.

Координаты конца каждого вектора задаются нагрузками соот­

ветствующих переменных на факторе.

Из рис.9.2 следует, что переменные естественно представлять не прямоугольными, а косоугольными (коррвлировая-

ннш) факторами (рио.9.3)^

В результате проведения факторного анализа были одела-

-2 3 6 -

шследующие выводы; Векторн-лризнаки группируются по на­

правлению в два пучка, которые выражают прочностные ( Н в . 6 Т ) и пластические ( Y , <**к) свойства металлов."

Рис.9.3

Интересно отметить, что вектор признака о*" обратен по на­ правлению векторам пучка, выражающим свойство прочности.

Отсюда авторы делают вывод, что это веское основание считать^ о* характеристикой' разупрочнения," вопреки принятой сейчас ее трактовки как характеристики пластичности.

Этот пример служит хорошей иллюстрацией того, что пред­

ставление результатов методом факторного анализа позволяет •исследователю лучше осмыслить материал, чем представление,

задаваемое в терминах обычной парной корреляции.

В.заключение напомним еще раз, что как метод главных

компонент, так и метод факторного анализа - это лишь мето­

,ральных совокупностей. Напомним, что в одномерном случае • параметры нормального распределения задаются двумя скаляр-

кши величинами - иагештическим ожиданием ш деспероией» В многомерном случае первым параметром служит вектор ма-

тематических ожиданий j x , вторим - ковариационная матри­ ца I .

5-дачи такого рода встречаются повседневно. Простей­ ший пример подобных задач ? диокримкаалия по результатам призмных экзаменов или любой другой системы тестов. Каж­

дый абитуриент характеризуется вектором значений экзамена­

ционных или тестовых оценок. Этот вектор надо отнеота к одной из двух генеральных совокупностей. Второй пример -

медицинская диагностика, где пациент опять-таки характери­ зуется многомерным вектором признаков и т.д.

Возможна и иная постановка задачи - к л а с с и ф и ­

к а ц и я . В этом случае, имея множество наблюдений, за­

данных шогомерными векторами, нужно разбить их на группы

так, чтобы была достигнута максимальная однородность

внутри групп и минимальная - между группами. Такие задачи• решаются методом кластеранализа. Так,например, в биологи­ ческих или медицинских исследованиях можно поотавить зада-